フロベニウス・シューア指標

数学、特に表現論の分野において、イサイ・シューアにちなんで名付けられたシューア指示子、あるいはフロベニウス・シューア指示子は、複素ベクトル空間上のコンパクト群の与えられた既約表現がどのような不変双線型形式を持つかを記述する。これは、実ベクトル空間上のコンパクト群の既約表現を分類するために使用できる。

コンパクト群Gの有限次元連続表現が指標χを持つ場合、そのフロベニウス・シューア指示子は次のように定義される。

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu }$

ハール測度μはμ( G )=1となる。Gが有限のとき、

${\displaystyle {1 \over |G|}\sum _{g\in G}\chi (g^{2}).}$

χ が複素既約表現である場合、そのフロベニウス・シューア指示子は 1、0、または -1 です。これは、Gの実既約表現が、以下に定義される特定の意味で、実、複素、または四元数であるかどうかを判断する基準を提供します。以下の内容の多くは有限群の場合について説明していますが、一般的なコンパクトなケースも同様です。

実ベクトル空間V上の有限群の既約な実表現には3 つの種類があります。これは、群作用と可換な自己準同型環が実結合除法代数であり、フロベニウスの定理により実数、複素数、または四元数のいずれかにのみ同型になることがシューア の補題からわかるためです。

• 環が実数の場合、V ⊗ C はシューア指標が 1 である既約複素表現であり、実表現とも呼ばれます。
• 環が複素数である場合、V は2 つの異なる共役複素構造を持ち、シューア指標が 0 である 2 つの既約複素表現 (複素表現と呼ばれることもあります) を与えます。
• 環が四元数である場合、複素数に同型な四元数の部分環を選択すると、V は、シューア指標が −1 であるGの既約複素表現、つまり四元数表現になります。

さらに、複素ベクトル空間上のすべての既約表現は、上記の 3 つの方法のいずれかで、実ベクトル空間上の一意の既約表現から構築できます。したがって、複素空間上の既約表現とそのシュアー指標を知ることで、実空間上の既約表現を読み取ることができます。

実数表現を複素化して同じ次元の複素表現を得ることができ、また実数部と虚数部を別々に扱うことで複素表現を 2 倍の次元の実数表現に変換することができます。また、有限次元の複素表現はすべてユニタリ表現に変換できるため、ユニタリ表現の場合、双対表現も (複素) 共役表現になります。これは、ヒルベルト空間ノルムが表現から双対表現への 反 線型全単射写像を与えるためです。

自己双対複素既約表現は、同じ次元の実既約表現か、四元数表現と呼ばれる次元の 2 倍の実既約表現のいずれか (両方ではない) に対応し、非自己双対複素既約表現は次元の 2 倍の実既約表現に対応します。後者の場合、複素既約表現とその双対の両方から、同じ実既約表現が生成されることに注意してください。四元数表現の例としては、四元数群 Q ₈の 4 次元実既約表現が挙げられます。

V が群Gの表現の基礎となるベクトル空間である場合、テンソル積表現は 、2 つの部分表現、対称平方( または と表記されることが多い)と交代平方( 、、またはと表記されることが多い) の直和として分解できます。^[1] これらの平方表現に関して、指示子には次の別の定義があります。 ${\displaystyle V\otimes V}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)}$${\displaystyle V\otimes _{S}V}$${\displaystyle V\odot V}$${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}(V)}$${\displaystyle \wedge^{2}V}$${\displaystyle V\otimes _{A}V}$${\displaystyle V\wedge V}$

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ は }}\operatorname {Sym} ^{2}(V)\\-1 のサブ表現です&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ は }}\operatorname {Alt} ^{2}(V)\\0 のサブ表現です&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、これは自明な表現です。 ${\displaystyle W_{\text{triv}}}$

これを理解するには、この用語がこれらの表現の文字に自然に現れることに注意する必要がある。つまり、${\displaystyle \chi (g^{2})}$

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=\chi _{V}(g)^{2}-2\chi _{\wedge ^{2}V}(g)}$

そして

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=2\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}(g)-\chi _{V}(g)^{2}}$^[2 ]

これらの式のいずれかを代入すると、フロベニウス・シューア指示子はクラス関数上の自然なG不変内積の構造をとります。

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}\rangle =1\\-1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}\rangle =1\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

内積は直和項の重複度を数えるので、定義の同値性はすぐにわかります。

V を群Gの既約複素表現（または同等に、既約-モジュール、ここで は群環を表す） とする。すると、${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$

1. V上に非零G不変双線型形式が存在するのは、${\displaystyle \iota \chi \neq 0}$
2. V上に非零G不変対称双線型形式が存在するのは、${\displaystyle \iota \chi =1}$
3. V上に非零G不変歪対称双線型形式が存在するのは、次の場合のみである。^[3]${\displaystyle \iota \chi =-1}$

上記は、対称代数と外積代数の普遍的性質の結果であり、これらは対称正方形と交代正方形の基礎となるベクトル空間です。

さらに、

1. ${\displaystyle \iota \chi =0}$が実数値でない場合に限り（これらは複素表現である）、${\displaystyle \chi }$
2. ${\displaystyle \iota \chi =1}$が実現できる場合（これらは実数表現である）、そして${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle \iota \chi =-1}$が実数であるが 上で実現できない場合に限る（これらは四元数表現である）。^[4]${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

任意の複素表現ρの場合と同様に、

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g)}$

は任意の整数nに対して自己絡み合いであり、

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g^{n})}$

も自己絡み合い子です。シューアの補題により、これは既約表現の恒等式の倍数になります。この自己絡み合い子のトレースは n^番目の フロベニウス-シューア指示子と呼ばれます。

フロベニウス-シューア指標の本来のケースは、n = 2 の場合です。0 番目の指標は既約表現の次元であり、最初の指標は自明な表現の場合は 1、その他の既約表現の場合は 0 になります。

これはリー代数の既約表現に対するカシミール不変量に似ています。実際、Gの任意の表現はC [ G ]のモジュールとして考えることができ、その逆も同様であるため、C [ G ]の中心を見ることができます。これは、リー代数の普遍包絡代数の中心を見ることに似ています。次のことを簡単に確認できます。

${\displaystyle \sum _{g\in G}g^{n}}$

はC [ G ]の中心に属し、これは単にG上の類関数の部分空間です。