注文タイプ

数学、特に集合論や順序論において、2つの順序付き集合XとYは、順序同型である場合、すなわち、全単射（各要素が他方の集合のちょうど1つの要素と対応すること）が存在する場合に、同じ順序型を持つと言われます。${\displaystyle f\colon X\to Y}$fとその逆関数がともに単調である（要素の順序を保持する）。

Xが全順序集合である特殊な場合、 fの単調性は、その逆関数の単調性を既に意味する。

同一の集合であっても、異なる順序を持つ場合がある。順序同値性は同値関係であるため、すべての順序付き集合のクラスを同値クラスに分割する。

セットの場合${\displaystyle X}$注文タイプが指定されています${\displaystyle \sigma }$、逆順の順序タイプ、${\displaystyle X}$、は、$\displaystyle \sigma ^{*}}$。

整列集合Xの順序型は、 ord( X )と表現されることがある。^{[ 1 ]}

整数と有理数の順序型は通常、次のように表されます。${\displaystyle \pi }$そして${\displaystyle \eta }$それぞれ。整数の集合と偶数の集合は同じ順序タイプを持つ。なぜなら、マッピングが${\displaystyle n\mapsto 2n}$は順序を保持する全単射です。しかし、整数の集合と有理数の集合（標準的な順序付け）は同じ順序タイプを持ちません。なぜなら、集合のサイズは同じ（どちらも可算無限）であるにもかかわらず、それらの間に順序を保持する全単射写像が存在しないからです。有理数の開区間（0, 1）は、例えば、有理数と順序同型です。${\displaystyle f(x)={\tfrac {2x-1}{1-\vert {2x-1}\vert }}}$これは、前者から後者への厳密に増加する全単射である。この種の関連する定理については、以下で詳しく説明する。

さらに例を挙げると、正の整数の集合（最小値を持つ）と負の整数の集合（最大値を持つ）があります。自然数には、後述するようにωで表される順序型があります。

半閉区間[0,1)と(0,1]、および閉区間[0,1]に含まれる有理数は、3つの追加の順序タイプの例です。

整列集合はすべて、ただ一つの順序数と順序的に同値である。順序数はそれぞれのクラスの標準的な代表値とみなされるため、整列集合の順序型は通常、対応する順序数と同一視される。したがって、順序型はしばしば順序数の算術式で表される。

数としての標準的な順序付けに関して言えば、有理数の集合は整列集合ではない。同様に、実数の完全集合も整列集合ではない。

任意の可算集合は、順序を保持する形で有理数に単射写像できる。さらに、順序が稠密で最高元も最低元も存在しない場合、順序を保持する全単射が存在する。${\displaystyle \mathbb {Q} }$―これは、順序が全順序であるため、必然的に順序同型となる。したがって、そのような集合の順序型は、まさに有理数の順序型となる。

• 整然とした

• ワイススタイン、エリック W. 「順序タイプ」 . MathWorld .