アラゴスポット

光学において、アラゴ点、ポアソン点、^{[1] [2]}またはフレネル点^[3]は、フレネル回折により円形の物体の影の中心に現れる明るい点である。^{[4] [5] [6] [7]この点は}光の波動性の発見に重要な役割を果たし、光が波として振る舞うことを示す一般的な方法である。

基本的な実験装置には、照射されたピンホールや発散するレーザービームなどの点光源が必要です。装置の寸法はフレネル回折の要件を満たす必要があります。つまり、フレネル数は 次の式 を満たす必要があります 。$${\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}$$

• dは円形物体の直径であり、
• ℓは物体とスクリーンの間の距離であり、
• λは光源の波長です。

最後に、円形の物体のエッジは十分に滑らかでなければなりません。

これらの条件が組み合わさって、明るい点が日常生活で遭遇されない理由を説明しています。しかし、今日利用可能なレーザー光源があれば、アラゴスポットの実験を実行することはそれほど難しくありません。^[8]

天文学では、アラゴ斑点はニュートン式望遠鏡で星の焦点がぼけた像でも観測できます。そこでは、星は無限遠でほぼ理想的な点光源となり、望遠鏡の副鏡が円形の障害物となります。

円形の障害物に光が当たると、ホイヘンスの原理によれば、障害物の平面上のすべての点が新しい点光源として機能します。障害物の円周上の点から来て影の中心に向かう光は、まったく同じ距離を移動するため、物体の近くを通過するすべての光は同位相でスクリーンに到達し、建設的に干渉します。その結果、影の中心に明るい点が生じますが、幾何光学と光の粒子理論では、そこに光はまったく存在しないはずです。

19世紀初頭、光は単純に直線に沿って伝播するのではないという考えが広まりました。トーマス・ヤングは1807年に二重スリット実験を発表しました。^{[9]最初のアラゴスポット実験は10年後に行われ、光が粒子か波かという疑問に対する決定的な実験でした。したがって、これは}「実験十字」の例です。

当時、アイザック・ニュートンの光の粒子理論を支持する人は多く、理論家シメオン・ドニ・ポアソンもその一人だった。^[10] 1818年、フランス科学アカデミーは光の性質を説明するコンペを開催し、ポアソンは審査員の一人だった。土木技師のオーギュスタン＝ジャン・フレネルは、新しい光の波動理論を提出してこのコンペに参加した。^[11]

ポアソンはフレネルの理論を詳細に研究し、光の粒子理論の支持者として、それが間違いであることを証明する方法を探しました。ポアソンは、光の粒子理論によれば完全な暗闇であるはずの円形の障害物の影の中に軸上の明るい点が存在するというフレネルの理論の結論を主張したときに、欠陥を見つけたと考えました。この予測は波動理論の不合理な結果と見なされ、その予測の失敗はフレネルの理論を拒否する強力な議論となるはずです。

しかし、委員長のドミニク・フランソワ・ジャン・アラゴは実際に実験を行うことを決意した。彼は2mmの金属円盤をワックスでガラス板に成形した。^[12]彼は予測された点の観測に成功し、ほとんどの科学者に光の波動性を納得させ、フレネルに勝利をもたらした。^[13]

アラゴは後に^[14]、この現象（後に「ポアソン斑」または「アラゴ斑」として知られる）がすでに1世紀前にデリスル^[15]とマラルディ^[16]によって観察されていたことを指摘した。

アラゴの実験結果は波動理論を支持する圧倒的な証拠であったが、1世紀後、量子力学の誕生（アルベルト・アインシュタインの「奇跡の年」論文の1つで初めて示唆）と相まって、光（およびあらゆる形態の物質とエネルギー）は粒子と波の両方として記述する必要がある（波動粒子二重性）ことが理解されるようになった。しかし、電磁波に関連付けられている粒子である光子は、波動理論の台頭とアラゴの強力な実証以前に支配的であった粒子理論で想像された粒子とは何の共通点もない。1920年代後半に量子論が登場する前は、光の波動性だけが回折や干渉などの現象を説明できた。今日では、ディラックの量子理論で予測されているように、単一光子によって引き起こされる輝点のモザイク状の蓄積を通して回折パターンが現れることが知られている。光の強度が増すにつれて、モザイク回折パターンの輝点はより速く集まる。対照的に、波動理論は、光の強度に応じて全体的な明るさが増加する、拡張された連続パターンの形成を予測します。

フレネルの波動理論の核心はホイヘンス・フレネル原理であり、これは波面の遮られていない点はすべて二次球面波の源となり、スクリーン上の点における光場Eの振幅は、それらの相対位相を考慮したすべての二次波の重ね合わせによって与えられるというものである。^[17]これは、スクリーン上の点P ₁における場が面積分によって与えられることを意味する。 ここで、二次波が後方に伝播しないことを保証する 傾斜係数は 、次 のように与えられ、$${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\ mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}$$${\displaystyle K(\chi )}$$${\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}$$

• Aはソース波の振幅である
• ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$は波数である
• S は障害物のない表面です。

積分の外側の最初の項は、距離r ₀にあるソース波からの振動を表します。同様に、積分内の項は、距離r ₁にある二次ウェーブレットからの振動を表します。

この積分を用いて円形障害物の背後の強度を導くためには、実験パラメータが近接場回折領域の要件を満たしていると仮定する（円形障害物のサイズは波長に比べて大きく、距離g = P ₀ Cおよびb = CP ₁に比べて小さい）。極座標^{[疑わしい–議論が必要]に移ると、半径}aの円形物体の積分が得られる（例えばBornとWolf ^[18]を参照）。 $${\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$$

この積分は数値的に解くことができる^{[疑わしい–議論する]}（下記参照）。gが大きく、bが小さく、角度が無視できない場合^{[疑わしい–議論する] 、軸上のケース（P} ₁が影の中心にある）の積分は次のように表すことができます（ゾンマーフェルト^[19]を参照）。 ${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$$

光源の強度は場の振幅の2乗で、スクリーン上の強度はです。軸上の強度は距離bの関数として次のように表されます。 ${\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}$${\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}$$${\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}$$

これは、円形障害物の直径よりもはるかに大きい距離b での軸上の強度が、円形の物体がまったく存在しないかのように、ソースの強度と同じであることを示しています。ただし、距離bが大きいほど、明るいスポットのサイズが大きくなり(以下のシミュレーションで、連続した画像でb/aが増加することがわかります)、スポットが識別しやすくなります。

スクリーン上に見える完全な回折像を計算するには、前のセクションの面積分を考慮する必要があります。光源とスクリーン上の任意の点を結ぶ線が円形の物体の中心を通過しないため、円対称性は利用できなくなります。開口関数は物体面の透明な部分では 1、そうでない場合は 0 です (つまり、光源とスクリーン上の点を結ぶ直線が、遮蔽する円形の物体を通過する場合は 0 です)。このため、解く必要のある積分は次のように表されます。 ${\displaystyle g(r,\theta )}$$${\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}$$

台形則やシンプソン則を用いた積分の数値計算は効率的ではなく、特にフレネル数が大きい構成では数値的に不安定になる。しかし、積分の放射状部分を解いて、方位角についての積分だけが数値的に行われるようにすることは可能である。^[20]特定の角度については、直線P ₀ P ₁と円形の物体面との交点を原点とする光線の線積分を解かなければならない。方位角が で物体面の透明部分を通過する特定の光線の寄与は、から までで次のようになる。 ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle r=s}$${\displaystyle r=t}$$${\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} t^{2}}.}$$

したがって、各角度について、光線と円形の物体との交点を計算し、0 から までの特定の数の角度に対する寄与を合計する必要があります。このような計算の結果が次の画像に示されています。 ${\displaystyle I(\theta _{1})}$${\displaystyle 2\pi }$

これらの画像は、直径 4 mm、2 mm、1 mm のディスクの影にあるアラゴ斑点のシミュレーションで、各ディスクの 1 m 後方で撮影されています。ディスクは、各ディスクの 1 m 前方の点から発散する 633 nm の波長の光で照らされています。各画像の幅は 16 mm です。

理想的な点光源の場合、アラゴスポットの強度は乱されていない波面の強度に等しくなります。アラゴスポットの強度ピークの幅のみが、光源、円形物体、スクリーン間の距離、および光源の波長と円形物体の直径に依存します。つまり、円形物体とスクリーン間の距離を増やすか、円形物体の直径を小さくすることで、光源の波長の減少を補正できます。

スクリーン上の横方向の強度分布は、光軸に近く、平面波源（無限遠の点源）を使用する場合、実際には第一種ゼロ次ベッセル関数の2乗の形をしています。^[21] ここで $${\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)}$$

• rはスクリーン上の点P ₁から光軸までの距離である。
• dは円形の物体の直径である
• λは波長である
• b は円形の物体とスクリーン間の距離です。

次の画像は、上記の Arago スポット画像のシミュレーションによる放射状の強度分布を示しています。

これら 3 つのグラフの赤い線は上記のシミュレーション画像に対応しており、緑の線は上記の 2 乗ベッセル関数に対応するパラメータを適用して計算されました。

従来の光源からの円形の影の中でアラゴスポットを観察するのが難しい主な理由は、そのような光源が点光源の悪い近似であるからです。波源が有限のサイズS を持つ場合、円形の物体がレンズのように機能するかのように、アラゴスポットはSb / gで与えられる範囲を持ちます。 ^[17]同時に、アラゴスポットの強度は、乱されていない波面の強度に対して減少します。強度を乱されていない波面の強度で割ったものとして相対強度を定義すると、直径 w の拡張された円形光源の相対強度は、次の式を使用して正確に表すことができます。^[22] ここで、およびは第 1 種のベッセル関数です。は影を落とすディスクの半径、波長、および光源とディスク間の距離です。大きな光源の場合、次の漸近近似が適用されます。^[22]${\displaystyle I_{\text{rel}}}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)}$$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle g}$ $${\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}$$

円形の物体の断面が円形からわずかにずれている場合（ただし、より小さなスケールでは鋭いエッジが残っている場合）、点光源アラゴスポットの形状は変化します。特に、物体の断面が楕円形の場合、アラゴスポットは縮閉線の形状になります。 [ ^23]これは、光源が理想的な点光源に近い場合にのみ当てはまることに注意してください。拡張光源の場合、アラゴスポットはわずかにしか影響を受けません。これは、アラゴスポットを点像分布関数として解釈できるためです。したがって、拡張光源の画像は、点像分布関数との畳み込みによって色あせてしまうだけで、全体的な強度は低下しません。

アラゴ斑点は、理想的な円形断面からの小さな偏差に非常に敏感です。つまり、円形物体の表面粗さがわずかでも、明るい斑点が完全に打ち消される可能性があります。これは、直径 4 mm のディスク ( g = b = 1 m ) からのアラゴ斑点のシミュレーションである次の 3 つの図に示されています。

シミュレーションには、振幅がそれぞれ 10 μm、50 μm、100 μm の円形の規則的な正弦波波形が含まれています。100 μm のエッジ波形により、中央の明るいスポットがほぼ完全に除去されることに注意してください。

この効果は、フレネルゾーンの概念を使用すると最もよく理解できます。障害物のエッジ上の点から発生する放射状セグメントによって伝送されるフィールドは、フレネルゾーンに対するエッジ点の位置に位相がぴったり合った寄与を提供します。障害物の半径の変動がエッジ近くのフレネルゾーンの幅よりもはるかに小さい場合、放射状セグメントからの寄与はほぼ同位相であり、建設的に干渉します。ただし、ランダムなエッジの波形の振幅が隣接するフレネルゾーンの幅と同等かそれ以上である場合、放射状セグメントからの寄与は同位相ではなくなり、互いに打ち消し合ってアラゴスポットの強度を低下させます。

隣接フレネルゾーンはおおよそ次のように表される: ^[24] $${\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}$$

理想的なアラゴ スポットに近づくためには、エッジの波形がこの幅の 10% を超えないようにしてください。直径 4 mm のディスクを使用した上記のシミュレーションでは、隣接するフレネル ゾーンの幅は約 77 μm です。

2009年、アラゴスポット実験は、重水素分子の超音速膨張ビーム（中性物質波の一例）を用いて実証されました。^[24]物質粒子が波のように振舞うことは量子力学から知られています。粒子の波動性は、実際にはド・ブロイの仮説^[25]やデイヴィソンとガーマーの実験にまで遡ります。^[26]物質波を構成する電子のアラゴスポットは、一定の大きさの円形構造を調べると 透過型電子顕微鏡で観察できます。

大きな分子のアラゴスポットを観測し、その波動性を証明することは、現在研究されているテーマである。^[24]

波動の挙動の実証以外にも、アラゴスポットにはいくつかの用途があります。その1つは、アラゴスポットをアライメントシステムの直線基準として使用することです。^[27]もう1つは、スポットのビーム収差に対する感度を利用して、レーザービームの収差を調べることです。^[21] 最後に、アラゴスコープは、宇宙望遠鏡の回折限界解像度を劇的に向上させる方法として提案されています。^{[28] [29]}

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• 掩蔽ディスク