定二次形式

数学において、定常二次形式とは、実ベクトル空間V上の二次形式で、 Vのあらゆる非ゼロベクトルに対して同じ符号（常に正または常に負）を持つ形式です。その符号に応じて、二次形式は正定値または負定値と呼ばれます。

半正定値（または半正定値）の二次形式は、ほぼ同じ方法で定義されますが、「常に正」と「常に負」がそれぞれ「決して負にならない」と「決して正にならない」に置き換えられます。言い換えると、Vのゼロ以外のベクトルの一部に対してゼロ値を取る場合があります。

不定二次形式は正の値と負の値の両方を取り、等方二次形式と呼ばれます。

より一般的には、これらの定義は順序体上の任意のベクトル空間に適用される。^[1]

二次形式は、同じ空間上の対称双線型形式に一対一で対応します。 ^{[2]対称双線型形式は、関連する二次形式に応じて、}定正値、半定値などとも呼ばれます。二次形式Qとそれに関連する対称双線型形式B は、次の式で関連付けられています。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

後者の式は、${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

例として、 とし、二次形式を考える。 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

ここで、c ₁とc ₂は定数です。c ₁ > 0かつc ₂ > 0 の場合、二次形式Q は正定値であるため、次の場合は常に正の数に評価されます。定数の 1 つが正で、もう 1 つが 0 の場合、Qは半正定値であり、常に 0 または正の数に評価されます。c ₁ > 0かつc ₂ < 0 の場合、またはその逆の場合、Q は不定値であり、正の数に評価されることもあれば、負の数に評価されることもあります。c ₁ < 0かつc ₂ < 0 の場合、二次形式は負定値であり、次の場合は常に負の数に評価されます。また、定数の 1 つが負で、もう 1 つが 0 の場合、Q は半負定値であり、常に 0 または負の数に評価されます。 ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$

一般に、2変数の2次形式にはx ₁ · x ₂の積項も含まれます。

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

この二次形式は、 の場合には正定値であり、の場合には負定値であり、の場合には不定値である。の符号が の符号と一致する場合には、正または負の半定値である。${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$${\displaystyle \;c_{1}0\;}$${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$${\displaystyle \;c_{1}~.}$

この2変数二次形式は、原点を中心とした円錐曲線の文脈で現れる。上記の一般二次形式を0と等しくすると、二次形式が正定値または負定値の場合は楕円、不定値の場合は双曲線、${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

最も一般的に使用される距離の尺度であるn次元空間におけるユークリッドノルムの2乗は、

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

2 次元では、これは 2 点間の距離が軸と軸に沿った距離の二乗の合計の平方根であることを意味します。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

二次形式は行列を使って次のよう に表すことができます。

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

ここで、x は少なくとも 1 つの要素が 0 でないn × 1直交ベクトル です。Aはn × n対称行列です。上付き文字^{T は}行列の転置を表します。Aが対角行列の場合、これは平方変数を含む項のみを含む非行列形式に相当します。ただし、Aに非ゼロの非対角要素がある場合、非行列形式には 2 つの異なる変数の積を含む項も含まれます。 ${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$

この二次形式の正定値または負定値、半定値、または不定値は、Aの同じ性質と同等であり、これはAのすべての固有値を考慮するか、そのすべての主小行列式の符号をチェックすることによって確認できます。

定常二次形式は最適化問題に容易に適応できる。行列の二次形式に線形項が追加されると仮定すると、

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

ここで、bは定数のn ×1 ベクトルです。最大値または最小値の1 次条件は、行列の導関数をゼロ ベクトルに設定することによって求められます。

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

与える

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

Aが非特異であると仮定します。二次形式、つまりAが正定値であれば、この時点で最小値に対する2次条件が満たされます。二次形式が負定値であれば、最大値に対する2次条件が満たされます。

このような最適化の重要な例は、データセット内の完全な適合からの偏差の二乗の合計を最小化する推定パラメータのベクトルを求める 多重回帰で発生します。

• 等方性二次形式
• 正定値関数
• 正定値行列
• 二極化のアイデンティティ

• 北岡好之 (1993)。二次形式の算術。ケンブリッジ数学論文集。第106巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-40475-4.ZBL0785.11021  。​
• ラング、セルジュ（2004）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（訂正第4刷、改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 578、ISBN 978-0-387-95385-4。
• ミルナー、Ｊ．ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 73.スプリンガー。ISBN 3-540-06009-X.ZBL0292.10016  。​