ポアンカレ・ホップの定理

数学において、ポアンカレ・ホップの定理（ポアンカレ・ホップ指数公式、ポアンカレ・ホップ指数定理、またはホップ指数定理とも呼ばれる）は、微分位相幾何学で用いられる重要な定理である。この定理は、アンリ・ポアンカレとハインツ・ホップにちなんで名付けられた。

ポアンカレ・ホップの定理は、毛玉定理の特殊な場合によってしばしば説明される。この定理は、ソースもシンクも持たない偶数次元n球面上には滑らかなベクトル場が存在しないことを単純に述べている。

させて${\displaystyle M}$次元の微分可能な多様体である${\displaystyle n}$、 そして${\displaystyle v}$ベクトル場${\displaystyle M}$仮に${\displaystyle x}$孤立零点${\displaystyle v}$そして、近くのいくつかのローカル座標を固定します。${\displaystyle x}$閉じたボールを選ぶ${\displaystyle D}$中心は${\displaystyle x}$、 となることによって${\displaystyle x}$は唯一のゼロです${\displaystyle v}$で${\displaystyle D}$。次にインデックス${\displaystyle v}$で${\displaystyle x}$、${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$は、マップの次数として定義できます。${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$境界から​${\displaystyle D}$へ${\displaystyle (n-1)}$球面は次のように与えられる ${\displaystyle u(z)=v(z)/\|v(z)\|}$。

定理。${\displaystyle M}$をコンパクトな微分可能多様体とする。${\displaystyle v}$ベクトル場となる${\displaystyle M}$孤立したゼロを持つ場合。${\displaystyle M}$境界がある場合、我々は主張する${\displaystyle v}$境界に沿って外向きの法線方向を指しているとします。すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

ここで、インデックスの合計は、${\displaystyle v}$そして${\displaystyle \chi (M)}$オイラー標数は${\displaystyle M}$特に有用な系は、オイラー標数が 0 である非零ベクトル場が存在する場合である。

この定理はアンリ・ポアンカレ^{[ 1 ]}によって2次元で証明され、後にハインツ・ホップ^{[ 2 ]}によって高次元に一般化された。

閉曲面のオイラー標数は純粋に位相幾何学的な概念であるのに対し、ベクトル場の指数は純粋に解析的な概念である。したがって、この定理は、一見無関係に見える2つの数学分野の間に深い繋がりを確立する。この定理の証明が積分、特に微分形式の外微分積分が境界上のその形式の積分に等しいというストークスの定理に大きく依存していることも、おそらく興味深い点である。境界のない多様体の特殊な場合、これは積分が0であることを意味します。しかし、ソースまたはシンクの十分小さな近傍のベクトル場を調べると、ソースとシンクは合計に整数値（指数として知られる）を寄与し、それらの合計はすべて0になることがわかります。この結果は、幾何学的概念と解析的または物理的概念との間の深い関係を確立する一連の定理（例えば、アティヤー・シンガー指数定理、ド・ラームの定理、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理）の最も初期のものの1つと考えることができます。これらは、両分野の現代的な研究において重要な役割を果たしています。

1. 点Mを何らかの高次元ユークリッド空間に埋め込む。（ホイットニーの埋め込み定理を用いる。）
2. ユークリッド空間内の点Mの小さな近傍N _{εを取ります。ベクトル場をこの近傍まで拡張し、元のベクトル場と同じ零点と、それらの零点の添え字を持つようにします。さらに、} N _εの境界における拡張されたベクトル場が外向きになるようにします。
3. 古い（そして新しい）ベクトル場の零点のインデックスの合計は、_Nεの境界から( n – 1) 次元球面へのガウス写像の次数に等しい。したがって、インデックスの合計は実際のベクトル場には依存せず、多様体Mのみに依存する。
   手法：近傍が小さいベクトル場のすべての零点を切り取ります。次に、n次元多様体の境界から( n -1)次元球面への写像の次数がゼロであるという事実を利用します。この写像はn次元多様体全体に拡張できます。
4. 最後に、この添え字の合計をMのオイラー標数として特定します。そのためには、添え字の合計がオイラー標数に等しくなることが明らかな、 Mの三角形分割を用いた非常に特殊なベクトル場をM上に構築します。

孤立零点を持たないベクトル場のインデックスを定義することは依然として可能である。このインデックスの構成と、孤立零点を持たないベクトル場に対するポアンカレ・ホップ定理の拡張については、（Brasselet、Seade 、 Suwa 2009 ）のセクション1.1.2で概説されている。

コンパクトな三角化可能な空間と有限個の不動点を持つ連続写像のみを用いる別の一般化として、レフシェッツ・ホップの定理がある。すべてのベクトル場は多様体上に流れを誘導し、小さな流れの不動点はベクトル場の零点に対応する（そして零点の添え字は不動点の添え字と等しい）ため、ポアンカレ・ホップの定理はここから直ちに導かれる。

• アイゼンバッド、レヴィン、キムシアシュヴィリのシグネチャーフォーミュラ
• ホップの定理

• 「ポアンカレ・ホップの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ジャン＝ポール・ブラスレ。セアデ、ホセ。諏訪達雄（2009）。特異品種のベクトル場。ハイデルベルク：シュプリンガー。ISBN 978-3-642-05205​​-7。