プラトーの問題

数学において、プラトーの問題は、与えられた境界を持つ極小曲面の存在を示すことであり、 1760年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって提起された問題である。しかし、これは石鹸膜の実験を行ったジョゼフ・プラトーにちなんで名付けられた。この問題は変分法の一部であると考えられている。存在と正則性の問題は、幾何学的測度論の一部である。

この問題の様々な特殊な形式が解決されたが、マッピング（浸漬）の文脈で一般解が発見されたのは 1930 年になってからで、ジェシー・ダグラスとティボール・ラドーが独立してその方法を見出した。彼らの方法は全く異なっていた。ラドーの研究はルネ・ガルニエの以前の研究に基づいており、修正可能な単純な閉曲線にのみ当てはまるものであったが、ダグラスは全く新しいアイデアを使用し、その結果は任意の単純な閉曲線に当てはまるものであった。どちらも最小化問題の設定に依存しており、ダグラスは現在ダグラス積分と名付けられているものを最小化したが、ラドーは「エネルギー」を最小化した。ダグラスはその後、その功績により 1936 年にフィールズ賞を受賞した。

問題を高次元に拡張すると（つまり、次元空間の次元面の場合）、研究がはるかに困難になります。さらに、元の問題の解は常に正則ですが、 の場合、拡張された問題の解は特異点を持つ場合があります。 の超曲面の場合、特異点は の場合にのみ発生します。 プラトー問題のそのような特異解の例は、 上の円錐であるシモンズ円錐です。これは、ジム・シモンズによって最初に説明され、ボンビエリ、デ・ジョルジ、ジュスティによって面積最小化であることが示されました。^[1]拡張された問題を特定の特殊なケースで解くために、余次元 1 の周囲の理論（デ・ジョルジ）と、高余次元の整流可能電流の理論（フェデラーとフレミング）が開発されました。理論は、ハウスドルフ次元の閉集合から離れて滑らかになる余次元 1 の解の存在を保証します。より高い余次元の場合、アルムグレンは彼の正則性定理で、最大で次元の特異集合を持つ解の存在を証明した。アルムグレンの弟子であるSXチャンは、アルムグレンの研究を基に、積分電流（任意の余次元）を最小化する2次元面積の特異点が有限離散集合を形成することを示した。^{[2] [3]}${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k\leq n-2}$${\displaystyle k=n-1}$${\displaystyle n\geq 8}$${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle n-8}$${\displaystyle k-2}$

ジェニー・ハリソンとハリソン・ピューの公理的アプローチ^[4]は、さまざまな特殊なケースを扱っています。特に、彼らは、一般的なホモロジー、コホモロジー、またはホモトピー的スパニング条件の組み合わせを満たす任意の整流可能集合の集合に対して、任意の次元と余次元における異方性プラトー問題を解きます。ハリソン・ピューの結果の別の証明は、カミロ・デ・レリス、フランチェスコ・ギラルディン、フランチェスコ・マッジによって得られました^{[5] 。}

物理的な石鹸膜は、フレデリック・アルムグレンの -極小集合によってより正確にモデル化されますが、コンパクト性定理がないため、面積最小化子の存在を証明することは困難です。この文脈では、最小面積石鹸膜の存在は、永続的な未解決の問題です。エルンスト・ロバート・ライフェンベルクは、単一の埋め込まれた球に同相な境界に対するそのような「普遍的なプラトー問題」を解決しました。 ${\displaystyle (M,0,\Delta )}$

• ダブルバブル予想
• ディリクレ原理
• プラトーの法則
• ストレッチグリッド法
• バーンスタインの問題

• ダグラス、ジェシー( 1931 ) 。「プラトー問題の解決」。アメリカ数学会誌33 ( 1): 263–321。doi : 10.2307/1989472。JSTOR  1989472 。
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). 「さまざまな位相型のm次元表面に対する{プラトー}問題の解決」Acta Mathematica . 104 (2): 1–92. doi : 10.1007/bf02547186 .
• フォメンコ、AT（1989）。プラトー問題：歴史的調査。ウィリストン、VT：ゴードン＆ブリーチ。ISBN 978-2-88124-700-2。
• モーガン、フランク (2009)。『幾何学的測度理論：初心者のためのガイド』。アカデミック プレス。ISBN 978-0-12-374444-9。
• オニール、TC (2001) [1994]、「幾何学的測度理論」、数学百科事典、EMSプレス
• ラドー、ティボール(1930)。「プラトー問題について」。数学年報2. 31 ( 3): 457–469。Bibcode :1930AnMat..31..457R。doi : 10.2307/1968237。JSTOR  1968237。
• ストルーエ、マイケル（1989年）。プラトーの問題と変分法。プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08510-4。
• アルムグレン、フレデリック(1966)。プラトーの問題、多様体幾何学への招待。ニューヨーク-アムステルダム:ベンジャミン。ISBN 978-0-821-82747-5。

• ハリソン、ジェニー; ピュー、ハリソン (2016).数学における未解決問題 (プラトーの問題) . Springer. arXiv : 1506.05408 . doi :10.1007/978-3-319-32162-2. ISBN 978-3-319-32160-8。

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