シンプソンのルール

数値積分において、シンプソンの法則は定積分に対するいくつかの近似法であり、トーマス・シンプソン（1710～1761）にちなんで名付けられました。

これらのルールの中で最も基本的なものは、シンプソンの1/3ルール、または単にシンプソンルールと呼ばれ、次のように表されます。 $$\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

ドイツ語やその他の言語では、この法則はヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられています。ケプラーは1615年に、ワイン樽にこの法則が使われているのを見て、それを考案しました（樽の法則、ケプラーの樽の法則）。この法則における近似等式は、fが3次までの多項式である場合に完全等式となります。

積分範囲[ a , b ]をn個の等しい分割に1/3ルールを適用すると、複合シンプソンの1/3ルールが得られます。積分範囲内の点には、4/3と2/3の重みが交互に与えられます。 

シンプソンの3/8ルール（シンプソンの第2ルールとも呼ばれる）は、積分範囲内で関数評価を1回多く必要とし、誤差範囲を小さくするが、誤差の次数を改善するものではない。

積分範囲[ a , b ]をn個の等しい分割に3/8ルールを適用すると、合成シンプソンの3/8ルールが得られます。 

シンプソンの1/3ルールと3/8ルールは、閉じたニュートン・コーツ公式の2つの特殊なケースである。

造船工学や船舶の安定性評価には、シンプソンの第3法則も存在しますが、これは一般的な数値解析では特に重要ではありません。シンプソンの法則（船舶の安定性）を参照してください。

シンプソンの1/3ルール（単にシンプソンルールとも呼ばれる）は、トーマス・シンプソンによって提案された数値積分法です。これは二次補間に基づいており、複合シンプソンの1/3ルールは、${\displaystyle n=2}$シンプソンの1/3ルールは以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {ba}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle h=(ba)/n}$ステップサイズは${\displaystyle n=2}$。

シンプソンの公式による積分の近似における誤差は${\displaystyle n=2}$は $${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$$ どこ${\displaystyle \xi }$（ギリシャ文字の xi）は、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

誤差は漸近的に比例する${\displaystyle (b-a)^{5}}$しかし、上記の導出は、に比例する誤差を示唆している。${\displaystyle (b-a)^{4}}$シンプソンの公式は、被積分関数を評価する点が区間内で対称的に分布しているため、次数が1つ増える。${\displaystyle [a,\ b]}$。

誤差項は、${\displaystyle f}$で${\displaystyle \xi }$これは、シンプソンの法則が任意の多項式に対して正確な結果を与えることを示している。${\displaystyle f}$次数が 3 以下である場合、そのような多項式の 4 階微分はすべての点でゼロになります。この結果を理解する別の方法は、任意の補間3 階多項式は、一意の補間 2 階多項式と、区間内の 3 つの点すべてでゼロになる任意にスケーリングされた 3 階多項式の和​​として表すことができ、この 2 番目の項の積分は、区間内で奇数であるためゼロになることに注目することです。

2階微分が${\displaystyle f''}$区間内に存在し、凸である${\displaystyle (a,\ b)}$、 それから $${\displaystyle (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

例

2の自然対数を近似する

以来

$${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2),}$$

近似値${\displaystyle \ln(2)}$この積分を近似することで生成できます。複合シンプソンの1/3ルールを適用すると${\displaystyle n=6}$間隔は $${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(2)=\int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,dx&\approx {\frac {1}{18}}\left(\ 1+{\frac {24}{7}}+{\frac {3}{2}}+{\frac {8}{3}}+{\frac {6}{5}}+{\frac {24}{11}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&\approx 0.69316,\end{aligned}}}$$

相対誤差は約${\displaystyle 0.003\%}$。

統計学への応用

統計学において、データが左右の偏りなく中心値の周りに分布する場合、正規分布であると言われます。平均がゼロで標準偏差が1の場合、曲線は標準正規分布（または標準ガウス分布）に従うと言われます。^{[ 5 ]}この分布の式は次のとおりです。

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right).}$$

68-95-99.7ルールによれば、値の約68.27%は平均値から1標準偏差以内に収まるので、

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)dx\approx 0.6827.$

この結果は、合成シンプソンの1/3ルールを適用することで検証できます。${\displaystyle n=6}$間隔は $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {1}{9}}\left(\ {\frac {1}{e^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {4}{1}}+{\frac {2}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {1}{e^{\frac {1}{2}}}}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times 1.71142\\&\approx 0.6827,\end{aligned}}}$$

予想通り。

同様に、68-95-99.7ルールでは、値の約95.45%が平均値から2標準偏差以内に収まるとされています。

${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)dx\approx 0.9545.}$

これまでと同様に、この結果は合成シンプソンの1/3ルールで検証できます。ルールを適用すると、${\displaystyle n=6}$間隔は $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {2}{9}}\left(\ {\frac {1}{e^{2}}}+{\frac {4}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{1}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {1}{e^{2}}}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\times 2.39167\\&\approx 0.9541,\end{aligned}}}$$

相対誤差は約${\displaystyle 0.0419\%}$被積分関数が偶関数であることに注目すると、積分区間を短縮できる（それによって離散化誤差を減らすことができる） 。

$${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx=2\int _{0}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx.}$$

再び、合成シンプソンの1/3ルールを適用して${\displaystyle n=6}$間隔は $${\displaystyle {\begin{aligned}2\int _{0}^{2}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left({\frac {-x^{2}}{2}}\right)\,dx&\approx {\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\times {\frac {1}{9}}\left(\ 1+{\frac {4}{e^{\frac {1}{18}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {2}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {2}{e^{\frac {8}{9}}}}+{\frac {4}{e^{\frac {25}{18}}}}+{\frac {1}{e^{2}}}\right)\\&\approx {\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\times 1.19626\\&\approx 0.9544,\end{aligned}}}$$

相対誤差は約${\displaystyle 0.0104\%}$ただし、間隔の数は同じです。

πを近似する

以来

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan(1)-\arctan(0)={\frac {\pi }{4}},}$$

これを並べ替えると次のようになります

$${\displaystyle \pi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx.}$$

したがって、${\displaystyle \pi }$この積分を近似することで生成できます。複合シンプソンの1/3ルールを適用すると${\displaystyle n=6}$間隔は $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx&\approx {\frac {2}{9}}\left(\ 1+{\frac {144}{37}}+{\frac {9}{5}}+{\frac {16}{5}}+{\frac {18}{13}}+{\frac {144}{61}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&\approx 3.141591,\end{aligned}}}$$

驚くべきことに、相対誤差は約${\displaystyle 0.00002\%}$。

必要な精度に必要な区間数を決定する

近似に必要な区間の数を決定したいとします。${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx}$絶対誤差が以下${\displaystyle 0.00001}$複合シンプソンの1/3ルールにおける誤差項は

$${\displaystyle -{\frac {\pi h^{4}}{180}}\sin(\xi )}$$

一部の人にとって${\displaystyle \xi }$間${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle \pi }$絶対誤差は以下${\displaystyle 0.00001}$計算できます

$${\displaystyle \left|{\frac {\pi h^{4}}{180}}\sin(\xi )\right|\leq {\frac {\pi h^{4}}{180}}={\frac {\pi ^{5}}{180n^{4}}}<0.00001}$$

これにより

$${\displaystyle n>{\sqrt[{4}]{\frac {\pi ^{5}}{0.0018}}}\approx 20.3,}$$

それで${\displaystyle n=22}$必要な精度が得られます。

比較のために、複合台形公式を使用してこの程度の精度を保証したいと仮定します。この場合、誤差項は次のようになります。

$${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}}{12}}\sin(\xi )}$$

一部の人にとって${\displaystyle \xi }$間${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle \pi }$絶対誤差は以下${\displaystyle 0.00001}$計算できます

$${\displaystyle \left|{\frac {\pi h^{2}}{12}}\sin(\xi )\right|\leq {\frac {\pi h^{2}}{12}}={\frac {\pi ^{3}}{12n^{2}}}<0.00001}$$

これにより

$${\displaystyle n>{\sqrt {\frac {\pi ^{3}}{0.00012}}}\approx 508.3,}$$

それで${\displaystyle n=509}$これにより、必要な精度が保証されます。これは、合成シンプソンの1/3ルールと比較して、計算量が大幅に増加します。

シンプソンの3/8ルール（シンプソンの第2ルールとも呼ばれる）は、トーマス・シンプソンによって提案された数値積分法の一つである。これは、2次補間ではなく3次補間に基づいている。

エリアを見つけることを検討してください。${\displaystyle A}$一般的な立方体の下で${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$間${\displaystyle x=-h}$そして${\displaystyle x=2h}$ある正の数に対して${\displaystyle h}$これは次のように与えられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{-h}^{2h}\left(ax^{3}+bx^{2}+cx+d\right)\,dx\\[1ex]&=\left[{\frac {1}{4}}ax^{4}+{\frac {1}{3}}bx^{3}+{\frac {1}{2}}cx^{2}+dx\right]_{x=-h}^{x=2h}\\[1ex]&=\left(4ah^{4}+{\frac {8}{3}}bh^{3}+2ch^{2}+2dh\right)-\left({\frac {1}{4}}ah^{4}-{\frac {1}{3}}bh^{3}+{\frac {1}{2}}ch^{2}-dh\right)\\[1ex]&={\frac {15}{4}}ah^{4}+3bh^{3}+{\frac {3}{2}}ch^{2}+3dh\\[1ex]&={\frac {3h}{8}}\left[10ah^{3}+8bh^{2}+4ch+8d\right].\end{aligned}}}$$

積分区間内に等間隔に配置された4つの点を仮定すると、${\displaystyle (-h,y_{0})}$、${\displaystyle (0,y_{1})}$、${\displaystyle (h,y_{2})}$そして${\displaystyle (2h,y_{3})}$これらの4つの点を3次方程式に代入すると、

$${\displaystyle y_{0}=-ah^{3}+bh^{2}-ch+d}$$$${\displaystyle y_{1}=d}$$$${\displaystyle y_{2}=ah^{3}+bh^{2}+ch+d}$$$${\displaystyle y_{3}=8ah^{3}+4bh^{2}+2ch+d.}$$

最初の式と3番目の式を足すと、

$${\displaystyle y_{0}+y_{2}=2bh^{2}+2d}$$

そして、4番目の式に3番目の式の2倍を加えると、

$${\displaystyle y_{3}+2y_{2}=10ah^{3}+6bh^{2}+4ch+3d.}$$

私たちは今

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3h}{8}}\left[10ah^{3}+8bh^{2}+4ch+8d\right]\\&={\frac {3h}{8}}\left[\underbrace {10ah^{3}+6bh^{2}+4ch+3d} _{y_{3}+2y_{2}}+\underbrace {2bh^{2}+2d} _{y_{0}+y_{2}}+3\underbrace {d} _{y_{1}}\right]\\&={\frac {3h}{8}}\left[y_{0}+3y_{1}+3y_{2}+y_{3}\right].\end{aligned}}}$$

シンプソンの3/8ルールは、区間[a, b]上の定積分を、等間隔の4つの点で関数を補間する3次関数で置き換えることにより近似します。${\displaystyle x=a}$、${\displaystyle x=a+h}$、${\displaystyle x=a+2h}$そして${\displaystyle x=a+3h=b}$、 どこ${\displaystyle h={\frac {b-a}{3}}}$はステップサイズです。これにより、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx A&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right].\end{aligned}}}$$

この方法の誤差は $${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$$ どこ${\displaystyle \xi }$は、ある数の間です。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$したがって、3/8 ルールは標準的な方法の約 2 倍の精度を持ちますが、関数の値が 1 つ多く必要になります。上記と同様に、複合 3/8 ルールも存在します。^{[ 6 ]}

任意の次数多項式による補間に関するこの概念のさらなる一般化が、ニュートン・コーツの公式である。

これは複合シンプソン則の別の定式化です。近似する積分の互いに素なセグメントにシンプソン則を適用する代わりに、シンプソン則を重なり合うセグメントに適用すると、^{[ 7 ]が得られます。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{48}}h{\bigg [}&17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})\\+&48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})\\+&49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n}){\bigg ]}\end{aligned}}}$$ 上記の式は、複合シンプソンの1/3ルールと、両端の区間にシンプソンの3/8ルールを、残りの区間にシンプソンの1/3ルールを用いるルールを組み合わせることによって得られます。そして、この2つの式の平均値を取ることで結果が得られます。

一部のアプリケーションでは、積分間隔${\displaystyle I=[a,b]}$不均等な間隔に分割する必要がある。これは、データのサンプリングが不均等であるか、データポイントが欠落または破損しているためかもしれない。間隔を分割すると仮定する。${\displaystyle I}$偶数に${\displaystyle N}$幅の小区間の${\displaystyle h_{k}}$すると、合成シンプソンのルールは^{[ 9 ]で与えられる。}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{N/2-1}{\frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}\left[\left(2-{\frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}\right)f_{2i}+{\frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+\left(2-{\frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}\right)f_{2i+2}\right],}$$ どこ $${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\right)}$$ 関数値は${\displaystyle k}$区間の 番目のサンプリングポイント${\displaystyle I}$。

奇数の場合${\displaystyle N}$部分区間の場合、上記の式は最後から 2 番目の区間まで使用され、最後の区間は結果に以下を追加して個別に処理されます。^{[ 10 ]}$${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2},}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\\[1ex]\beta &={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\\[1ex]\eta &={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.\end{aligned}}}$$

以下の擬似コードは、シンプソンの法則の様々な形式を説明するものです。

入力: 実数値関数f 積分下限a 積分上限b 区間数n出力:近似値${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$n mod 2 ≠ 0の場合、 print("エラー - 区間の数は偶数でなければなりません。 ") 戻る end if h ← (b - a) / n sum ← f(a) + f(b) for i ← 1 to n - 1 do x ← a + ( i × h ) if i is odd then sum ← sum + (4 × f(x) ) else sum ← sum + (2 × f(x) ) end if end for return ( h / 3) × sum

入力: 実数値関数f 積分下限a 積分上限b 区間数n出力:近似値${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$n mod 3 ≠ 0 の場合 print("エラー - 間隔の数は3の倍数でなければなりません。") 戻る end if h ← (b - a) / n sum ← f(a) + f(b) for i ← 1 to n - 1 do x ← a + ( i × h ) if i mod 3 = 0 then sum ← sum + (2 × f(x) ) else sum ← sum + (3 × f(x) ) end if end for return (3 h / 8) × sum

入力: 関数値のサンプリング点、x サンプリング点における関数値、f出力:近似値${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{n}}f(x)\,dx}$N =長さ(x) - 1 # 区間が1つしかない場合（つまり、点が2つしかない場合）は台形公式を使用します N == 1の場合、 0.5 * ( x₁ - x₀ ) * ( f₁ + f₀ ) を返す。i ← 0からN-1までhᵢ = xᵢ₊₁ - xᵢを実行する。 result = 0.0 の場合、i ← 1からN-1 (ステップ サイズ 2)までh₀、h₁ ← hᵢ₋₁、hᵢ hph、hdh、hmh ← h₁ + h₀、h₁ / h₀、h₁ * h₀ result ← result + ( hph / 6) * ((2 - hdh ) * fᵢ₋₁ + ( hph **2 / hmh ) * fᵢ + (2 - 1 / hdh ) * fᵢ₊₁ ) end if if N mod 2 = 1 then h₀ , h₁ ← hₙ₋₂ , hₙ₋₁ result ← result + fₙ * (2 * h₁ ** 2 + 3 * h₀ * h₁ ) / (6 * ( h₀ + h₁ )) result ← result + fₙ₋₁ * ( h₁ ** 2 + 3 * h₁ * h₀ ) / (6 * h₀ ) result ← result - fₙ₋₂ * h₁ ** 3 / (6 * h₀ * ( h₀ + h₁ )) end if return result

シンプソンの法則の重要な特性は、すべてのニュートン・コーツの公式に共通する丸め誤差に対する安定性です。例として、複合シンプソンの法則を次のように適用するとします。${\displaystyle n}$ある関数の小区間${\displaystyle f(x)}$区間[a, b]において。${\displaystyle e_{i}}$丸め誤差を表す${\displaystyle f(x_{i})}$計算され、${\displaystyle E(h)}$は、複合シンプソン法則における累積誤差の合計を表し、${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$。

定義により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}E(h)&=\left|{\frac {h}{3}}\left[e_{0}+2\sum _{j=1}^{(n/2)-1}e_{2j}+4\sum _{j=1}^{n/2}e_{2j-1}+e_{n}\right]\right|\\&\leq {\frac {h}{3}}\left[\left|e_{0}\right|+2\sum _{j=1}^{(n/2)-1}\left|e_{2j}\right|+4\sum _{j=1}^{n/2}\left|e_{2j-1}\right|+\left|e_{n}\right|\right].\end{aligned}}}$$

丸め誤差が何らかの数値に制限されていると仮定する${\displaystyle \varepsilon >0}$そうすれば

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(h)&\leq {\frac {h}{3}}\left[\varepsilon +2\left({\frac {n}{2}}-1\right)\varepsilon +4\left({\frac {n}{2}}\right)\varepsilon +\varepsilon \right]\\&={\frac {h}{3}}3n\varepsilon \\[1ex]&=nh\varepsilon \\[1ex]&=n\left({\frac {b-a}{n}}\right)\varepsilon \\&=(b-a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$$

これは、${\displaystyle h}$手順は安定しており、${\displaystyle h}$ゼロに近づく。これは、条件が悪い数値微分法とは対照的である。

• ニュートン・コーツの公式
• ガウス求積法

• アトキンソン、ケンドール E. (1989).数値解析入門（第2 版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-50023-2。
• バーデン、リチャード・L.、フェアーズ、J・ダグラス（2000）。数値解析（第7 版）。ブルックス/コール。ISBN 0-534-38216-9。
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• Süli, Endre; Mayers, David (2003).数値解析入門. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1。
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• 「シンプソン公式」 .数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
• ワイススタイン、エリック・W. 「シンプソンの法則」 . MathWorld .
• シンプソンの1/3積分法則—ノート、PPT、Mathcad、Matlab、Mathematica、Maple（STEM学部生向け数値解析）
• コンピュータ実装の詳細な説明は、Dorai Sitaram 著『Teach Yourself Scheme in Fixnum Days』付録 Cに記載されている。

この記事は、PlanetMathの「シンプソンの法則のコード」からの資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。