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『神聖なる比例：有理三角法から普遍幾何学へ』は、数学者ノーマン・J・ワイルドバーガーが2005年に出版した書籍で、ユークリッド幾何学と三角法に対する代替的なアプローチとして提案された有理三角法について論じている。本書では、三角法の通常の基本量であるユークリッド距離と角度を、それぞれ距離の二乗と角度の正弦の二乗に置き換えることを提唱している。これは論理的に標準的な展開と等価である（置き換えた量は標準的な量で表すことができ、その逆も可能であるため）。著者は、無理数を必要としないなど、このアプローチにはいくつかの利点があると主張している。
この本は、ワイルドバーガーが自身の出版社ワイルドエッグを通じて「実質的に自費出版」した[ 1 ]。本書に掲載されている数式や定理は正しい数学とみなされているが、実用的または教育的な優位性に関する主張は主にワイルドバーガー自身によって宣伝されており、賛否両論の評価を受けている。
神聖比例の主な考え方は、距離をユークリッド距離の二乗（ワイルドバーガーはこれを「クアドランス」と呼ぶ）に置き換え、角度をその正弦の二乗（ワイルドバーガーはこれを「2本の線の間の広がり」と呼ぶ）に置き換えることである。神聖比例は、線分または交差する2本の線を決定する点のデカルト座標から、これら2つの概念を直接定義する。このように定義すると、これらはそれらの座標の有理関数となり、距離や角度を計算する際に必要となる平方根や逆三角関数を取る必要なく直接計算できる。[ 1 ]
有限主義者であるワイルドバーガーにとって、この置換には、ワイルドバーガーが根拠がないと主張する、実数の定義に用いられる極限と実際の無限の概念を回避できるという利点がある。 [ 2 ] [ 1 ]また、同じ象限と広がりの公式を用いて、有理数から有限体などの他の数体系に類似の概念を直接拡張することも可能になる。 [ 1 ]さらに、この方法では、2本の線によって形成される2つの補角の曖昧さを回避できる。両方の角の広がりが同じだからである。このシステムはより直感的で、2次元から3次元への拡張も容易であると主張されている。[ 3 ]しかし、これらの利点と引き換えに、距離と角度の加法性が失われる。例えば、線分を2つに分割すると、その長さは2つの部分の長さの合計になるが、部分の象限を組み合わせるのはより複雑で、平方根が必要になる。[ 1 ]
『神聖比例』は4つのパートに分かれています。パートIでは、距離と角度の代わりに象限と広がりを使用する概要を示し、それらの利点について論じています。パートIIでは、パートIで述べた主張を形式化し、厳密に証明しています。[ 1 ]線を無限の点の集合として定義するのではなく、線は同次座標によって定義され、これは点と線の交わりをテストする公式で使用できます。正弦と同様に、余弦と正接は「クロス」と「ツイスト」と呼ばれる有理数に置き換えられ、『神聖比例』では、これらの量を含む三角恒等式のさまざまな類似物を開発しています。 [ 3 ]これには、ピタゴラスの定理、正弦定理、余弦定理のバージョンが含まれます。[ 4 ]
第 III 部では、前の 2 つの部で開発されたツールを使用して三角形と円錐曲線の幾何学を展開します。 [ 1 ]三角形の辺の長さから面積を計算するヘロンの公式や、円の弦が円上の他の点からなす角が等しいという形式の円周角の定理などのよく知られた結果は、象限と広がりに関して再定式化され、それによって任意の数体に一般化されます。[ 3 ] [ 5 ]最後に、第 IV 部では、物理学と測量における実用的な応用を考察し、高次元ユークリッド空間と極座標への拡張を展開します。[ 1 ]
『神聖比例』は読者に高度な数学的知識を前提としていないが、多くの長い公式、有限体に関する頻繁な考察、そして（第1部以降）数学的厳密性への重点は、一般の数学読者にとっては障害となる可能性がある。むしろ、本書は主に数学教師や研究者向けに書かれている。しかし、数学を学ぶ学生にも読める可能性があり、数学コースの基礎として使用できる演習問題も含まれている。[ 1 ] [ 6 ]
本書で書評家から最も好意的に受け止められたのは、距離と角度の幾何学における結果を有限体に拡張した点である。書評家のローラ・ウィズウェルはこの研究に感銘を受け、正五角形を含む最小の有限体は[ 1 ]マイケル・ヘンレは、本書の第 3 部で、三角形と円錐曲線の幾何学を有限体へ拡張することを「非常に一般的な優雅な理論」と呼んでおり、[ 4 ]ウィリアム・バーカーも本書のこの側面を好意的に書き、それを「特に斬新」であり、新たな研究方向を開拓する可能性があると述べている。[ 6 ]
ウィズウェルは、この研究で帰属表示なしに提示された詳細な結果のうち、実際に新規なものがいくつあるのかという疑問を提起している。[ 1 ]この点に関して、マイケル・ヘンレは、二乗ユークリッド距離の使用は「他の場所でしばしば便利であることがわかっている」と指摘している。[ 4 ]例えば、距離幾何学、最小二乗統計、凸最適化で使用されている。ジェームズ・フランクリンは、線形代数を用いて従来通りにモデル化された3次元以上の空間の場合、神聖比例によるスプレッドの使用は、三角関数の代わりに内積を用いる標準的な方法とそれほど違いがないと指摘している。 [ 5 ]
ヘンレが指摘するワイルドバーガーの方法の利点は、単純な代数しか使わないため、証明が理解しやすく、コンピュータによる検証も容易であるという点である。しかし、同書の全体的な理論の単純さに関する主張は、クアドランスとスプレッドを、対応する古典的な距離、角度、正弦の概念ではなく、古典的な三角法のはるかに幅広いツールと比較するという誤った比較に基づいていると指摘している。また、科学計算機を持つ学生にとって、平方根や三角関数を避ける公式は問題にならないとも指摘している[ 4 ]。バーカーは、新しい公式は個々の計算ステップの数が多いことが多いと付け加えている[ 6 ] 。複数のレビュアーは、学生に三角法を教えるのに必要な時間の短縮は非常に歓迎すべきことだと感じているが[ 3 ] [ 5 ] [ 7 ]、ポール・キャンベルは、これらの方法が実際に学習を速めるかどうかについて懐疑的である。[ 7 ]ジェリー・レバーシャは偏見を持たず、「ワイルドバーガーが作成を約束した学校の生徒向けの教科書や、学生をモルモットにした対照実験を見るのは興味深いだろう」と書いている。[ 3 ]しかし、これらの教科書や実験は公表されていない。
ウィズウェルは、従来の幾何学にはこれらの方法が回避する根本的な欠陥があるという主張に納得していない。[ 1 ]バーカーはウィズウェルに同意するものの、ワイルドバーガーの無限に対する哲学的疑念を共有する他の数学者もいる可能性があり、この研究は彼らにとって非常に興味深いものとなるはずだと指摘している。[ 6 ]
複数の査読者が提起した最後の問題は慣性です。仮にこれらの方法の方が優れていると仮定すると、幾何学と三角法をこれらの用語で再学習するという個人の大きな努力、そして古典的な幾何学と三角法の代わりにこれらを使用するように学校のカリキュラムを再構築するという制度的な努力に見合うだけの十分な優位性があるのかどうか、彼らは問いかけています。ヘンレ、バーカー、レバーシャは、この本はこの点について主張していないと結論付けていますが、 [ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]サンドラ・アーリングハウスは、この研究を、彼女の数学地理学のような「伝統的な制度的硬直性にあまり投資していない」分野が、そのような代替の可能性を示す機会と見ています。[ 8 ]
