内生性（計量経済学）

計量経済学において、内生性とは、説明変数が誤差項と相関している状況を広く指す。^[1]内生変数と外生変数の区別は、同時方程式モデルに由来し、同時方程式モデルでは、モデルによって値が決定される変数と事前に決定された変数を区別する。^{[a] [2]推定において同時性を無視すると、}ガウス・マルコフの定理の外生性仮定に違反するため、偏った推定につながる。内生性の問題は、非実験研究を行う研究者によって無視されることが多く、そうすると政策提言を行うことができなくなる。^[3]操作変数法は、この問題を軽減するために一般的に使用されている。

同時性以外にも、観測されていない変数や省略された変数が独立変数と従属変数の両方を交絡させている場合、または独立変数が誤差で測定されている場合に、説明変数と誤差項の間に相関関係が生じる可能性がある。^[4]

確率モデルでは、通常の外生性、逐次外生性、強い/厳密な外生性の概念を定義できます。外生性は、変数がパラメータ に対して外生的であるという形で表現されます。変数がパラメータ に対して外生的であっても、パラメータ に対して内生的である可能性があります。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

説明変数が確率的でない場合は、すべてのパラメータに対して強い外生変数となります。

独立変数が回帰モデルの誤差項と相関している場合、通常の最小二乗法(OLS) 回帰における回帰係数の推定値は偏りが生じます。ただし、相関が同時でない場合は、係数の推定値が一貫している可能性があります。偏りを補正する方法は多数あり、その中には操作変数回帰やヘックマン選択補正などがあります。

内生性の一般的な原因は次のとおりです。

この場合、内生性は制御されていない交絡変数、つまりモデル内の独立変数と誤差項の両方と相関する変数から生じます。(同様に、省略された変数は独立変数に影響を与え、従属変数には別々に影響を与えます。)

推定される「真の」モデルは

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}}$

しかし、回帰モデルからは省略されている（おそらく直接測定する方法がないからだろう）。そして、実際に推定されるモデルは ${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}}$

ここで（したがって、項は誤差項に吸収されています）。 ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\gamma z_{i}+u_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$

との相関が0 でなく、 が別々に（つまり）に影響する場合、 は誤差項 と相関します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \gamma \neq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \epsilon }$

ここで、はおよびに対して外生的ではありません。 が与えられた場合、 の分布はおよびだけでなくおよびにも依存するからです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma}$

独立変数の完全な測定が不可能であると仮定します。つまり、 を観測する代わりに、実際に観測されるのは であり、は測定誤差または「ノイズ」です。この場合、次に示すモデルが考えられます。 ${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}}$${\displaystyle \nu_{i}}$

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}}$

観測量と誤差項を使って次のように表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad ({\text{where }}u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}}$

と は両方とも に依存するため相関しており、 の OLS 推定値は下方にバイアスされます。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \nu_{i}}$${\displaystyle \beta}$

従属変数の測定誤差は内生性を引き起こしませんが、誤差項の分散を増加させます。 ${\displaystyle y_{i}}$

2 つの変数が共決定され、それぞれが次の「構造」方程式に従って他方に影響を与えると仮定します。

${\displaystyle y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}}$

${\displaystyle z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}}$

どちらかの方程式を単独で推定すると、内生性が生じる。最初の構造方程式の場合、 となる。を 仮定してを解くと、${\displaystyle E(z_{i}u_{i})\neq 0}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle 1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0}$

${\displaystyle z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_ {i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}}$。

とが と無相関であると仮定すると、 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname { E} (u_{i}u_{i})\neq 0}$。

したがって、いずれかの構造方程式を推定する試みは、内生性によって妨げられることになります。

内生性の問題は、因果プロセスの時系列分析の文脈で特に重要です。因果システム内の一部の要因が、期間tにおけるその値に関して、期間t − 1における因果システム内の他の要因の値に依存することはよく あります。害虫の蔓延のレベルは、特定の期間内の他のすべての要因とは独立しているが、前の期間の降雨量と肥料のレベルによって影響を受けると仮定します。この場合、蔓延は期間内では外生的であるが、時間の経過とともに 内生的であると言うのが正しいでしょう。

モデルをy  =  f ( x ,  z ) +  uとします。変数x がパラメータ に対して連続外生であり、y がグレンジャーの意味でx の原因とならない場合、変数xはパラメータ に対して強く/厳密に外生です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

一般的に言えば、上記の静的同時性の例と同様に、動的モデルでも同時性が発生します。

• 好循環と悪循環
• 異質性
• 従属変数と独立変数

• グリーン、ウィリアム H. (2012)。計量経済分析(第 6 版)。アッパー サドル リバー: ピアソン。ISBN 978-0-13-513740-6。
• ケネディ、ピーター (2008)。計量経済学ガイド(第 6 版)。マールデン: ブラックウェル。p. 139。ISBN 978-1-4051-8257-7。
• クメンタ、ヤン(1986)。『計量経済学の要素』（第2版）。ニューヨーク：マクミラン。pp. 651–733。ISBN 0-02-365070-2。

• 内生性：不都合な真実。YouTube のジョン・アントナキス教授のポッドキャスト
• マーク・トーマによるYouTubeでの同時性バイアスに関する講義
• セス・ゴーディンの内生性に関するシンプルな見解