スピングラス

ガラス（非晶質_SiO₂）

石英（結晶質_SiO₂）

スピングラスの磁気的な無秩序は、強磁性体と比較すると、ガラス（左）の位置的な無秩序と石英（右）の位置的な無秩序に類似している。

凝縮系物理学では、スピングラスはランダム性を特徴とする磁気状態であり、スピンが「凍結温度」 T _fと呼ばれる温度で凍結する際の協調的な挙動も特徴である。^{[ 1 ]}強磁性固体 では、構成原子の磁気スピンはすべて同じ方向に整列する。強磁性体と対比すると、スピングラスは「無秩序な」磁気状態と定義され、スピンはランダムに、または規則的なパターンなしに整列し、結合もランダムである。^{[ 1 ]}スピングラスは「スピンオングラス」と混同してはならない。後者は通常 SiO ₂をベースとした薄膜であり、スピンコーティングによって塗布される。

「ガラス」という用語は、スピングラスにおける磁気的な無秩序と、窓ガラスなどの一般的な化学ガラスにおける位置的な無秩序との類似性から来ています。窓ガラスやその他の非晶質固体では、原子結合構造は非常に不規則です。対照的に、結晶は原子結合が均一なパターンで配置されています。強磁性固体では、磁気スピンはすべて同じ方向に整列します。これは、結晶の格子構造に類似しています。

スピングラス内の個々の原子結合は、強磁性結合（隣接する原子が同じ向きを持つ）と反強磁性結合（隣接する原子が正反対の向きを持ち、北極と南極が180度反転している）がほぼ同数混在している。このように整列した原子磁石と不整列した原子磁石のパターンは、いわゆるフラストレーション相互作用、つまり通常の完全に整列した固体で見られるものと比較して原子結合の幾何学的構造に歪みを生じさせる。また、原子の幾何学的配置が複数安定する状況も生じる可能性がある。 

スピングラスには主に2つの側面があります。物理的な側面では、スピングラスは独特の特性を持つ実在の物質であり、そのレビューは1982年に発表されています。^{[ 2 ]}数学的な側面では、実際のスピングラスに触発された単純な統計力学モデルが広く研究され、応用されています。^{[ 3 ]}

スピングラスとその内部に生じる複雑な構造は、最低エネルギー状態（整列した強磁性状態）以外の安定な状態に「固定」されているため、「準安定」と呼ばれます。これらの構造の数学的な複雑さは、実験的またはシミュレーションによる研究が困難ですが、物理学、化学、材料科学、コンピュータ科学における人工ニューラルネットワークなど、幅広い分野に応用されています。

物質がスピングラスであるかどうかを判断する主要な方法は、その磁気的挙動に基づいています。磁気モーメントの根本的な無秩序な構造のため、スピングラスは独自の特性の組み合わせを示すことが期待されます。必要な基準のリストは、Mydosh によるレビュー論文で提案されています。^{[ 4 ]}

1. 交流感受性${\displaystyle \chi _{\mathrm {ac} }=\chi '+i\chi ''={\frac {\partial M}{\partial B_{ac}}}}$これは、スピングラスが交流磁場に対して示す応答である。これは、（反応性の）同位相成分から構成される。${\displaystyle \chi '}$そして（吸収性の）逆位相成分${\displaystyle \chi ''}$スピングラスに期待されるのは、${\displaystyle \chi ''(T)}$氷点下で急激にピークに達する${\displaystyle T_{f}}$さらに、凍結温度は励起周波数にほとんど依存しないと予想される。その理由として、凍結過程において、ゆらぎによってスピンダイナミクスが遅くなり、その結果、吸収が増加するということが挙げられる。${\displaystyle \chi ''}$。
2. 温度依存磁化${\displaystyle M(T)}$凍結状態では、磁気履歴に依存しなければならない。加熱時の磁化の間には顕著な分裂が生じなければならず、一定の${\displaystyle M}$まで${\displaystyle T_{f}}$試料を磁場中で相転移点を超えて冷却した場合（いわゆる磁場冷却FC）。これは、磁場をかけずに冷却し、凍結状態でのみ磁場を印加する場合（ゼロ磁場冷却ZFC）とは対照的である。この原理は、FCプロトコルではガラスが（部分的に）磁化された状態に凍結されるという点にある。
3. 磁気比熱${\displaystyle c_{m}}$は、広い範囲で磁場に依存する最大値を示します。${\displaystyle T_{f}}$一方、秩序状態への遷移は急激である（強磁性体や反強磁性体のように）。
4. スピングラスは無秩序に基づいているため、磁化状態は減衰し、老化します。これは、ゼロ磁場冷却された磁化状態が非磁化状態に戻ることを意味します。量には最大値があります。${\displaystyle S(t)=(1/H){\frac {\partial M}{\partial \ln t}}}$。

スピングラス転移温度Tc [^{注1 ]}_を超えると、スピングラスは典型的な磁気挙動（常磁性など）^を示す。

試料を転移温度まで冷却する際に磁場を印加すると、キュリーの法則に従って試料の磁化が増加する。

驚くべきことに、時間の2つの複雑な関数（ゼロ磁場冷却磁化と残留磁化）の合計は定数、すなわち磁場冷却値であり、したがって両方とも時間に対して同一の関数形式を共有している^{[ 5 ]。}少なくとも非常に小さな外部磁場の極限では。

エドワーズ・アンダーソンモデルはイジングモデルに似ており、スピンは${\displaystyle d}$最近接相互作用のみを持つ次元格子。臨界温度は厳密に解くことができ、低温ではガラス相が存在することが観察されている。^{[ 6 ]}このスピン系のハミルトニアンは次式で与えられる。

${\displaystyle H=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j},}$

どこ${\displaystyle S_{i}}$は、格子点におけるスピン1/2粒子のパウリスピン行列を指します。${\displaystyle i}$そして合計は${\displaystyle \langle ij\rangle }$すべての最近傍格子点を含む${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$変数${\displaystyle J_{ij}}$隣接するスピン間の磁気相互作用を特徴づけるものであり、結合変数またはリンク変数と呼ばれる。負の場合には、相互作用は反強磁性となる。${\displaystyle J_{ij}}$正の強磁性 ${\displaystyle J_{ij}}$。

このシステムの分配関数を決定するには、自由エネルギーを平均化する必要がある。${\displaystyle f\left[J_{ij}\right]=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]}$どこ${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left[J_{ij}\right]=\operatorname {Tr} _{S}\left(e^{-\beta H}\right)}$、すべての可能な値にわたって${\displaystyle J_{ij}}$値の分布${\displaystyle J_{ij}}$は平均が のガウス分布であるとみなされる${\displaystyle J_{0}}$そして差異${\displaystyle J^{2}}$:

${\displaystyle P(J_{ij})={\sqrt {\frac {N}{2\pi J^{2}}}}\exp \left\{-{\frac {N}{2J^{2}}}\left(J_{ij}-{\frac {J_{0}}{N}}\right)^{2}\right\}.}$

+ Jおよび - Jランダム結合イジングモデルでは、最近接結合が確率pおよび 1 - pで + Jおよび - Jの値をとる場合、西森線は温度-無秩序相図において以下の条件を満たす軌跡である。${\displaystyle \exp(-2\beta J)=(1-p)/p}$この線では、ゲージ変換によって内部エネルギーなどの正確な結果が得られるため、有限次元スピングラスモデルの数少ない厳密に制御されたケースの1つとなっています。^{[ 7 ] [ 8 ]}情報処理アプリケーションでは、西森は関連するスピングラス法を使用して、特定の誤り訂正符号アンサンブルの場合、チャネルノイズに合わせた有限の復号温度で復号エラーを最小化できることを示しました。^{[ 9 ]}伊場は後に、西森線をベイズ統計の観点から議論しました。^{[ 10 ]}

レプリカ法を用いて自由エネルギーを解くと、ある温度以下では、スピングラス相（またはガラス相）と呼ばれる新しい磁気相が存在することがわかり、この相は磁化が消失するという特徴を持つ。${\displaystyle m=0}$同じ格子点にあるが2つの異なるレプリカにあるスピン間の2点相関関数の値がゼロにならないことも条件となる。

${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{N}S_{i}^{\alpha }S_{i}^{\beta }\neq 0,}$

どこ${\displaystyle \alpha ,\beta }$はレプリカ指数である。したがって、強磁性からスピングラスへの相転移の秩序パラメーターは${\displaystyle q}$そして、常磁性体からスピングラスへの変化は再び${\displaystyle q}$したがって、3つの磁気相を記述する新しい秩序パラメータのセットは、${\displaystyle m}$そして${\displaystyle q}$。

レプリカ対称性の仮定の下では、平均場自由エネルギーは次の式で与えられる。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}-{\frac {\beta ^{2}J^{2}}{4}}(1-q)^{2}+{\frac {\beta J_{0}m^{2}}{2}}-\int \exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz+\beta J_{0}m\right)\right)\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}}$

スピングラスは、特異な実験的特性に加えて、広範な理論的および計算的研究の対象となっている。スピングラスに関する初期の理論的研究の大部分は、系の分配関数の複製に基づいた平均場理論の一形態を扱っていた。

スピングラスの重要な、厳密に解けるモデルは、1975年にデイビッド・シェリントンとスコット・カークパトリックによって提唱された。これは、長距離にわたる強磁性および反強磁性の相互作用を持つイジングモデルである。このモデルは、磁化の緩やかなダイナミクスと複雑な非エルゴード平衡状態を記述する、スピングラスの平均場近似に対応する。

エドワーズ・アンダーソン（EA）モデルとは異なり、各スピン間相互作用の範囲は任意に大きくすることができます（隣接するサイトに限定されません）。任意の2つのスピンは強磁性結合または反強磁性結合で結び付けられます。これらの結合の分布はEAモデルと同じです。SKハミルトニアンは

${\displaystyle H=-{\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j},}$

どこ${\displaystyle J_{ij},S_{i},S_{j}}$EA モデルと同じ意味を持つ。シェリントン、カークパトリックらによる初期の試みの後、このモデルの平衡解は、 1979 年にレプリカ法を用いてジョルジオ・パリシによって発見された。パリシ解を解釈するその後の研究 ( M. メザール、G. パリシ、MA ビラソロ、その他多数) により、エルゴード性の破れ、超計量性、非自己平均性によって特徴付けられるガラス状の低温相の複雑な性質が明らかになった。さらなる発展により、レプリカなしで低温相を研究できるキャビティ法が開発された。パリシ解の厳密な証明は、フランチェスコ・ゲラとミシェル・タラグランの研究で提供されている。^{[ 11 ]}

相図

大きさが均一な外部磁場が存在する場合${\displaystyle M}$エネルギー関数は次のようになる$${\displaystyle H=-{\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{i<j}J_{ij}S_{i}S_{j}-M\sum _{i}S_{i}}$$すべてのカップリングを${\displaystyle J_{ij}}$IIDサンプルは、平均0、分散のガウス分布から得られます。${\displaystyle J^{2}}$1979年、JRL de AlmeidaとDavid Thouless ^{[ 12 ]}は、イジングモデルの場合と同様に、SKモデルの平均場解は低温、低磁場状態では不安定になることを発見した。

SKモデルの相図上の安定領域は、2つの無次元パラメータによって決定される。${\displaystyle x:={\frac {kT}{J}},\quad y:={\frac {M}{J}}}$その相図は、de Almeida-Thouless曲線によって分割された2つの部分から構成されており、この曲線は方程式^{[ 12 ]の解集合である。}$${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int \mathrm {d} z\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\operatorname {sech} ^{4}\left({\frac {q^{1/2}z+y}{x}}\right),\\&q={\frac {1}{(2\pi )^{1/2}}}\int \mathrm {d} z\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\tanh ^{2}\left({\frac {q^{1/2}z+y}{x}}\right).\end{aligned}}}$$相転移は${\displaystyle x=1}$そのすぐ下には、$${\displaystyle y^{2}\approx {\frac {4}{3}}(1-x)^{3}.}$$低温、高磁場限界では、線は$${\displaystyle x\approx {\frac {4}{3{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}}$$

これは「pスピンモデル」とも呼ばれます。^{[ 3 ]}無限範囲モデルは、2スピン相互作用だけでなく、${\displaystyle p}$-スピン相互作用、${\displaystyle p\leq N}$そして${\displaystyle N}$はスピンの総数です。エドワーズ・アンダーソンモデルとは異なり、SKモデルと同様に、相互作用範囲は無限です。このモデルのハミルトニアンは次のように記述されます。

${\displaystyle H=-\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}J_{i_{1}\dots i_{p}}S_{i_{1}}\cdots S_{i_{p}}}$

どこ${\displaystyle J_{i_{1}\dots i_{p}},S_{i_{1}},\dots ,S_{i_{p}}}$EAモデルと同様の意味を持つ。${\displaystyle p\to \infty }$このモデルの極限はランダムエネルギーモデルとして知られています。この極限では、スピングラスが特定の状態に存在する確率は、その状態のエネルギーのみに依存し、その状態内の個々のスピン配置には依存しません。このモデルを解くために、通常、格子全体にわたる磁気結合のガウス分布が仮定されます。中心極限定理の結果として、他の分布でも同じ結果が得られると予想されます。ガウス分布関数は、平均が${\displaystyle {\frac {J_{0}}{N}}}$および分散${\displaystyle {\frac {J^{2}}{N}}}$は次のように与えられます。

${\displaystyle P\left(J_{i_{1}\cdots i_{p}}\right)={\sqrt {\frac {N^{p-1}}{J^{2}\pi p!}}}\exp \left\{-{\frac {N^{p-1}}{J^{2}p!}}\left(J_{i_{1}\cdots i_{p}}-{\frac {J_{0}p!}{2N^{p-1}}}\right)\right\}}$

このシステムの秩序パラメータは磁化によって与えられる。${\displaystyle m}$そして、同じサイトのスピン間の2点スピン相関${\displaystyle q}$2つの異なるレプリカで、SKモデルと同じである。この無限範囲モデルは、自由エネルギー^{[ 6 ]}に関して明示的に解くことができる。${\displaystyle m}$そして${\displaystyle q}$レプリカ対称性と1レプリカ対称性の破れを仮定した場合。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta f={}&{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}q^{p}-{\frac {1}{2}}p\beta ^{2}J^{2}q^{p}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}J^{2}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}pm^{p}+{\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}}}p\beta ^{2}J^{2}q^{p-1}+{}\\&\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}z^{2}\right)\log \left(2\cosh \left(\beta Jz{\sqrt {{\frac {1}{2}}pq^{p-1}}}+{\frac {1}{2}}\beta J_{0}pm^{p-1}\right)\right)\,\mathrm {d} z\end{aligned}}}$

熱力学系は、その系の任意の（平衡）状態が与えられたとき、最終的に他のすべての可能な（平衡）状態（同じエネルギー）を訪れる場合にエルゴード的である。スピングラス系の特徴の1つは、凝固点以下では${\displaystyle T_{\text{f}}}$、インスタンスは「非エルゴード的」な状態の集合に閉じ込められます。システムはいくつかの状態の間で変動する可能性がありますが、同等のエネルギーの他の状態に遷移することはできません。直感的には、システムは階層的に無秩序なエネルギーランドスケープの深い最小値から逃れることができないと言えます。最小値間の距離は超距離によって与えられ、最小値間には高いエネルギー障壁があります。^{[注2 ]}参加率は、特定のインスタンスからアクセス可能な状態の数、つまり基底状態に参加する状態の数をカウントします。スピングラスのエルゴード的側面は、2021年のノーベル物理学賞の半分をジョルジオ・パリシに授与する上で重要な役割を果たしました。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

銅中の希薄マンガンなどの物理系では、凝固点は通常30ケルビン（-240 ℃）と低いため、スピングラス磁性は日常生活において実用的ではないように思われる。しかしながら、非エルゴード状態と起伏の激しいエネルギー地形は、ホップフィールドネットワークを含む特定のニューラルネットワーク の挙動を理解する上で非常に有用であり、コンピュータサイエンスの最適化や遺伝学における多くの問題にも役立つ。

元素結晶ネオジムは室温では常磁性であり、 19.9 K以下に冷却すると非整合秩序を持つ反強磁性体になる。 ^{[ 16 ]}この転移温度以下では、構造的無秩序に依存しない長いスピン緩和時間とスピングラス挙動を持つ複雑な磁気相のセットを示す。 ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} 

1960年代初頭から1980年代後半までのスピングラスの歴史の詳細な説明は、Philip W. AndersonによるPhysics Todayの一連の一般向け記事で見つけることができます。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}

レプリカ平均場理論の形式はニューラルネットワークの研究にも応用されており、バックプロパゲーションなどのトレーニングアルゴリズムを設計または実装することなく、単純なニューラルネットワークアーキテクチャの記憶容量などの特性を計算することが可能になっています。^{[ 32 ]}

短距離の相互作用が阻害され、無秩序な状態にある、より現実的なスピングラスモデル（例えば、隣接するスピン間の結合がガウス分布に従うガウスモデルなど）も、特にモンテカルロシミュレーションを用いて広く研究されてきた。これらのモデルは、鋭い相転移によって境界付けられたスピングラス相を示す。

スピングラス理論は、凝縮系物理学における重要性に加えて、ニューラルネットワーク理論、コンピュータ科学、理論生物学、経済物理学などへの応用など、学際的な性格を強く帯びるようになった。

スピングラスモデルは、タンパク質折り畳みの折り畳み漏斗モデルに適用された。

• arxiv.orgにおける「スピングラス」という用語の出現頻度統計