ドラジン逆

数学において、マイケル・P・ドラジンにちなんで名付けられたドラジン逆行列は、行列の一般化された逆行列の一種です。

Aを正方行列とする。Aのインデックスは、rank ( A ^{k +1} ) = rank ( A ^k ) となる最小の非負整数kである。Aのドラジン逆行列は、次を満たす 唯一の行列A ^{Dである。}

${\displaystyle A^{k+1}A^{\text{D}}=A^{k},\quad A^{\text{D}}AA^{\text{D}}=A^{\text{D}},\quad AA^{\text{D}}=A^{\text{D}}A.}$

一般に、これは古典的な意味での一般化逆ではありません。 ${\displaystyle AA^{\text{D}}A\neq A}$

• Aが逆 で可逆である場合、 となります。${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A^{\text{D}}=A^{-1}}$
• Aがブロック対角行列である場合

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}}}$

ここで は逆行列で可逆であり、 はべき零行列である。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{-1}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle A^{D}={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• ドラジン逆変換は共役の下で不変です。が のドラジン逆変換である場合、 はのドラジン逆変換です。${\displaystyle A^{\text{D}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle PA^{\text{D}}P^{-1}}$${\displaystyle PAP^{-1}}$
• インデックス 0 または 1 の行列の Drazin 逆行列は、グループ逆行列または {1,2,5} 逆行列と呼ばれ、A ^{#と表記されます。グループ逆行列は、} AA ^# A = A、A ^# AA ^# = A ^#、およびAA ^# = A ^# Aという特性によって、同様に定義できます。
• 射影行列 P は、 P ² = Pとなる行列として定義され、インデックスは 1 (または 0) であり、 Drazin 逆行列P ^D = Pを持ちます。
• Aがべき零行列（例えばシフト行列）である場合、${\displaystyle A^{\text{D}}=0.}$

ハイパーパワーシーケンスは

${\displaystyle A_{i+1}:=A_{i}+A_{i}\left(I-AA_{i}\right);}$収束については、${\displaystyle A_{i+j}=A_{i}\sum _{k=0}^{2^{j}-1}\left(I-AA_{i}\right)^{k}.}$

または任意の正規分布に対して、その列がそのドラジン逆数に近づくように選ばれる。 ${\displaystyle A_{0}:=\alpha A}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}A=AA_{0}}$${\displaystyle \left\|A_{0}-A_{0}AA_{0}\right\|<\left\|A_{0}\right\|}$

${\displaystyle A_{i}\rightarrow A^{\text{D}}.}$

カテゴリー理論的手法による Drazin 逆行列の研究と、カテゴリーの射に対する Drazin 逆行列の概念は、Cockett、Pacaud Lemay、Srinivasan によって最近開始されました。この概念は、複素要素を持つ射行列を持つ適切に定義されたカテゴリーが存在するため、線型代数の考え方の一般化です。行列 M の Drazin 逆行列は、対応する射の Drazin 逆行列に相当します。 ${\displaystyle {\mathsf {MAT}}}$${\displaystyle M:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle {\mathsf {MAT}}}$

Drazin 逆行列の定義は行列共役の下で不変であるため、J が Jordan 標準形であるときに と書くことは を意味します。Drazin 逆行列は、可逆な Jordan ブロックをその逆行列に、冪零な Jordan ブロックをゼロにマッピングする操作です。 ${\displaystyle A=PJP^{-1}}$${\displaystyle A^{\text{D}}=PJ^{\text{D}}P^{-1}}$

より一般的には、半単純で冪零であり 、両方の演算子が可換であるジョルダン-シュヴァレー分解を使用して、任意の完全体上の Drazin 逆を定義できます。2 つの項は、 の核と余核に対応するブロックを使用してブロック対角化できます。同じ基底の Drazin 逆は、 の核上でゼロ、 の余核上のの逆と等しくなるように定義されます。 ${\displaystyle A=A_{s}+A_{n}}$${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{s}}$

• 制約付き一般逆行列
• 逆要素
• ムーア・ペンローズ逆関数
• ジョルダン正規形
• 一般化固有ベクトル

• Drazin, MP (1958). 「結合環と半群における擬似逆数」アメリカ数学月刊誌65 (7): 506–514. doi :10.2307/2308576. JSTOR  2308576.
• Zheng, Bing; Bapat, RB (2004). 「一般化逆行列 A(2)T,S とランク方程式」.応用数学と計算. 155 (2): 407. doi :10.1016/S0096-3003(03)00786-0.
• コケット、ロビン。パコー・ルメイ、ジャン＝シモン。シュリニヴァサン、プリヤ・ヴァルシニー（2024）。 「カテゴリーにおけるドラジンの逆数」。arXiv : 2402.18226 [数学.CT]。

• Planet Math の Drazin 逆関数
• Planet Math のグループ逆関数