平等主義の統治

社会選択とオペレーションズリサーチにおいて、平等主義のルール（最大最小ルールまたはロールズルールとも呼ばれる）は、すべての可能な選択肢の中から、社会は社会のすべての個人の最小効用を最大化する選択肢を選択すべきであるというルールである。これは平等主義の哲学を正式に数学的に表現したものである。また、最も恵まれない個人の福祉を最大化するというジョン・ロールズの原則にも対応している。^[1]

を「世界の状態」または「選択肢」の可能な集合とします。社会は から単一の状態を選択したいと考えています。たとえば、単一勝者の選挙では、は候補者の集合を表すことができます。また、リソース割り当ての設定では、 はすべての可能な割り当てを表すことができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

を個人の集まりを表す有限集合とします。各 に対して、個人i が各可能な状態から得る幸福の量を表す効用関数 とします。${\displaystyle I}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$

社会的選択ルールは、データを使用して社会にとって「最善」な要素を選択するメカニズムです。「最善」が何を意味するかという疑問は、社会的選択理論の基本的な疑問です。平等主義ルールは、最小の効用を最大化する要素を選択します。つまり、次の最適化問題を解決します。 ${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \max_{x\inX}\min_{i\inI}u_{i}(x).}$

多くの場合、同じ最小効用を持つさまざまな状態が存在します。たとえば、効用プロファイル (0,100,100) の状態は、効用プロファイル (0,0,0) の状態と同じ最小値を持ちます。この場合、平等主義ルールでは、多くの場合、レキシミン順序が使用されます。つまり、最小の効用を最大化することを条件として、次に小さい効用を最大化することを目指します。その条件に従って、次に小さい効用を最大化します。

たとえば、アリスとジョージという 2 人の個人と、3 つの可能な状態があるとします。状態x はアリスに 2、ジョージに 4 の効用を与えます。状態y はアリスに 9、ジョージに 1 の効用を与えます。状態z はアリスに 1、ジョージに 8 の効用を与えます。この場合、状態x は、その効用プロファイルが (2,4) であり、 y (9,1) およびz (1,8)よりもレキシミンが大きいため、レキシミン最適です。

レキシミン順序で強化された平等主義ルールは、より単純な最大最小ルールと区別するために、 レキシミンルールと呼ばれることがよくあります。

社会的選択に関するレキシミンルールは1970年にアマルティア・センによって導入され^[1]、その後の多くの著書で詳細に議論された。^{[2] [3] [4] [5] : sub.2.5  [6]}

レキシミン ルールは、すべての決定の結果が確実にわかっている場合、パレート効率的です。ただし、ハーサニの功利主義定理によれば、不確実性の下でトレードオフを行わなければならない社会では、どのレキシミン関数もパレート非効率的です。つまり、社会のすべての人が特定の賭けをすれば (事前に) 得になる状況が存在しますが、レキシミン ルールはそれを拒否します (事後的に一部の人が損をする可能性があるため)。

レキシミンルールはピグー・ドルトン原理を満たします。つまり、効用がより高い効用を持つエージェントからより低い効用を持つエージェントに「移動」され、その結果、両者の効用差が小さくなる場合、結果として得られる選択肢が好まれます。

さらに、レキシミンルールは、以下の3つの性質を同時に満たす唯一の社会福祉順序付けルールである。^{[5] : 266}

1. パレート効率;
2. ピグー・ドルトン原理;
3. 共通効用ペースの独立性 - すべての効用が共通の単調増加関数によって変換される場合、選択肢の順序は同じままです。

平等主義ルールは、公平な分割のルールとして特に有用です。この設定では、集合はすべての可能な割り当てを表し、目標は最小効用、つまりレキシミンベクトルを最大化する割り当てを見つけることです。このルールは、いくつかのコンテキストで研究されてきました。 ${\displaystyle X}$

• 単一の均質なリソースの分割。
• 公平な部分集合和問題; ^[7]
• 平等なケーキカット;
• 平等なアイテムの割り当て。
• 平等主義（レキシミン）交渉。^[8]

• 功利主義ルール- 最小の効用ではなく効用の合計を重視する異なるルール。
• 比例公平ルール
• 最大最小公平スケジューリング- プロセス スケジューリングにおける最大最小公平性。
• 後悔（意思決定理論）
• ワルドのマキシミンモデル