空格子近似

空格子近似は、ポテンシャルが周期的で弱い（ほぼ一定）理論的な電子バンド構造モデルである。また、ポテンシャルが周期的でもない空の^{[説明が必要]不規則格子も考えられる。 [1]空格子近似は、}結晶格子を移動する相互作用しない自由電子のエネルギー分散関係のいくつかのプロパティを記述する。「空格子」内の電子のエネルギーは、自由電子のエネルギーと同じである。このモデルは、すべての電子バンド構造の基本となる、固体内のエネルギー分散関係の非常に複雑な特徴のいくつかを明確に示すため有用である。

この自由電子モデルにおける格子の周期的ポテンシャルは弱くなければならない。そうでなければ電子は自由にならないからである。散乱の強さは主にシステムの形状と位相に依存する。散乱 断面積のような位相的に定義されたパラメータは、ポテンシャルの大きさとポテンシャル井戸のサイズに依存する。1次元、2次元、3次元空間では、ポテンシャルがどれだけ小さくても、その符号が何であっても、またはそのサイズがどれだけ限られていようと、ポテンシャル井戸は常に波を散乱させる。クローニッヒ・ペニーモデルのような1次元格子内の粒子の場合、ポテンシャル、格子間隔、ポテンシャル井戸のサイズの値を代入することで、バンド構造を解析的に計算することができる。^{[2] 2次元および3次元の問題では、いくつかのパラメータを持つ同様のモデルに基づいてバンド構造を正確に計算することはより困難である。それでも、バンド構造の特性は}、摂動法によってほとんどの領域で簡単に近似できる。

理論上、格子は無限に大きいため、弱い周期的散乱ポテンシャルは、最終的には波を反射するのに十分な強さになります。散乱プロセスの結果、結晶構造の周期的ポテンシャルによる電子のブラッグ反射がよく知られています。これが、分散関係の周期性とブリルアンゾーンのk 空間の分割の起源です。周期的なエネルギー分散関係は次のように表されます。

${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}}{2m} }}$

これらはバンド^{[説明が必要]が属する}逆格子ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$

右の図は、長さaの格子セルを持つ 1 次元格子の逆格子空間における 3 つの周期の分散関係を示しています。

1 次元格子では、エネルギーが上昇すると、エネルギー間隔内のバンドを決定する逆格子ベクトルの数は 2 つに制限されます。2 次元および 3 次元格子では、波数ベクトルの長さが増加してエネルギーが上昇すると、自由電子バンドを決定する逆格子ベクトルの数はより急速に増加します。これは、間隔内に存在する逆格子ベクトルの数が増加するためです。エネルギー間隔内の状態密度は、逆格子空間内の間隔内の状態の数 と分散関係の傾きによって決まります。 ${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \mathbf {G} _{n}}$${\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]}$${\displaystyle [E,E+dE]}$${\displaystyle [\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]}$${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )}$

格子セルは球対称ではありませんが、分散関係が中央ブリルアンゾーンの外側に拡張されている場合、逆格子セル内の固定された中心点の観点からは、分散関係は依然として球対称です。3次元格子の状態密度は、格子がない場合と同じです。3 次元の場合、状態密度は次のようになります。 ${\displaystyle D_{3}\left(E\right)}$

${\displaystyle D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .}$

3 次元空間では、ブリルアン ゾーン境界は平面です。分散関係は、すべての可能な逆格子ベクトルに対して、自由電子エネルギー分散放物線の円錐を示します。評価軌道、第 1 次および高次のブリルアン ゾーン境界、分散放物線交差円錐の間には多数の角度が存在するため、分散関係を計算すると、非常に複雑な曲線の交差セットが生成されます。

第一ブリルアンゾーンの遥か外側の波動ベクトルを持つ固体の格子を通過する「自由電子」は、やはり第一ブリルアンゾーンに反射されます。例と図のあるサイトについては、外部リンク セクションを参照してください。 ${\displaystyle \mathbf {k} }$

アルミニウムのようなほとんどの単純な金属では、遮蔽効果により固体中のイオンの電界が大幅に減少します。静電ポテンシャルは次のように表されます。

${\displaystyle V(r)={\frac {Ze}{r}}e^{-qr}}$

ここで、Zは原子番号、eは基本単位電荷、rは埋め込まれたイオンの核までの距離、qは電位の範囲を決定する遮蔽パラメータである。格子電位、のフーリエ変換、は次のように表される。 ${\displaystyle U_{\mathbf {G}}}$${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle U_{\mathbf {G} }={\frac {4\pi Ze}{q^{2}+G^{2}}}}$

ハミルトニアンの逆格子ベクトル間の非対角要素の値がほぼゼロになると、バンドギャップの大きさが縮小し、空格子近似が得られます。 ${\displaystyle U_{\mathbf {G}}}$${\displaystyle 2|U_{\mathbf {G} }|}$

いくつかの特殊な例外を除けば、金属はBCC および FCC立方結晶構造と六方最密充填HCP結晶構造の 3 種類の結晶構造で結晶化します。

• 
  体心立方格子 (I)
• 
  面心立方 (F)
• 
  六方最密充填

• ブリルアンゾーンの単純格子図（Thayer Watkins著） 2006年9月14日アーカイブ、Wayback Machineより
• ブリルアンゾーン 3D 格子図 (テクニオン)。2006 年 12 月 5 日にWayback Machineにアーカイブされました。
• DoITPoMS 教育学習パッケージ - 「ブリルアンゾーン」