プロホロフの定理

測度論 において、プロホロフの定理は、測度の緊密性と確率測度の空間における相対的なコンパクト性（したがって弱収束）を関連付ける。これは、完全に分離可能な計量空間上の確率測度を考察したソビエトの数学者ユーリ・ヴァシリエヴィチ・プロホロフの功績である。「プロホロフの定理」という用語は、直接または逆のステートメントのいずれかへの後の一般化にも適用される。

を可分距離空間とします。を（そのボレルσ代数とともに）上で定義されるすべての確率測度の集合とします。 ${\displaystyle (S,\rho )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S}$

定理。

1. 確率測度の集合がタイトであるためには、 の閉包が 弱収束の位相を備えた 空間内で順次コンパクトである必要があります。${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
2. 弱収束の位相を持つ空間は距離化可能である。${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
3. さらに、が完全な計量空間であると仮定します（したがって、 はポーランド空間です）。 には、弱収束の位相と同等の 完全な計量があります 。さらに、 がタイトであるためには、におけるの閉包がコンパクトである必要があります。${\displaystyle (S,\rho )}$${\displaystyle (S,\rho )}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})}$

ユークリッド空間の場合、次のようになります。

• が (次元ユークリッド空間上の確率測度の集合)内のタイトなシーケンスである場合、 に弱収束するような部分シーケンスと確率測度が存在する。${\displaystyle (\mu_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle \mu_{n_{k}}}$${\displaystyle \mu}$
• がのタイトなシーケンスであり、すべての弱収束する部分シーケンス が同じ極限 を持つ場合、シーケンス は に弱収束します。${\displaystyle (\mu_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle (\mu_{n})}$${\displaystyle \mu}$

プロホロフの定理は、複素測度または有限符号測度を考慮するように拡張できます。

定理:が完全な可分距離空間であり、 が上のボレル複素測度の族であると します。次のステートメントは同値です。 ${\displaystyle (S,\rho )}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle \Pi}$は順次プレコンパクトである。つまり、すべてのシーケンスには弱収束する部分シーケンスがある。${\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi }$
• ${\displaystyle \Pi}$は、全変動ノルムにおいて厳密かつ一様に有界です。

プロホロフの定理はタイトネスをコンパクト性の観点から表現するため、コンパクト性の代わりにアルツェラ・アスコリの定理がよく使用されます。関数空間では、これにより連続性係数の観点からタイトネスの特徴付けが可能になります。または、適切な類似物（古典的なウィーナー空間におけるタイトネスとスコロホド空間におけるタイトネスを参照）につながります。

プロホロフの定理には、いくつかの深くて重要な拡張があります。しかし、それらの結果は、元の結果の重要性と応用への関連性を損なうものではありません。

• レヴィ・プロホロフ計量 – 有限測度の空間上の特定の計量フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• サゾノフの定理
• 測度の厳密さ – 測度論における概念
• 測度の弱収束 – 数学的概念リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

• ビリングスリー、パトリック（1999）。確率測定の収束。ニューヨーク、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-19745-9。
• ボガチェフ、ウラジミール (2006)。測度論第1巻および第2巻。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-34513-8。
• プロホロフ、ユーリ・V. ( 1956)。「ランダム過程の収束と確率論における極限定理」。確率論とその応用。1 (2): 157–214。doi : 10.1137/1101016。
• ダドリー、リチャード M. (1989)。実解析と確率。チャップマン＆ホール。ISBN 0-412-05161-3。