レッジ理論

量子物理学において、レッジ理論（/ ˈrɛdʒeɪ / REJ - ay、イタリア語: [ ˈrɛddʒe ] ）は、角運動量の関数としての散乱の解析的性質の研究であり、角運動量はħの整数倍に限定されず、任意の複素数値をとることが許される。この非相対論的理論は、 1959年にトゥリオ・レッジによって開発された。^{[ 1 ]}

レッジ極の最も単純な例は、クーロンポテンシャルの量子力学的取り扱いによって示される。${\displaystyle V(r)=-e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r)}$あるいは別の言い方をすれば、質量を持つ電子の結合または散乱の量子力学的処理によって${\displaystyle m}$電気電荷${\displaystyle -e}$質量の陽子から${\displaystyle M}$そして料金を請求する${\displaystyle +e}$エネルギー${\displaystyle E}$電子が陽子に結合する際のエネルギーは負であり、散乱の場合は正である。結合エネルギーの式は次の式である。

${\displaystyle E\rightarrow E_{N}=-{\frac {2m'\pi ^{2}e^{4}}{h^{2}N^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=-{\frac {13.6\,\mathrm {eV} }{N^{2}}},\;\;\;m^{'}={\frac {mM}{M+m}},}$

どこ${\displaystyle N=1,2,3,...}$、${\displaystyle h}$はプランク定数であり、$\displaystyle \epsilon _{0}}$は真空の誘電率です。主量子数${\displaystyle N}$量子力学では（動径シュレーディンガー方程式の解によって）次のように与えられることがわかっている。${\displaystyle N=n+l+1}$、 どこ${\displaystyle n=0,1,2,...}$は動径量子数であり、${\displaystyle l=0,1,2,3,...}$軌道角運動量の量子数。上記の式を解くと、${\displaystyle l}$すると、次の式が得られる。

${\displaystyle l\rightarrow l(E)=-n+g(E),\;\;g(E)=-1+i{\frac {\pi e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}h}}(2m'/E)^{1/2}.}$

複素関数として考える${\displaystyle E}$この表現は複合体を記述しています${\displaystyle l}$平面はレッジ軌道と呼ばれる経路を描きます。したがって、この考え方では、軌道運動量は複素数値をとることができます。

レッジ軌道は、他の多くのポテンシャル、特に湯川ポテンシャルについても得ることができる。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

レッジ軌道は散乱振幅の極として、または関連する ${\displaystyle S}$-行列。上記で検討したクーロンポテンシャルの場合、${\displaystyle S}$-行列は、量子力学の教科書を参照すれば確認できるとおり、次の式で与えられます。

${\displaystyle S={\frac {\Gamma (lg(E))}{\Gamma (l+g(E))}}e^{-i\pi l},}$

どこ$\displaystyle \Gamma (x)$は、階乗の一般化であるガンマ関数です。${\displaystyle (x-1)!}$このガンマ関数は引数の有理型関数であり、単純な極を に持ちます。${\displaystyle x=-n,n=0,1,2,...}$したがって、の式は次のようになります。${\displaystyle S}$（分子のガンマ関数は）上記のレッジ軌道の式で与えられる点と全く同じ点に極を持ちます。そのため、レッジ極と呼ばれます。

この理論の主な結果は、ポテンシャル散乱の散乱振幅がコサインの関数として増加するということである。${\displaystyle z}$散乱角を、散乱エネルギーの変化に応じて変化するべき乗として表す。

${\displaystyle A(z)\propto z^{l(E^{2})}}$

どこ${\displaystyle l(E^{2})}$は、エネルギーを持つ束縛状態となる可能性のある状態の角運動量の非整数値です。${\displaystyle E}$これは、動径シュレディンガー方程式を解くことによって決定され、異なる角運動量を持つが動径励起数が同じ波動関数のエネルギーを滑らかに補間します。軌道関数は、$s=E^2$相対論的一般化の場合。${\displaystyle l(s)}$これはレッジ軌道関数として知られており、整数の場合、粒子はこの角運動量で実際の束縛状態を形成します。漸近形式は、次の場合に適用されます。${\displaystyle z}$これは1よりもはるかに大きく、非相対論的散乱においては物理的な限界ではない。

その後まもなく、スタンレー・マンデルスタムは、相対性理論では純粋に形式的な限界が${\displaystyle z}$大きいは物理的な限界に近い、つまり大きいの限界${\displaystyle t}$。 大きい${\displaystyle t}$これは、交差チャネルで大きなエネルギーが存在することを意味し、入射粒子の1つが、エネルギーの高い反粒子として放出されるような運動量エネルギーを持っていることを意味します。この観察により、レッジ理論は数学的な好奇心から物理理論へと変わりました。つまり、高エネルギーでの粒子間散乱の散乱振幅の減衰率を決定する関数は、角運動量の関数として粒子-反粒子系の束縛状態エネルギーを決定する関数と同じでなければならないという要求です。^{[ 5 ]}

この切り替えにはマンデルスタム変数の交換が必要だった。${\displaystyle s}$これはエネルギーの二乗であり、${\displaystyle t}$これは運動量伝達の二乗であり、同一粒子の弾性ソフト衝突の場合、散乱角のコサインの1マイナスs倍となる。交差チャネルにおける関係式は次のようになる。

${\displaystyle A(z)\propto s^{l(t)}}$

これは、振幅がエネルギーの関数として異なるべき乗則減衰を示すことを意味しており、対応する角度は同じ値を持つ角度である。${\displaystyle t}$べき乗則を決定する関数は、共鳴が現れるエネルギーを補間する関数と同じであると予測される。散乱がレッジ理論によって効果的に記述できる角度の範囲は、高エネルギーではビームラインを中心とした狭い円錐状に縮小する。

1960年、ジェフリー・チューとスティーブン・フラウチは限られたデータから、強く相互作用する粒子は質量の二乗と角運動量の関係が非常に単純であると推測した。すなわち、粒子はレッジ軌道関数が直線となるようなグループに分類されるというものである。${\displaystyle l(s)=ks}$同じ定数で${\displaystyle k}$すべての軌道について。直線状のレッジ軌道は、後に回転する相対論的弦上の質量のない端点から生じるものと理解された。レッジ記述は粒子が束縛状態であることを示唆していたため、チューとフラウチは、強く相互作用する粒子はどれも素粒子ではないと結論付けた。

実験的には、散乱のビーム近傍での挙動はレッジ理論で説明されるように角度とともに減少し、強い相互作用における粒子は複合粒子であるという見解が広く受け入れられた。散乱の大部分は回折的であり、粒子はほとんど散乱せず、衝突後もビームライン付近にとどまる。ウラジミール・グリボフは、フロワサール限界と最大散乱の仮定を組み合わせると、対数的に増加する断面積をもたらすレッジ軌道が存在することを指摘した。この軌道は現在ポメロンとして知られている。彼はさらに、多重ポメロン交換が支配的なビームライン近傍散乱の定量的摂動理論を定式化した。

ハドロンが複合粒子であるという基本的な観察から、2つの見解が生まれた。ある人々は、現在ではクォークとグルーオンと呼ばれる素粒子が存在し、ハドロンが束縛状態である量子場理論を構成すると正しく主張した。また別の人々は、素粒子を用いない理論、すなわちすべての粒子がレッジ軌道上に存在する束縛状態であり、自己無撞着に散乱する理論を構築できると正しく信じていた。これはS行列理論と呼ばれた。

最も成功したS行列アプローチは、狭共鳴近似、すなわち直線レッジ軌道上の安定粒子から始まる一貫した展開が存在するという考えに基づいていた。多くの試行錯誤を経て、リチャード・ドーレン、デイビッド・ホーン、クリストフ・シュミットは、ガブリエレ・ヴェネツィアーノが自己無撞着散乱振幅、すなわち最初の弦理論を定式化するに至った重要な性質を理解した。マンデルスタムは、レッジ軌道が直線となる極限は、状態の寿命が長くなる極限でもあると指摘した。

高エネルギー領域における強い相互作用の基礎理論として、レッジ理論は1960年代に注目を集めたが、その後量子色力学に取って代わられた。現象論的理論としては、近ビーム線散乱や超高エネルギー領域における散乱を理解する上で、依然として不可欠なツールである。現代の研究は、摂動論および弦理論との関連性に焦点を当てている。

• Collins , PDB (2023). 『レッジ理論と高エネルギー物理学入門』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-009-40326-9。
• Eden, RJ (1971). "レッジ極と素粒子". Rep. Prog. Phys . 34 (3) 304: 995–1053 . Bibcode : 1971RPPh...34..995E . doi : 10.1088/0034-4885/34/3/304 . S2CID 54093447 . 
• Irving, AC; Worden, RP (1977). "レッジ現象論". Phys. Rep . 34 (3): 117–231 . Bibcode : 1977PhR....34..117I . doi : 10.1016/0370-1573(77)90010-2 .
• Logan, Robert K. (1965). " π ⁻ p電荷交換散乱の単一レッジ極解析". Phys. Rev. Lett . 14 (11): 414–416 . Bibcode : 1965PhRvL..14..414L . doi : 10.1103/physrevlett.14.414 .

• ジェンコフスキー;マルティノフ。パッカノーニ (1996)。 「HERAにおけるベクトル中間子の写真制作のためのレッゲ極モデル」。arXiv : hep-ph/9608384。
• カイダロフ（2001）。「QCDにおけるレッジ極」。素粒子物理学の最前線にて。pp . 603–636。arXiv : hep-ph/0103011。Bibcode : 2001afpp.book..603K。doi : 10.1142 / 9789812810458_0018。ISBN  978-981-02-4445-3. S2CID 119488011 . 
• Martynov; Predazzi; Prokudin (2002). "実光子と仮想光子による全ベクトル中間子排他的光生成のための普遍的なレッジ極モデル" .The European Physical Journal C. 26 ( 2): 271–284 . arXiv : hep-ph/0112242 . Bibcode : 2002EPJC...26..271M . doi : 10.1140/epjc/s2002-01058-5 . S2CID 15726077 . {{cite journal}}: CS1メンテナンス: フラグなしの無料DOI (リンク)
• Oleg Andreev; Warren Siegel (2004). "Quantized tension: Stringy amplitudes with Regge poles and parton behavior". Physical Review D . 71 (8) 086001. arXiv : hep-th/0410131 . Bibcode : 2005PhRvD..71h6001A . doi : 10.1103/PhysRevD.71.086001 . S2CID 13960304 . 
• Bigazzi; Cotrone; Martucci; Pando Zayas (2004). "Wilson Loop, Regge Trajectory and Hadron Masses in a Yang-Mills Theory from Semiclassical Strings". Physical Review D . 71 (6) 066002. arXiv : hep-th/0409205 . Bibcode : 2005PhRvD..71f6002B . doi : 10.1103/PhysRevD.71.066002 . S2CID 6142141 .