正定値関数

もし${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$実内積空間であれば、${\displaystyle g_{y}\colon X\to \mathbb {C} }$、${\displaystyle x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )}$すべての${\displaystyle y\in X}$: すべての$\displaystyle u\in \mathbb {C} ^{n}}$そしてすべて${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$我々は持っています

${\displaystyle u^{*}A^{(g_{y})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\sum _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.}$

正定値関数の非負線形結合は再び正定値となるため、コサイン関数は上記の関数の非負線形結合として正定値となる。

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1})。}$

正定値関数を作成することができる${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$正定値関数から容易に${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$任意のベクトル空間に対して${\displaystyle X}$線形関数を選択してください${\displaystyle \phi \colon X\to \mathbb {R} }$そして定義する${\displaystyle f^{*}:=f\circ \phi }$。 それから

${\displaystyle u^{*}A^{(f^{*})}u=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\sum _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\チルダ {A}}^{(f)}u\geq 0,}$

どこ${\displaystyle {\tilde {A}}^{(f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x}}_{j}){\big )}_{i,j}}$どこ$\displaystyle {\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{k})}$は、${\displaystyle \phi }$線形である。^{[ 1 ]}

正定値性はフーリエ変換の理論において自然に生じます。f が正定値であるためには、g ( y ) ≥ 0を満たす実数直線上の関数gのフーリエ変換であれば十分であることが直接的にわかります。

その逆の結果はボフナーの定理であり、実数直線上の任意の連続正定値関数は（正の）測度のフーリエ変換であると述べている。^{[ 2 ]}

任意の局所コンパクトアーベル位相群上で正定値関数を定義することができ、ボフナーの定理はこの文脈にも拡張される。群上の正定値関数は、ヒルベルト空間上の群の表現論（すなわち、ユニタリ表現論）において自然に現れる。