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形式論理において、非一階述語論理化可能性とは、自然言語の命題が一階述語論理の式で適切に表現できない状態を指します。具体的には、ある命題が一階述語論理化不可能であるとは、その命題がモデル内で成り立つ場合に限り、そのモデル内で真となるような一階述語論理の式が存在しないことを意味します。非一階述語論理化可能な命題は、一階述語論理では自然言語の意味のニュアンスを捉えきれないという証拠として提示されることがあります。
この用語は、ジョージ・ブーロスが論文「存在するとは、変数の値である（またはいくつかの変数の値である）」の中で造語した。[ 1 ] ブーロスは、このような文は第2階記号化を必要とし、それは、異なる「第2階オブジェクト」（性質、集合など）を仮定することなく、第1階量化子が使用するのと同じ領域上の複数量化として解釈できると主張した。
典型的な例として、ギーチ＝カプランの文「一部の批評家は互いにしか賞賛しない」が挙げられる。Axyが「 xはyを賞賛する」という意味で理解され、議論の対象となる世界がすべての批評家の集合である場合、この文を二階述語論理に合理的に翻訳すると次のようになる。 言葉で言うと、これは次のような性質を持つ批評家の集合が存在することを述べている。その集合はすべての批評家の適切なサブクラスを形成し、その集合には（したがって空ではない）別の批評家を賞賛するメンバーが存在し、その批評家もまたその集合のメンバーである。そして、その集合のメンバーのいずれかが誰かを賞賛する場合、賞賛された批評家も必ずその集合のメンバーである。
この式に一階微分方程式の等価式が存在しないことは、それを算術の言語で表現した式にすることで確認できます。そのためには、次の式を代入します。Axyの場合。これは、2 つの項が何らかの形で互いに後継関係にあることを表している。結果として得られる命題は、 次の3つの性質を持つ 集合Xが存在すると述べている。
1階ペアノ算術のような形式的な算術理論のモデルは、要素として馴染みのある自然数（0、1、2、…）のみを含む場合、標準と呼ばれます。それ以外の場合は、非標準と呼ばれます。上記の式は、非標準モデルでのみ成り立ちます。標準モデルでは、X はすべての数の真部分集合であり、利用可能なすべての数（ 0、1、2、… ）も含まなければならないため、この式は成り立ちません。一方、すべての非標準モデルでは、式を満たす部分集合Xが存在します。
ここで、上記の式の一次表現であるEが存在すると仮定しましょう。ペアノ公理に が追加されると、拡張された公理の非標準モデルは存在しないことになる。しかし、非標準モデルの存在に関する通常の議論は依然として成り立ち、結局非標準モデルが存在することが証明される。これは矛盾であるため、一階述語論理にはそのような式Eは存在しないと結論づけることができる。
等号を含む一階述語論理において、有限領域を持つすべてのモデルにのみ当てはまる式Aは存在しない。言い換えれば、「物事の数は有限である」ことを表現できる一階述語論理式は存在しない。
これはコンパクト性定理によって次のように示唆されます。[ 2 ]有限領域を持つすべてのモデルにおいて真となる式Aがあるとします。任意の正の整数nに対して、「領域には少なくともn個の要素がある」という文を表現できます。与えられたnに対して、少なくともn個の要素があることを表す式をB nと呼びます。例えば、式B 3は次のようになります。 これは、領域内に少なくとも 3 つの異なる要素が存在することを表しています。無限の数式を考えてみましょう。 これらの式の有限部分集合にはそれぞれモデルが存在します。部分集合が与えられたとき、式B nがその部分集合に含まれる最大のn を見つけます。すると、 n個の要素を含む領域を持つモデルは、A を満たし（領域が有限であるため）、部分集合内のすべてのB式を満たします。コンパクト性定理を適用すると、無限集合全体にもモデルが存在するはずです。A について仮定したことから、モデルは有限でなければなりません。しかし、このモデルは有限ではありえません。なぜなら、モデルがm個の要素しか持たない場合、式B m+1を満たさないからです。この矛盾は、仮定した性質を持つ式Aは存在しないことを示しています。
