デーンプレーン

幾何学において、マックス・デーンは、半ユークリッド幾何学と非レジェンド幾何学という2つの平面の例を紹介した。これらは、与えられた点を通る与えられた直線に平行な直線が無限本あるが、三角形の角度の合計は少なくともπである。同様の現象は双曲幾何学でも起こるが、三角形の角度の合計はπ未満である。デーンの例では非アルキメデス体を使用しているため、アルキメデスの公理は破れている。これらはマックス・デーン（1900年）によって紹介され、ヒルベルト（1902年、pp. 127-130、または後の版ではpp. 42-43）によって議論された。

デーンはその幾何学を構築するために、非アルキメデス的順序付けされたピタゴラス体Ω( t )を使用した。これは有理関数体R ( t ) のピタゴラス閉包であり、実定数、恒等関数t (任意の実数をそれ自身に取る)を含む実数値関数の最小の実数体で構成され、演算 に関して閉じている。体 Ω( t ) は、十分に大きな実数に対して関数x がyより大きい場合、 x  >  yとすることで順序付けられる。Ω( t )の元x は、いくつかの整数m、nに対してm  <  x  <  nの場合に有限と呼ばれ、それ以外の場合は無限と呼ばれる。 ${\textstyle \omega \mapsto {\sqrt {1+\omega ^{2}}}}$

すべてのペア ( x ,  y )の集合。ここでxとy は体 Ω( t ) の任意の（無限の場合もある）元であり、通常の計量

${\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

Ω( t )に値を取るこのモデルは、ユークリッド幾何学のモデルを与えます。このモデルでは平行線公理は成り立ちますが、垂線からの偏差が無限小 (つまり、正の有理数よりも小さい) の場合、交差する線は平面の有限部分にない点で交差します。したがって、モデルが平面の有限部分 ( xとyが有限である点 ( x , y ) ) に制限されている場合、平行線公理は成り立たないが三角形の角度の合計がπである幾何学が得られます。これがデーンの半ユークリッド幾何学です。これは Rucker (1982、pp. 91–2) で説明されています。

同論文で、デーンは、ある点を通り他の線と交わらない線が無限にあるが、三角形の角度の合計がπ を超える非レジェンドリアン幾何学の例も構築した。Ω( t ) 上のリーマンの楕円幾何学は、 Ω( t )上の射影平面で構成され、これは「無限遠直線」とともに点のアフィン平面 ( x : y :1) と同一視でき、任意の三角形の角度の合計がπより大きいという性質を持つ。非レジェンドリアン幾何学は、txとtyが有限であるようなこのアフィン部分空間の点 ( x : y :1)で構成される(上記のようにtは恒等関数によって表される Ω( t )の要素である)。ルジャンドルの定理は、三角形の角度の和は最大でπであると述べているが、アルキメデスの公理を前提としており、デーンの例は、アルキメデスの公理を放棄すればルジャンドルの定理が成立する必要がないことを示している。

• Dehn、Max (1900)、「Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck」、Mathematische Annalen、53 (3): 404–439、doi :10.1007/BF01448980、ISSN  0025-5831、JFM  31.0471.01、S2CID  122651688
• ヒルベルト、デイヴィッド(1902)、「幾何学の基礎」(PDF)、The Open Court Publishing Co.、イリノイ州ラサール、MR  0116216
• ラッカー、ルディ（1982）「無限と心。無限の科学と哲学」、ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー、ISBN 3-7643-3034-1、MR  0658492

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