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比例配分とは、資源を主観的な評価に基づいてn人のパートナー間で分割する公平な配分方法の一種であり、各パートナーは自身の主観的な評価に基づいて少なくとも資源の1/ nを受け取ることになる。
比例性は文献で研究された最初の公平性の基準であり、そのため「単純な公平な分割」と呼ばれることもあります。これはシュタインハウスによって最初に考案されました。[ 1 ]
3人の相続人（アリスとボブは300万ドルの価値があると考えており、ジョージは450万ドルの価値があると考えている）に土地を分割する必要があるとします。比例配分では、アリスは少なくとも100万ドルの価値があると考える土地を受け取り、ボブは少なくとも100万ドルの価値があると考える土地を受け取り（アリスはそれより低い価値があると考えているかもしれませんが）、ジョージは少なくとも150万ドルの価値があると考える土地を受け取ります。
比例配分は必ずしも存在するとは限らない。例えば、資源に分割不可能なアイテムが複数含まれており、人数がアイテムの数よりも多い場合、一部の人はアイテムを全く受け取れず、その価値はゼロになる。しかしながら、エージェントの評価に関する特定の仮定の下では、分割不可能なアイテムに対してこのような配分が高確率で存在する。[ 2 ]
さらに、以下の条件が満たされる場合、比例配分が存在することが保証されます。
したがって、比例配分は通常、公平なケーキカットの文脈で研究されます。ケーキカットにおける比例配分を実現するための手順の詳細については、「比例配分ケーキカット」を参照してください。
より寛容な公平性の基準としては、部分比例性があり、これは各パートナーが総額の一定割合f ( n ) を受け取るもので、 f ( n ) ≤ 1/ nである。部分比例的な分割は、（特定の条件下では）分割不可能な項目に対しても存在する。
超比例配分とは、各パートナーが自身の主観的な評価に基づいて、資源の1/ nを厳密に超える割合を受け取る配分方法のことである。
もちろん、このような分割は常に存在するわけではありません。すべてのパートナーがまったく同じ価値関数を持つ場合、各パートナーに正確に 1/ nを与えるのが精一杯です。したがって、超比例分割が存在するための必要条件は、すべてのパートナーが同じ価値尺度を持たないことです。
驚くべきことに、評価が加法的かつ非原子的な場合、この条件は十分条件にもなります。つまり、価値関数がわずかに異なるパートナーが少なくとも2人いる場合、すべてのパートナーが1/ nを超える超比例配分が成立します。詳細は超比例配分の項を参照してください。
比例性（PR）と羨望のなさ（EF）は2つの独立した性質ですが、場合によっては一方が他方を意味することもあります。
すべての評価が加法集合関数であり、ケーキ全体が分割される場合、以下の含意が成り立つ。
評価が劣加法性のみの場合、EF は依然として PR を意味しますが、パートナーが 2 人いる場合でも PR は EF を意味しなくなります。アリスの取り分は彼女にとって 1/2 の価値があるかもしれませんが、ボブの取り分はそれ以上の価値がある可能性があります。逆に、評価が優加法性のみの場合、PR は依然として 2 人のパートナーがいる場合でも EF を意味しますが、パートナーが 2 人いる場合でも EF はもはや PR を意味しなくなります。アリスの取り分は彼女にとって 1/4 の価値があるかもしれませんが、ボブの取り分はそれよりも低い可能性があります。同様に、すべてのケーキが分割されない場合、EF はもはや PR を意味しなくなります。その意味合いは次の表にまとめられています。
比例性基準が羨望のなさや類似の基準よりも優れている点の1つは、自発的な交換に関して安定していることである。
例えば、ある土地がアリス、ボブ、ジョージの3人のパートナーに、比例的かつ嫉妬のない方法で分割されたとします。数か月後、アリスとジョージは自分たちの土地を統合し、より利益が出るように再分割することにしました。ボブの視点から見ると、アリスとジョージがそれぞれの土地をどうするかに関わらず、ボブは依然として全体の少なくとも1/3の価値を主観的に持っているため、この分割は依然として比例的です。一方、新しい分割は嫉妬のないものではないかもしれません。例えば、当初アリスとジョージはボブが主観的に1/3と評価する土地を受け取っていたかもしれませんが、再分割後、ジョージが（ボブの目には）すべての価値を得たため、ボブはジョージを嫉妬するようになった可能性があります。
したがって、公平性の基準として羨望のなさを用いることは、分割後の人々の自発的な交換の権利を制限しなければならないことを意味する。一方、公平性の基準として比例性を用いることには、そのような負の含意はない。
比例原則のもう一つの利点は、次のような意味で個人の合理性と両立することです。n人のパートナーが資源を共有していると仮定します。多くの実際的なシナリオ（常にではありませんが）では、パートナーは資源を市場で売却し、収益を各パートナーが正確に1/ nを受け取るように分割する選択肢があります。したがって、合理的なパートナーは、分割手続きによって自分の総価値の少なくとも1/ nを受け取ることが保証される場合にのみ、分割手続きに参加することに同意するでしょう。
さらに、パートナーが 1/ nを超えるものを受け取る可能性が少なくともあるべきであり（保証はないとしても） 、これが超比例分割の存在定理の重要性を説明する。