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『How to Solve It』は、数学者ジョージ・ポリアによる問題解決の手引き書です。1945年にプリンストン大学出版局から初版が出版され、1957年にダブルデイ社から第2版が出版され、その後も何度か再版されています。 [ 1 ]初版の序文で、ポリアは本書を主に数学の教師と学生のために書いたと述べており、例は初等代数と幾何学から取られています。しかし、『How to Solve It』は、帰納法、類推、特殊化、逆算などのヒューリスティクスと問題解決戦略の明確な説明により、後に他の分野でも受け入れられました。 [ 2 ]本書は15以上の言語に翻訳され、100万部以上を売り上げており、「歴史上最も広く流通した数学書の1つ」となっています。 [ 3 ]
ポーヤは、数学の問題を解くための4つの段階を特定する2ページのチェックリストから始める。[ 4 ]
彼は、各段階の区分は厳密なものではなく、柔軟なアプローチが重要であると強調している。
解決策を見つけようとする過程で、私たちは何度も視点を変え、問題の見方を変えざるを得ないかもしれません。何度も立場を変えなければなりません。作業を始めた時点では、問題に対する私たちの認識はかなり不完全である可能性が高く、ある程度進展すると見方が変わり、解決策にほぼ達するとまた違った見方になります。[ 6 ]
ポーヤは、学生が問題を完全に理解していないために、問題を解決しようとする努力がしばしば行き詰まると述べている。この状況に対処するために、教師は学生に一連の質問を投げかけ、問題のより深い理解へと導くことを推奨している。[ 7 ]最初に尋ねるべき重要な質問は、「未知数とは何か？」「データとは何か？」「条件とは何か？」（つまり、「未知数はどのような条件でデータと結びついているのか？」）であると彼は述べている。[ 8 ]
その他の質問例は以下のとおりです。
ポーヤはこの段階を最も重要かつ困難な段階と考えており、実行可能な計画を策定するプロセスは「長く、曲がりくねったものになるかもしれない」と認めている。
問題解決における最大の成果は、計画のアイデアを思いつくことである。このアイデアは徐々に現れることもあれば、一見うまくいかない試行錯誤とためらいの期間を経て、突然ひらめきのように「素晴らしいアイデア」として現れることもある。教師が学生のためにできる最善のことは、さりげない手助けによって、学生に素晴らしいアイデアを与えることである。[ 10 ]
本書の大部分は、そのようなアイデアを刺激するための提案に費やされている。挙げられている提案の中には（本書のヒューリスティクス用語集でより詳しく解説されている）、以下のようなものがある。
ポーヤは、これらの提案を適用するにはスキルと判断力が必要であり、それは多くの問題を解くことで最もよく身につくと付け加えている。彼は、生徒が計画を立てるのに役立つ質問を投げかける教師の役割を強調している。ポーヤは、「関連する問題を知っていますか？」のような考えを刺激する質問をすることと、「ピタゴラスの定理を適用できますか？」のような誘導的な質問をすることとを区別している[ 20 ]。彼の見解では、後者の質問は善意から出たものだが、教師がどのようにしてその質問に至ったのか生徒が知らないため、教育的ではない。[ 20 ]
ポーヤはこの段階を、計画を立てるよりもはるかに簡単だと考えている。主に必要とされるのは忍耐力だ。
計画は概略を示すものであり、詳細がその概略に合致していることを自ら納得させる必要がある。そのため、すべてが完全に明確になり、誤りが隠れる可能性のある不明瞭な部分がなくなるまで、詳細を一つずつ辛抱強く検討する必要がある。[ 21 ]
生徒が問題を解いた後、ポーヤは生徒に立ち止まって結果とそれに至る過程を検証するように促します。まず、答えが問題の文脈に合っているかどうかを確認します。解答は与えられたすべてのデータを使用していますか? [ 22 ]生徒は、別の戦略が使用できたかどうかを検討する必要があります。計算と推論を二重チェックして、解答を検証する必要があります。
ポリアはまた、何を行ったか、何がうまくいき何がうまくいかなかったか、何をもっとうまくできたか、そしてこの解決策が役立つかもしれない他の問題について時間をかけて振り返ることを提唱している。[ 23 ]そうすることで、学生は現在の問題に似た将来の問題に対して適切な戦略を選択できるようになる。
本書で最も大きなセクションは、ヒューリスティクス辞書です。そこには「難しい問題に取り組むためのヒント」が67項目掲載されています。[ 24 ]多くのヒントは、学生が元の問題の解決に苦労している場合に、より取り組みやすい関連問題を見つけることを目的としている。[ 25 ]例えば、
ポーヤの著書は、数学教育およびより広範な教育において有用であるとして高く評価された。Mathematical Gazette は、この本は「主に数学の学生と教師向けだが、単なる知識の蓄積ではないあらゆる教科の教養ある教師にとって興味深いものかもしれない。おそらく教員養成大学レベルで最も魅力的であり、優れた教師が自ら発見できないことはほとんど含まれていないが、発見のプロセスを大いに加速させる可能性がある」と評した。 [ 26 ] ET Bell は、この本を「初等数学の問題解決に適用される発見的方法の有益な解説書である。発見的方法がもはや教えられていないのであれば、『How to Solve It』がその不足を補うかもしれない。すべての教師志望者はこれを読むべきである」と評した。[ 27 ] Chicago Tribuneの簡潔なレビューでは、 『 How to Solve It』は「問題解決に関する、人を惹きつける初等的な本。主に数学で説明されているが、その方法は原理的には科学、工学、社会福祉の問題にも適用できる。すべての人にとって非常に価値がある」と評された。[ 28 ]
『アメリカ心理学ジャーナル』誌 で、ACシェーファーは次のように書いている。
ポーヤは、学生が計画も方法もなく闇雲に探求することを許すのではなく、ギリシャの数学者パップス（紀元300年頃）が与えたヒントに見られるような発見的手法によって、いかに自然に解決策に導かれるかを示している。著者によれば、このヒントは多くの難解で不可解な問題を解決するのに役立ってきた。この著作は、数学や一部の物理科学の学生や研究者にとって有益な読み物となるだろう。実際、科学分野でのキャリアを目指す若者は、教師の技芸に対するこの重要な貢献について熟考する価値がある。[ 29 ]
数学教授のアラン・H・シェーンフェルドは1987年に、当時問題解決の分野への関心が高まり、それを効果的に教える方法を見つけることが、How to Solve Itに大きく負っていると書いた。[ 24 ] [ 30 ]彼は、過去5年間だけでも、この本がAmerican Political Science Review、Annual Review of Psychology、Artificial Intelligence、Computers and Chemistry、Computers and Education、Discourse Processes、Educational Leadership、Higher Education、Human Learningといった多様なジャーナルで引用されていることを指摘した。[ 24 ]
しかし、ポーヤのヒューリスティック戦略の実践的な利点に納得した人は全員ではなかった。シェーンフェルドは、非定型的な問題に取り組む学部生の数学の学生にとって、これらの戦略は十分ではないと考えた。彼は、領域固有の知識と「数学的な洗練」も不可欠であると主張した。[ 31 ] [ 32 ]シェーンフェルドは、 『How to Solve It』を利用しようとする学生の観察から、学生が特定の問題に対してポーヤの数十のヒューリスティック戦略のうちどれを選択すべきかについてしばしば混乱していることに気づいた。[ 32 ]
AIの先駆者であるアレン・ニューウェルとマービン・ミンスキーは、ヒューリスティクスの分野を復活させたとしてポリアを称賛した。[ 33 ]ミンスキーは1960年の論文「人工知能へのステップ」の中で、「誰もがジョージ・ポリアの問題解決方法に関する研究を知るべきだ」と書いている。[ 34 ]
1960年代から70年代にかけて、ソ連のエンジニア、ゲンリヒ・アルトシュラーは、発明問題解決理論（ロシア語の略称TRIZ）として知られる方法論を開発した。これは多くの点でポーヤの研究と類似していたが、より工学的な問題の解決に重点を置いていた。[ 35 ]
『How to Solve It』は、コンピュータプログラマーにとって貴重なデバッグガイドとなった。1982年、RG Dromeyは、 Pólyaに捧げられ、Pólyaに影響を受けたコンピュータサイエンスの教科書『 How to Solve it by Computer』を執筆した。序文でDromeyは、「Pólyaの著作の精神で書かれた本が、コンピュータサイエンスの文脈に翻訳されて必要とされていたことは確かだ」と述べている。[ 36 ] 1980年代のMicrosoftでのインタビューで、Charles Simonyiは、「プログラマーは入社初日に数冊の本を受け取る。そのうちの1冊は『How to Solve It』という本で、数学者のGeorge Pólyaによるものだ。[Simonyiは机の横の本棚から本を取り出し、あるページを開く。] この2ページが重要だ[注：彼は本の冒頭にある2ページのチェックリストを指している]。本の残りの部分は、この2ページを詳しく説明しているだけだ。これは問題解決のためのチェックリストのようなものだ」と述べている。[ 37 ]