2年生の夢

ベルヌーイ^{[ 2 ]}で示され、ダンハム^{[ 3 ]}で現代化された形で提示された元の証明は、項ごとの積分がどのように行われるかという点で上記の証明と異なっている。${\textstyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx}$は計算されるが、それ以外は同じで、手順を正当化するための技術的な詳細（項ごとの積分など）は省略されている。置換積分によってガンマ関数（当時はまだ知られていなかった）を得る代わりに、ベルヌーイは部分積分を使用してこれらの項を繰り返し計算した。

部分積分は、2つの指数を独立して変化させて漸化式を得るという手順で進められます。まず、積分定数を省略して不定積分を計算します。${\displaystyle +C}$これは歴史的に行われてきたことと、定積分を計算する際に省略されるという両方の理由による。

統合する${\textstyle \int x^{m}(\log x)^{n}\,dx}$置換により${\textstyle u=(\log x)^{n}}$そして${\textstyle dv=x^{m}\,dx}$収量：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}(\log x)^{n}\,dx&={\frac {x^{m+1}(\log x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\log x)^{n-1}}{x}}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\log x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\log x)^{n-1}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\end{aligned}}}$$

（対数関数の積分リストにも記載されています）。これにより、被積分関数の対数の次数が 1 減少します（${\displaystyle n}$に${\displaystyle n-1}$）したがって、次のように帰納的に積分を計算できます。 $${\displaystyle \int x^{m}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\log x)^{n-i}}$$

どこ${\textstyle (n)_{i}}$は下降階乗を表します。nは整数なので、帰納法は0で停止し、有限和が存在します。

この場合${\textstyle m=n}$、そしてそれらは整数なので

$${\displaystyle \int x^{n}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\log x)^{n-i}.}$$

0から1まで積分すると、最後の項1を除いてすべての項が消滅し、^{[注2 ]}次の式が得られます。

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}$$

これはオイラーの積分恒等式を計算することと同等である。${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$異なる領域におけるガンマ関数（置換による変数変換に対応）についても、オイラーの恒等式自体も同様の部分積分によって計算できる。

脚注