スケール係数（宇宙論）

宇宙の膨張は無次元 スケール係数 によってパラメータ化されます。宇宙スケール係数またはロバートソン・ウォーカースケール係数とも呼ばれる^{[1]これは、}フリードマン方程式の重要なパラメータです 。 ${\displaystyle a}$

ビッグバンの初期段階では、エネルギーのほとんどは放射線の形をしており、その放射線が宇宙の膨張に支配的な影響を与えていました。その後、膨張からの冷却に伴って物質と放射線の役割が変わり、宇宙は物質優位の時代に入りました。最近の研究結果によると、我々はすでに暗黒エネルギー優位の時代に入っているようですが、物質と放射線の役割を調べることが初期宇宙を理解する上で最も重要です。

無次元スケール係数を用いて宇宙の膨張を特徴づけると、放射線と物質の有効エネルギー密度は異なるスケールで表されます。このため、 宇宙の初期には放射線が優勢な時代が続き、その後物質が優勢な時代に移行し、約40億年前から暗黒エネルギーが優勢な時代が続いています。^{[2] [注 1]}

膨張に関する洞察は、ニュートン膨張モデルから得られ、これはフリードマン方程式の簡略版につながります。これは、任意の時間に膨張または収縮するFLRW宇宙でハッブル流 とともに移動する 2 つのオブジェクト (たとえば 2 つの銀河団) 間の固有距離 (時間とともに変化する可能性があり、現在の距離に設定される一定距離とは異なります) を、ある基準時間におけるそれらの距離に関連付けます。この式は次のとおりです。 ${\displaystyle d_{C}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle d(t)=a(t)d_{0},\,}$

ここで、はエポック における固有距離、は基準時間 における距離（通常は共動距離とも呼ばれる）、 はスケール係数です。^[3]したがって、定義により、および となります。 ${\displaystyle d(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle d_{0}=d(t_{0})}$${\displaystyle a(t_{0})=1}$

スケール係数は無次元であり、宇宙の誕生から数えられ、宇宙の現在の年齢に設定されます。^[4]の現在の値はまたはとなります。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle 13.799\pm 0.021\,\mathrm {Gyr} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a(t_{0})}$${\displaystyle 1}$

スケール係数の進化は、一般相対性理論の方程式によって決定される力学的な問題であり、局所的に等方性で局所的に均質な宇宙の場合、フリードマン方程式によって表されます。

ハッブルパラメータは次のように定義されます。

${\displaystyle H(t)\equiv {{\dot {a}}(t) \over a(t)}}$

ここで、点は時間微分を表します。ハッブルパラメータは空間ではなく時間とともに変化し、ハッブル定数が現在の値となります。 ${\displaystyle H_{0}}$

前の式から、 であり、 でもあることがわかります。したがって、これらを組み合わせると となり、上記のハッブルパラメータの定義を代入すると となり、これはまさにハッブルの法則です。 ${\displaystyle d(t)=d_{0}a(t)}$${\displaystyle {\dot {d}}(t)=d_{0}{\dot {a}}(t)}$${\displaystyle d_{0}={\frac {d(t)}{a(t)}}}$${\displaystyle {\dot {d}}(t)={\frac {d(t){\dot {a}}(t)}{a(t)}}}$${\displaystyle {\dot {d}}(t)=H(t)d(t)}$

現在の証拠は、宇宙の膨張が加速していることを示唆しており、これはスケール係数の2次導関数が正であること、または同等に1次導関数が時間の経過とともに増加していることを意味します。^[5]これはまた、任意の銀河が時間の経過とともに速度を増しながら私たちから遠ざかること、つまりその銀河が時間とともに増加していることを意味しています。対照的に、ハッブルパラメータは時間とともに減少しているように見えます。つまり、ある固定距離dを見て、一連の異なる銀河がその距離を通過するのを見ると、後の銀河は前の銀河よりも小さい速度でその距離を通過することになります。^[6]${\displaystyle {\ddot {a}}(t)}$${\displaystyle {\dot {a}}(t)}$${\displaystyle {\dot {d}}(t)}$

膨張宇宙をモデル化するのに用いられるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量によれば、現在、赤方偏移zの遠方物体から光を受信して​​いる場合、物体が最初にその光を放射した時点のスケール係数はである。^{[7] [8]}${\displaystyle a(t)={\frac {1}{1+z}}}$

インフレーション後、 ビッグバンから約47,000年後まで、初期宇宙のダイナミクスは放射線（一般的には相対論的に運動する宇宙の構成要素、主に光子とニュートリノを指す）によって設定されていました。^[9]

放射線が支配的な宇宙の場合、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量のスケール因子の進化は、フリードマン方程式を解くことで得られる。

${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}.\,}$^[10]

ビッグバンから約47,000年から98億年の間に、^[11]物質のエネルギー密度は放射線のエネルギー密度と真空のエネルギー密度の両方を超えました。^[12]

初期宇宙の年齢が約 47,000 歳 (赤方偏移 3600)のとき、質量エネルギー密度が放射エネルギーを上回りましたが、宇宙の年齢が約 378,000 歳 (赤方偏移 1100) になるまで、宇宙は放射に対して光学的に厚いままでした。宇宙マイクロ波背景放射を構成する光子が最後に散乱されたこの 2 番目の瞬間 (再結合の時刻に近い) は、放射の時代の終わりを示すものとして 誤解されることがよくあります^{(中立性は議論されています) 。}

物質優位の宇宙では、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量におけるスケール因子の発展は、フリードマン方程式を解くことで簡単に得られる。

${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$

物理宇宙論では、暗黒エネルギー優位時代は、既知の宇宙の3つの段階のうち最後の段階として提案されており、他の2つは放射線優位時代と物質優位時代です。暗黒エネルギー優位時代は、物質優位時代の後、つまり宇宙の年齢が約98億歳のときに始まりました。^[13]宇宙のインフレーションの時代には、ハッブルパラメータも一定であると考えられているため、暗黒エネルギー優位時代の膨張法則は、ビッグバンのインフレーションの前編にも当てはまります。

宇宙定数はΛ という記号で表され、アインシュタイン場方程式の源泉項として考えられ、空の空間の「質量」、つまり暗黒エネルギーと同等と見なすことができます。これは宇宙の体積とともに増加するため、膨張圧力は宇宙の規模に関係なく実質的に一定であり、他の項は時間とともに減少します。したがって、他の形態の物質 (塵や放射線) の密度が非常に低い濃度に低下すると、宇宙定数 (または「暗黒エネルギー」) 項が最終的に宇宙のエネルギー密度を支配することになります。遠方の超新星の観測に基づく、時間によるハッブル定数の変化の最近の測定では、膨張率が加速していることが示されており、^[14]このような暗黒エネルギーの存在を示しています。

暗黒エネルギーが支配的な宇宙の場合、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量のスケール因子の進化は、フリードマン方程式を解くことで簡単に得られます。

${\displaystyle a(t)\propto \exp(H_{0}t)}$

ここで、指数関数の係数であるハッブル定数は、 ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0}={\sqrt {8\pi G\rho _{\mathrm {full} }/3}}={\sqrt {\Lambda /3}}.}$

この指数関数的な時間依存性により、時空幾何学はド・ジッター宇宙と同一となり、宇宙定数の正の符号に対してのみ成立します。これは、現在受け入れられている宇宙定数Λ の値、すなわち約2 · 10 ⁻³⁵ s ⁻²の場合に当てはまります。観測可能な宇宙 の現在の密度は9.44 · 10 ⁻²⁷ kg m ⁻³のオーダーで、宇宙の年齢は 138 億年、つまり4.358 · 10 ¹⁷ sのオーダーです。ハッブル定数 は、≈70.88 km s ⁻¹ Mpc ⁻¹です（ハッブル時間は 137.9 億年です）。 ${\displaystyle H_{0}}$

• 宇宙原理
• ラムダCDMモデル
• 赤方偏移

• パドマナバン、タヌ（1993）。宇宙の構造形成。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-42486-8。
• Spergel, DN; et al. (2003). 「ウィルキンソンマイクロ波異方性プローブ (WMAP) による初年度の観測: 宇宙論パラメータの決定」.アストロフィジカルジャーナルサプリメント. 148 (1): 175–194. arXiv : astro-ph/0302209 . Bibcode :2003ApJS..148..175S. CiteSeerX  10.1.1.985.6441 . doi :10.1086/377226. S2CID  10794058.

• スケール係数と宇宙定数およびハッブル定数の関係