ブロック（統計）

• 男性と女性：この実験は、患者に新薬を投与して効果を検証するために設計されています。二重盲検試験では、男性患者と女性患者に、薬剤とプラセボの2つの治療レベルが投与されます。患者の性別は、男性と女性の間で治療効果にばらつきが生じることを考慮しないブロック因子です。これによりばらつきの原因が減り、より高い精度が得られます。
• 標高：この実験は、特定の芝生区画における新しい農薬の効果を検証するために設計されています。芝生区画には大きな標高差があり、そのため「高標高」と「低標高」という2つの異なる領域に分かれています。処理群（新しい農薬）とプラセボ群が、高標高と低標高の両方の芝生区画に適用されます。この場合、研究者は農薬散布のばらつきの原因となる可能性のある標高要因を排除しています。
• 介入：靴底の寿命を延ばすためのプロセスが開発され、フィールド試験を実施する計画が立てられたとします。n人のボランティアのグループがある場合、考えられる実験デザインの一つは、 n /2人に新しい靴底の靴を、n /2人に通常の靴底の靴を与え、 2種類の靴底の割り当てをランダム化することです。このタイプの実験は、完全ランダム化デザインと呼ばれます。両グループとも一定期間靴を使用し、靴底の摩耗度を測定します。これは実行可能な実験デザインですが、統計的精度という観点のみから見ると（他の要因は無視して）、各人に通常の靴底と新しい靴底を1つずつ与え、左右の靴にランダムに割り当てる方がより良いデザインです。このようなデザインは「ランダム化完全ブロックデザイン」と呼ばれます。このデザインは、各人が自身の対照群として機能するため、最初のデザインよりも感度が高く、対照群が治療群のブロックデザインにより近いものになります。

上記の例では、邪魔変数とは、研究の主要な焦点ではないが、実験の結果に影響を与える可能性のある変数です。^{[ 3 ]}これらは、制御または考慮されない場合、独立変数と従属変数の間の解釈を混乱させる可能性のある変動の潜在的な原因とみなされます。

研究者は、邪魔な変数に対処するために、ブロック化やランダム化などのさまざまな方法を用いることができます。ブロック化とは、邪魔な変数のレベルに基づいて実験単位をグループ化し、その影響を制御する方法です。ランダム化は、邪魔な変数の影響を治療群全体に均等に分散させるのに役立ちます。

これらの方法のいずれかを用いて不要な変数を考慮に入れることで、研究者は実験の内的妥当性を高め、観察された効果が外部からの影響ではなく、操作された変数に起因する可能性が高いことを保証できる。

上記の最初の例では、患者の性別は邪魔な変数となります。例えば、薬がダイエットピルで、研究者がダイエットピルの減量効果を検証したい場合を考えてみましょう。説明変数はダイエットピルであり、応答変数は減量量です。実験の主な焦点は薬の効果であり、患者の性別は実験の目的ではありませんが、個人の性別が減量量に影響を与える可能性はあります。

実験計画の統計理論において、ブロッキングとは、実験単位を互いに類似したグループ（ブロック）に配置することである。通常、ブロッキング因子は、実験者にとって主要な関心事ではない変動要因である。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

確率論を研究する際、ブロック法は、標本をより小さなサブブロックで区切られたブロック（グループ）に分割し、ブロックがほぼ独立しているとみなせるようにするものです。^{[ 5 ]}ブロック法は、従属確率変数の場合の極限定理の証明に役立ちます。

ブロック法はS. バーンスタインによって導入されました。^{[ 6 ]} この方法は従属確率変数の和の理論と極値理論にうまく適用されました。^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

例

先ほどのダイエット薬の例では、被験者の性別をブロック因子として用いることができます。被験者を男性または女性の2つのグループに分け、それぞれのグループ内で、被験者をダイエット薬（治療群）またはプラセボ（対照群）のいずれかにランダムに割り当てることができます。このように性別をブロック因子として用いることで、この変動要因を制御できるため、ダイエット薬が減量にどのように影響するかをより正確に解釈することが可能になります。

妨害因子は、主因子の各レベルが妨害因子の各レベルと同じ回数だけ出現する場合、ブロック因子として使用されます。^{[ 3 ]}実験の分析では、実験の各ブロック内で主因子のレベルを変化させた場合の影響に焦点を当てます。

一般的なルールは次のとおりです。

「ブロックできるものはブロックし、できないものはランダム化する。」^{[ 3 ]}

ブロッキングは、最も重要ないくつかの邪魔変数の影響を取り除くために使用されます。次に、ランダム化を使用して、残りの邪魔変数の汚染効果を低減します。重要な邪魔変数については、ブロッキングはランダム化よりも関心のある変数においてより高い有意性をもたらします。^{[ 10 ]}

研究の主要な焦点ではないものの、変動要因となる可能性のある潜在的な要因を特定する。

研究との関連性と、関心のある主要因子を混乱させる可能性に基づいて、ブロック因子を慎重に選択してください。^{[ 11 ]}

一定規模の実験を一定数のブロックに分割することには、ブロックの数によって交絡効果の数が決まるため、影響がある。^{[ 12 ]}

各ブロック内で実験単位を治療条件にランダムに割り当てることで、説明されていない変動が治療群全体に均等に分散されるようにすることができます。ただし、ブロックへの治療の割り当て方によっては、交絡効果の数が異なる場合があります。^{[ 4 ]}したがって、交絡する効果の数と具体的な効果を選択できるため、ブロックへの治療の割り当てはランダム割り当てよりも優れています。^{[ 4 ]}

各反復ごとに異なるデザインを実行することで、毎回異なる効果が交絡し、相互作用効果は単一の効果を完全に犠牲にするのではなく、部分的に交絡されます。^{[ 4 ]}反復により結果の信頼性が向上し、治療効果のより堅牢な評価が可能になります。^{[ 12 ]}

ランダム化ブロック実験を理解する上で有用な方法の一つは、それを完全にランダム化された実験の集合体として捉えることであり、それぞれの実験は全体の実験のブロックの1つ内で実行される。^{[ 3 ]}

と

L ₁ = 因子1のレベル（設定）の数

L ₂ = 因子2のレベル（設定）の数

L ₃ = 因子3のレベル（設定）の数

L4 = 因子4_のレベル（設定）の数

${\displaystyle \vdots }$

L _k = 因子kのレベル数（設定数）

半導体製造施設のエンジニアが、炉内で行われる拡散プロセス後の抵抗率測定において、異なるウェーハ注入材料の投与量が有意な影響を与えるかどうかをテストしたいと考えているとします。彼らは4種類の異なる投与量を試したいと考えており、各投与量で3枚のウェーハをテストできるだけの十分な数の実験用ウェーハを同じロットから入手しています。

彼らが懸念している厄介な要因は「炉の運転」であり、炉の運転は毎回異なり、多くのプロセスパラメータに影響を与えることが知られている。

この実験を行う理想的な方法は、4×3＝12枚のウェハーすべてを同じ炉で処理することである。そうすれば、炉の不具合という問題を完全に排除できる。しかし、通常の生産用ウェハーが炉の使用を優先するため、同時に炉に入れることができる実験用ウェハーはごく少数に限られる。

この実験をブロックせずに実施する方法としては、12枚の実験用ウェーハをそれぞれランダムな順序で、炉の運転ごとに1枚ずつ処理する方法があります。しかし、この方法では、炉の運転ごとのばらつきによって各抵抗率測定の実験誤差が大きくなり、異なる線量の影響を調べるのが難しくなります。一方、製造部門に1回の炉運転で4枚の実験用ウェーハを使用させられると仮定した場合、この実験をブロックして実施する方法としては、線量の異なる4枚のウェーハを3回の炉運転それぞれに投入する方法があります。ランダム化するのは、線量1のウェーハ3枚のうちどれを炉運転1に入れるかを選択することだけで、線量2、3、4のウェーハについても同様です。

1つの邪魔変数を持つランダム化ブロックデザインのモデルは次のとおりです。

${\displaystyle Y_{ij}=\mu +T_{i}+B_{j}+\mathrm {ランダム\ エラー} }$

どこ

Y _ijは、 X ₁ = iかつX ₂ = jを満たす任意の観測値である。

X1_は主要な要因です

X2_はブロッキングファクターです

μは一般的な位置パラメータ（つまり平均）である。

T _{iは、治療}i (因子X ₁ )を受けたことによる効果です。

B _{jはブロック}j (因子X ₂ )に属することによる効果です。

μの推定値 ：${\displaystyle {\overline {Y}}}$= 全データの平均

T _iの推定値 :$\displaystyle {\overline {Y}}_{i\cdot }-{\overline {Y}}}$と$\displaystyle \overline Y_i\cdot }}$= X ₁ = iとなるすべてのYの平均。

B _jの推定値 :${\displaystyle {\overline {Y}}_{\cdot j}-{\overline {Y}}}$と${\displaystyle {\overline {Y}}_{\cdot j}}$= X ₂ = jとなるすべてのYの平均。

• 一般化ランダム化ブロックデザイン（GRBD）は、ブロックと治療の相互作用の検定を可能にし、RCBDと同様にブロック因子が正確に1つだけ存在する。
• ラテン方格（およびその他の行列デザイン）には、相互作用がないと考えられている2つのブロック因子が存在する。
• ラテン超立方体サンプリング
• ギリシャ・ラテン方陣
• 超ギリシャ・ラテン風の正方形デザイン