一次元格子中の粒子

量子力学において、一次元格子中の粒子は、周期的な結晶格子モデルで生じる問題である。ポテンシャルは、結晶の周期構造内のイオンが電磁場を生成することによって生じ、そのため電子は格子内部で一定のポテンシャルを受ける。これは、格子内部のポテンシャルがゼロであると仮定する自由電子モデルの一般化である。

固体材料について語る場合、議論の中心は主に結晶、すなわち周期的な格子構造です。ここでは、正イオンの1次元格子について考察します。2つのイオン間の間隔をaとすると、格子内の電位は次のようになります。

ポテンシャルの数学的表現は、周期aの周期関数である。ブロッホの定理^{[ 1 ]}によれば、ポテンシャルが周期的な場合のシュレーディンガー方程式の波動関数解は、次のように表される。

$${\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x),}$$

ここで、u ( x )はu ( x + a )= u ( x )を満たす周期関数である。これはフロケ指数を持つブロッホ因子である。${\displaystyle k}$これにより、1928年にStruttによって示されたように、Kronig–Penneyポテンシャルやコサイン関数などの周期ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式のエネルギースペクトルのバンド構造が生じます。^{[ 2 ]}解はMathieu関数の助けを借りて与えることができます。

格子端に近づくと、境界条件に問題が生じます。そのため、イオン格子をボルン・フォン・ カルマン境界条件に従うリングとして表現することができます。格子の長さをLとすると、 L ≫ aとなり、格子内のイオンの数が非常に多くなり、1 つのイオンを考えると、その周囲はほぼ直線状になり、電子の波動関数は変化しません。したがって、2 つの境界条件の代わりに、1 つの円形境界条件が得られます。 $${\displaystyle \psi (0)=\psi (L)。}$$

N を格子中のイオンの数とすると、次の関係が成り立ちます。aN = L。境界条件に代入し、ブロッホの定理を適用すると、k の量子化が得られます。 $${\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)}$$$${\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1}$$$${\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).}$$

クロニッヒ・ペニーモデル（ラルフ・クロニッヒとウィリアム・ペニー^{[ 3 ]}にちなんで命名）は、長方形のポテンシャル障壁の無限周期配列からなる単純で理想化された量子力学的システムである。

電位関数は矩形電位によって近似される。

ブロッホの定理を用いると、単一周期の解を見つけ、それが連続かつ滑らかであることを確認し、関数u ( x )も連続かつ滑らかであることを確認するだけでよい。

ポテンシャルの単一周期を考えると、 ここには2つの領域があります。それぞれについて独立して解きます。Eを井戸より上のエネルギー値とします（E>0）

• のために${\displaystyle 0<x<(ab)}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}}$$
• のために${\displaystyle -b<x<0}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}}$$

各領域におけるu ( x )を求めるには、電子の波動関数を操作する必要があります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0<x<ab)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<ab)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}}$$

そして同様に： $${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}$$

解決策を完成させるには、確率関数が連続かつ滑らかであることを確認する必要があります。つまり、 $${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+})。}$$

そして、u ( x )とu′ ( x )は周期関数である。 $${\displaystyle u(-b)=u(ab)\qquad u'(-b)=u'(ab).}$$

これらの条件から、以下の行列が得られます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(ab)}&e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(ab)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(ab)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$$

非自明な解を得るためには、行列の行列式が0でなければなりません。これにより、次の式が得られます。 $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (ab)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (ab)].}$$

式をさらに簡略化するために、以下の近似を行います。 $${\displaystyle b\to 0;\quad V_{0}\to \infty$$ ;\quad V_{0}b=\mathrm {定数} } $${\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {定数}$$ ;\quad \alpha ^{2}b\to 0} $${\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.}$$

式は次のようになります。 $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.}$$

井戸内部のエネルギー値（E  <  0）については、次のようになります。 $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (ab)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (ab)],}$$ と$\displaystyle \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}}$そして${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}$。

上記と同じ近似に従って（${\displaystyle b\to 0;\,V_{0}\to \infty$ ;\,V_{0}b=\mathrm {定数} } ) で、次のようになります。 $${\displaystyle \cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}}$$Pについては前の場合と 同じ式を用いる。${\displaystyle \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}$。

前の段落では、物理システムのパラメータによって決定されない変数は、エネルギーEと結晶運動量kだけです。Eの値を選択することで右辺を計算し、次にkを計算することができます。${\displaystyle \arccos }$両側の。したがって、この式は分散関係を生み出す。

上記の最後の式の右辺は、1より大きいか-1より小さい場合があり、その場合は、方程式を真にするkの値は存在しません。${\displaystyle \alpha a\propto {\sqrt {E}}}$つまり、シュレーディンガー方程式の固有関数が存在しないEの値が存在するということです。これらの値はバンドギャップを構成します。

したがって、クロニッヒ・ペニーモデルは、バンドギャップを示す最も単純な周期ポテンシャルの1つである。

同様の問題に対する別の対処法^{[ 4 ]}が示されている。ここでは、デルタ周期ポテンシャルを用いる。 $${\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).}$$

Aは定数であり、aは格子定数（各サイト間の間隔）です。このポテンシャルは周期的であるため、フーリエ級数として展開できます。 $${\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\チルダ {V}}(K)\cdot e^{iKx},}$$ どこ $${\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.}$$

ブロッホの定理を用いると、波動関数は次のように表される。${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}$どこ${\displaystyle u_{k}(x)}$これは格子内で周期的な関数であるため、フーリエ級数として展開することもできます。 $${\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}$$

したがって、波動関数は次のようになる。 $${\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}$$

これをシュレーディンガー方程式に代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$ あるいはむしろ： $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$

今、私たちは次のことを認識しています。 $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}$$

これをシュレーディンガー方程式に代入してみましょう。 $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}$$

これを解決する${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}$我々は以下を得る： $${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

この最後の式をKのすべての値について合計すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

または： $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

都合よく、${\displaystyle u_{k}(0)}$相殺されて、次のようになります。 $${\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

または： $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

不要な表記の手間を省くために、新しい変数を定義します。 $${\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}$$ そして最後に、私たちの表現は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}$$

さて、Kは逆格子ベクトルなので、 Kに関する和は実際には整数倍の和になります。${\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}$: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}$$

この表現を少し工夫して、より示唆に富むものにすることができます（部分分数分解を使用します）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}$$

コタンジェント関数の和に関する良い恒等式（式18）を用いると、次のようになります。 $${\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}}$$ そしてそれを式に代入すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}$$

cotの和とsinの積( cotの和の公式の一部)を用いて、次の式を導きます。 $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}$$

この方程式は、エネルギー（ αを介して）と波数ベクトルkの関係を示しています。ご覧のとおり、方程式の左辺は−1から1 の範囲しか取れないため、 α （したがってエネルギー）が取り得る値には制限があります。つまり、エネルギーの値のある範囲では、この方程式に従って解が存在しないため、システムはそのエネルギー、すなわちエネルギーギャップを持ちません。これらは、いわゆるバンドギャップと呼ばれ、周期的なポテンシャルのあらゆる形状（デルタ型や方形型の障壁だけでなく）に存在することが示されています。

バンド間のギャップの式と一次元シュレーディンガー方程式の固有値の準位分裂の、異なる詳細な計算については、Müller-Kirstenを参照してください。^{[ 5 ]}コサインポテンシャル（マチュー方程式）に対応する結果も、この文献に詳細に記載されています。

場合によっては、シュレーディンガー方程式は、周期微分方程式の理論を用いて、有限長の一次元格子上で解析的に解くことができる^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} 。格子の長さは、${\displaystyle L=Na}$、 どこ${\displaystyle a}$は潜在周期であり、周期の数である。${\displaystyle N}$は正の整数です。格子の両端は です。${\displaystyle \tau }$そして${\displaystyle L+\tau }$、 どこ${\displaystyle \tau }$終了点を決定する。波動関数は区間外では消滅する。${\displaystyle [\tau ,L+\tau ]}$。

有限系の固有状態は、同じ周期ポテンシャルを持つ無限系のブロッホ状態を用いて求めることができる。無限系の連続する2つのエネルギーバンド間にバンドギャップが存在する場合、有限格子内の2種類の状態は明確に区別される。無限系の各エネルギーバンドに対して、${\displaystyle N-1}$エネルギーが長さに依存するバルク状態${\displaystyle N}$しかし、終了時にはそうではない${\displaystyle \tau }$これらの状態は、運動量を持つ 2 つのブロッホ状態の重ね合わせとして構築された定常波です。${\displaystyle k}$そして${\displaystyle -k}$、 どこ${\displaystyle k}$境界で波動関数がゼロになるように選択されます。これらの状態のエネルギーは無限系のエネルギーバンドと一致します。^{[ 6 ]}

各バンドギャップには、追加の状態が1つ存在する。これらの状態のエネルギーは、終端点に依存する。${\displaystyle \tau }$しかし長さは関係ない${\displaystyle N}$[ ^{6 ]}このような状態のエネルギーは、バンド端またはバンドギャップ内のいずれかに存在する可能性があります。エネルギーがバンドギャップ内にある場合、その状態は格子の一端に局在した表面状態です^が、エネルギーがバンド端にある場合、その状態は格子全体に非局在化します。

• 空格子近似
• ほぼ自由電子モデル
• 結晶構造

• 「クロニッヒ・ペニーモデル」マイケル・クラウチャー著、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクトより、 Mathematicaを使用した1次元周期ポテンシャルバンド構造の対話型計算。