リースの補題

数学において、リースの補題（Riesz's lemma 、 Frigyes Rieszに由来）は関数解析における補題である。これは、ノルムベクトル空間内の部分空間が稠密であることを保証する（多くの場合簡単に確認できる）条件を規定する。この補題はリースの補題またはリース不等式とも呼ばれる。これは、ノルム空間が内積空間でない場合に直交性の代わりとみなすことができる。

が反射的バナッハ空間である場合、この結論は^[2]のときも成り立ちます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha =1.}$

メートル法の再定式化

いつものように、ノルムによって誘導される標準計量を で表し、原点からの距離であるすべてのベクトルの集合を単位球面と呼び、点から集合 までの距離を で表します。 不等式は、すべての に対してで ある場合に限り成立し、との間の距離が少なくとも であることを正式に表現します。 すべてのベクトル部分空間 ( など) には原点が含まれるため、この下限に代入すると、すべてのベクトル に対してであることが示されます。特に、が単位ベクトルの ときです。${\displaystyle d(x,y):=\|xy\|}$${\displaystyle \{x\in X:\|x\|=1\}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Y\subseteq X}$$${\displaystyle d(u,Y)~:=~\inf _{y\in Y}d(u,y)~=~\inf _{y\in Y}\|uy\|.}$$${\displaystyle \alpha \leq d(u,Y)}$${\displaystyle \|uy\|\geq \alpha }$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \alpha .}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle y:=0}$${\displaystyle d(u,Y)\leq \|u\|}$${\displaystyle u\in X.}$${\displaystyle d(u,Y)\leq 1}$${\displaystyle \|u\|=1}$

この新しい表記法を用いると、リースの補題の結論は次のように簡潔に言い換えることができる。${\displaystyle \alpha \leq d(u,Y)\leq 1=\|u\|}$${\displaystyle u\in X.}$

この新しい用語を使用すると、リースの補題は次のように平易な英語で言い換えることもできます。

より小さい任意の所望の最小距離に対するノルム空間の任意の閉じた適切なベクトル部分空間が与えられた場合、その部分空間から少なくともこの所望の距離離れた単位球面内の何らかのベクトルが存在します。${\displaystyle X,}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle 1,}$${\displaystyle X}$

証明^[3]はKreyszigなどの関数解析のテキストに記載されています。^[4] Paul Garrett教授によるオンライン証明が利用可能です。

仮説を満たさない最小距離${\displaystyle \alpha }$

が自明な場合、適切なベクトル部分空間は存在せず、したがって Riesz の補題はすべての実数に対して空虚に成り立ちます。このセクションの残りの部分では、単位ベクトルが存在することを保証する を前提とします。 ${\displaystyle X=\{0\}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$${\displaystyle X\neq \{0\},}$

仮説が含まれている理由は、、の 3 つのケースを考えることで説明できます。すべての単位ベクトルが結論を満たすため、 補題は のときに成立します。仮説は、この自明なケースを除外するためだけに含まれており、補題の記述から省略されることもあります。 ${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle \alpha \leq 0}$${\displaystyle \alpha =1,}$${\displaystyle \alpha >1.}$${\displaystyle \alpha \leq 0}$${\displaystyle u\in X}$${\displaystyle \alpha \leq 0\leq d(u,Y)\leq 1=\|u\|.}$${\displaystyle 0<\alpha }$

リースの補題は、 のときは常に偽です。なぜなら、すべての単位ベクトルに対して、必要な不等式はに対して成立しないからです( のため)。不可能であることのもう 1 つの帰結は、不等式が成立する場合のみ成立することです。 ${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle u\in X,}$${\displaystyle \|u-y\|\geq \alpha }$${\displaystyle y:=0\in Y}$${\displaystyle \|u-0\|=1<\alpha }$${\displaystyle d(u,Y)>1}$${\displaystyle d(u,Y)\geq 1}$${\displaystyle d(u,Y)=1}$

残るのは考慮すべきケースのみであり、その場合、リースの補題の記述は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha =1}$

の任意の閉じた適切なベクトル部分空間に対して、次を満たす単位ノルムのベクトルが存在する。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle d(u,Y)=1.}$

がバナッハ空間であるとき、この命題は が反射空間である場合に限り真です。^[2] 明示的に言えば、バナッハ空間が反射的であるためには、任意の閉じた適切なベクトル部分空間に対して、の単位球面上にその部分空間から少なくとも の距離だけ離れたベクトルが存在する必要があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1=d(u,Y)}$

たとえば、反射的バナッハ空間に通常のユークリッドノルムが与えられ、 が平面である場合、点は結論を満たします。が-軸である場合、平面内の単位円に属するすべての点は結論を満たします。しかし、にタクシーノルム（ユークリッドノルムの代わりに）が与えられている場合、結論は平面内の「ダイヤモンド」 （頂点がおよびである正方形）に属するすべての点で満たされます。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$${\displaystyle x{\text{-}}y}$${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$${\displaystyle d(u,Y)=1.}$${\displaystyle Z=\{(0,0)\}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x{\text{-}}y}$${\displaystyle d(u,Z)=1.}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle d(u,Z)=1}$${\displaystyle u=(x,y,0)}$${\displaystyle |x|+|y|=1}$${\displaystyle x{\text{-}}y}$${\displaystyle (\pm 1,0,0)}$${\displaystyle (0,\pm 1,0)}$

すべての有界列のルベーグ空間${\displaystyle \ell _{\infty }(\mathbb {N} )}$のような非反射バナッハ空間では、リースの補題は成り立たない。^[5]${\displaystyle \alpha =1}$

しかし、すべての有限次元ノルム空間は反射的バナッハ空間であるため、ノルム空間が有限次元の場合にはリースの補題は成り立ちます。これは後ほど説明します。 の次元が有限の場合には、閉じた単位球はコンパクトです。距離関数は連続であるため、閉じた単位球上のその像は実数のコンパクトな部分集合でなければならず、この主張が証明されます。 ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle d(\cdot ,Y)}$${\displaystyle B}$

リースの補題は、任意の与えられたに対して、あらゆる無限次元ノルム空間には、 に対してを満たす（異なる）単位ベクトルの列が含まれること、または平易な英語で言えば、これらのベクトルはすべて 以上の距離で互いに離れており、同時にすべて単位球面上にあることを保証します。このような無限のベクトルの列は、任意の有限次元ノルム空間の単位球面には見つかりません（の単位円を例に考えてください）。 ${\displaystyle 0<\alpha <1,}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle \|x_{n}-x_{m}\|>\alpha }$${\displaystyle m\neq n;}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

この数列は任意の定数に対して帰納的に構成できる。まず単位球面から任意の元を選ぶ。をの線形スパンとし、（リースの補題を用いて）単位球面から次式のように 選ぶ。${\displaystyle 0<\alpha <1.}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle Y_{n-1}}$${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n-1}\}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle d\left(x_{n},Y_{n-1}\right)>\alpha }$どこ${\displaystyle d(x_{n},Y)=\inf _{y\in Y}\|x_{n}-y\|.}$

このシーケンスには収束する部分シーケンスが含まれないため、閉じた単位球はコンパクトではないことがわかります。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$

リースの補題を直接適用すると、無限次元ノルム空間の単位球がコンパクトになることはないことが示されます。これは有限次元ノルム空間を特徴付けるために使用できます。 がノルムベクトル空間である場合、 が有限次元であるためには、 の閉じた単位球がコンパクトである必要があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

より一般的には、位相ベクトル空間が 局所コンパクトであれば、それは有限次元である。この逆もまた真である。すなわち、位相ベクトル空間が有限次元であれば、それは局所コンパクトである。^[6]したがって、局所コンパクト性は有限次元性を特徴付ける。この古典的な結果もリースによるものである。簡単な証明は次のように概略できる。を の原点のコンパクト近傍とする。コンパクト性 により、${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in C}$$${\displaystyle C~\subseteq ~\left(c_{1}+{\tfrac {1}{2}}C\right)\cup \cdots \cup \left(c_{n}+{\tfrac {1}{2}}C\right).}$$

によって張られる有限次元部分空間はにおいて稠密である、あるいは同値として、その閉包は であると主張する。 はのスカラー倍数の和集合なので、 はであることが示せれば十分である。 帰納法によって、任意の に対して となる。 しかし、コンパクト集合は有界であるため、 はの閉包に含まれる。 これにより結果が証明される。ハーン・バナッハの定理に基づく別の証明については、Crespín (1994) を参照のこと。^[7]${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{c_{1},\ldots ,c_{n}\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle C\subseteq Y.}$${\displaystyle m,}$ $${\displaystyle C~\subseteq ~Y+{\frac {1}{2^{m}}}C.}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle Y.}$

バナッハ空間に作用するコンパクト演算子のスペクトル特性は、行列のスペクトル特性と似ています。この事実を証明するには、リースの補題が不可欠です。

無限次元ルベーグ測度に関する記事で詳述されているように、これは無限次元バナッハ空間上の特定の測度が存在しないことを示すのに役立ちます。リースの補題はまた、バナッハ空間上の恒等演算子がコンパクトであるための必要条件は有限次元であることも示しています。^[8]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• F. リースの定理
• ジェームズの定理—単位球上の条件によって与えられる反射性の特徴

• ディーステル、ジョー (1984)。バナッハ空間における数列と級数。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• 橋本和夫；中村元；おはる、しんのすけ（1986-01-01）。 「リースの補題と正規空間における直交性」(PDF)。広島数学雑誌。16 (2)。広島大学 - 数学科。土井：10.32917/hmj/1206130429。ISSN  0018-2079。
• クレイシグ、アーウィン (1978)。応用を伴う関数解析入門。ニューヨーク: John Wiley & Sons。ISBN 0-471-50731-8. OCLC  2818701.
• Riesz, Frederic ; Sz.-Nagy, Béla (1990) [1955].関数分析. Boron, Leo F. 訳. ニューヨーク: Dover Publications . ISBN 0-486-66289-6. OCLC  21228994.
• Rynne, Bryan P.; Youngson, Martin A. (2008).線形関数解析(第 2 版). ロンドン: Springer. ISBN 978-1848000049. OCLC  233972987.

• https://mathoverflow.net/questions/470438/a-variation-of-the-riesz-lemma