菱面体

幾何学において、菱面体（菱形六面体^{[ 1 ] [ 2 ]}または不正確には菱形^{[ a ]}とも呼ばれる）は、6つの面すべてが合同な菱形である平行六面体の特殊な場合である^{[ 3 ]}。菱面体格子系、つまり菱面体セルを持つハニカムを定義するために使用できる。菱面体には、すべての面角が等しい2つの対向する頂点がある。長楕円体菱面体ではこの共通角が鋭角であり、扁平菱面体ではこれらの頂点に鈍角がある。立方体は、すべての面が正方形である菱面体の特殊な場合である。

2つの頂点における共通角は、​​ここで次のように表されます。${\displaystyle \theta }$菱面体には、扁平な菱面体と長楕円体の2つの一般的な形状があります。

扁平な場合$\displaystyle \theta >90^{\circ }}$そして長軸の場合$\displaystyle \theta <90^{\circ }}$。 のために$\displaystyle \theta =90^{\circ }}$その図形は立方体です。

菱形の特定の比率によって、いくつかのよく知られた特殊なケースが生じる。これらは通常、長楕円形と扁楕円形の両方で見られる。

単位（つまり、辺の長さが 1 の）菱面体の場合、^{[ 4 ]}菱形の鋭角を持つ${\displaystyle \theta ~}$1つの頂点が原点(0, 0, 0)にあり、1つの辺がx軸に沿っている場合、3つの生成ベクトルは次のようになります。

e ₁  :${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

e ₂  :${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

e ₃  :${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

他の座標は、3つの方向ベクトルe ₁ + e ₂、e ₁ + e ₃、e ₂ + e ₃、およびe ₁ + e ₂ + e _{3のベクトル加算}^{[ 5 ]}によって得られます。

音量${\displaystyle V}$菱面体の辺の長さに関して${\displaystyle a}$そしてその菱形の鋭角${\displaystyle \theta ~}$は平行六面体の体積の簡略化であり、次式で与えられる。

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

体積は${\displaystyle V}$別の方法 ：

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

（菱形の）底面の面積は次のように与えられる。${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$菱面体の高さは体積を底面積で割った値で与えられるので、${\displaystyle h}$菱面体の辺の長さに関して${\displaystyle a}$そしてその菱形の鋭角${\displaystyle \theta }$は

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

注記：

${\displaystyle h=a~z}$₃、${\displaystyle z}$_3はe ₃の 3 番目の座標です。

鋭角の頂点間の対角線が最も長い。この対角線を中心とした回転対称性により、対向する鈍角の頂点の3組間の他の3本の対角線はすべて同じ長さになる。

菱面体格子系は菱面体セルを持ち、6つの合同な菱形面が三角錐台形を形成する。

• 図形のリスト

• ワイススタイン、エリック W. 「菱面体」 . MathWorld .
• 体積計算ツール https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php