レイヴンのパラドックス

ヘンペル自身もこの逆説的な結論を受け入れ、結果が逆説的に見える理由は、我々が事前に情報を持っているからであり、その情報がなければ、黒くないカラス以外の鳥を観察すれば、すべてのカラスは黒であるという証拠が得られるはずだと主張した。

彼は「すべてのナトリウム塩は黄色く燃える」という一般論を例に挙げてこれを説明し、誰かが純粋な氷の塊を無色の炎にかざしても黄色くならないという観察結果について考えてみるよう促している。^{[ 4 ]： 19-20}

この結果は「黄色く燃えないものはナトリウム塩ではない」という主張を裏付け、したがって等価条件によって元の定式化を裏付けることになる。なぜこれが逆説的に感じられるのだろうか？その理由は、化学組成がまだ不明な物体を炎にかざしても黄色に変色せず、その後の分析でナトリウム塩が含まれていないことが判明する実験と比較すると明らかになる。この結果は、仮説に基づけば当然予想されるものであり、したがってここで得られたデータは仮説を裏付ける証拠となる。

一見矛盾しているように見える確認の事例では、実際には与えられた証拠E単独と仮説Hとの関係を判断しているのではなく、Hと、Eに加えてたまたま手元にある追加情報からなる証拠群との比較を暗黙のうちに導入していることが多いのです。この例では、この情報には(1)実験で使用された物質が氷であること、(2)氷にはナトリウム塩が含まれていないこと、という知識が含まれます。この追加情報が既知であると仮定すれば、当然ながら、実験結果は検討中の仮説を補強するものではありません。しかし、この追加知識への暗黙の言及を避けるように注意すれば、矛盾は解消されます。

最も有力な解決策の一つは、緑色のリンゴの観察によってすべてのワタリガラスが黒色であるという証拠が得られるという結論を受け入れるものの、ワタリガラスの数と黒色以外の物体の数の大きな差から、得られる裏付けの量は非常に小さいと主張することである。この解決策によれば、緑色のリンゴの観察によって得られる証拠の量は直感的にはゼロと推定されるが、実際にはゼロではないものの極めて小さいため、この結論は逆説的に見える。

IJ Goodが 1960 年にこの議論を発表したことはおそらく最もよく知られており^{[ 9 ] 、それ以来、この議論のバリエーションが人気を博している[ 10 ]。}ただし、この議論は 1958 年に発表されており^{[ 11 ]}、議論の初期の形態は 1940 年頃には既に現れていた^{[ 12 ]。}

グッドの議論は、黒いカラスや白い靴の観察によって得られる証拠の重みを計算し、物体の集合の中にいるすべてのカラスが黒いという仮説を支持するというものである。証拠の重みはベイズ因子の対数であり、この場合、観察が行われた際に仮説のオッズが変化する係数に他ならない。議論は以下の通りである。

...仮に${\displaystyle N}$いつでも見られる可能性のある物体のうち、${\displaystyle r}$カラスと${\displaystyle b}$黒色であり、${\displaystyle N}$物体はそれぞれ確率を持つ$\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$見られること。${\displaystyle H_{i}}$仮説は、${\displaystyle i}$黒色でないワタリガラス、そして仮説は${\displaystyle H_{1},H_{2},...,H_{r}}$最初は等確率です。次に、たまたま黒いカラスを見た場合、ベイズ因子は、${\displaystyle H_{0}}$は

$$${\displaystyle {\tfrac {r}{N}}{\Big ⋆\text{平均}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}}$$$

つまり、存在するワタリガラスの数が多いと分かっている場合は約2です。しかし、白い靴を見た場合の要因は

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\tfrac {N-b}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {N-b-1}{N}},{\tfrac {N-b-2}{N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {N-b-r}{N}})\right)\\\ =\ {\frac {N-b}{\max \left(N-b-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\ ,\ {\tfrac {1}{2}}(N-b-1)\right)}}\end{array}}}$$

そしてこれは1をわずか約上回る${\displaystyle r/(2N-2b)}$もし${\displaystyle N-b}$に比べて大きい${\displaystyle r}$したがって、白い靴を目撃することによって得られる証拠の重みは肯定的であるが、カラスの数が黒以外の物体の数に比べて少ないことがわかっている場合は小さい。^{[ 13 ]}

この解決策とその変形案の提唱者の多くはベイズ確率論の支持者であり、現在では一般的にベイズ解と呼ばれているが、千原^{[ 14 ]}が指摘するように、「ベイズ解というものは存在しない。ベイズ主義者がベイズ的手法を用いて提案した『解決策』は数多くある」。ベイズ的手法を用いた注目すべきアプローチ（その中には!PCを受け入れ、代わりにNCを拒否するものもある）には、Earman ^{[ 15 ]}、Eells ^{[ 16 ]}、Gibson ^{[ 17 ]} 、 Hosiasson-Lindenbaum ^{[ 12 ]}、HowsonとUrbach ^{[ 18 ]} 、 Mackie ^{[ 19 ]} 、そしてHintikka ^{[ 20 ]}などがあり、Hintikkaは自身のアプローチが「同じパラドックスのいわゆる『ベイズ解』よりもベイズ的である」と主張している。カルナップの帰納的推論理論を利用するベイズ的アプローチには、ハンブルク^{[ 21 ]}、マーハー^{[ 8 ]}、フィテルソン＆ホーソーン^{[ 10 ]}などがある。ヴラナス^{[ 22 ]}は混乱を避けるために「標準ベイズ解」という用語を導入した。

マーハー^{[ 8 ]}は逆説的な結論を受け入れ、それを洗練させている。

カラス以外の鳥（どんな色でも）は、カラスはすべて黒色であることを確認する。

• （i）この物体がカラスではないという情報は、この物体が一般化の反例である可能性を排除し、
• （ii）観測されていない物体がカラスである確率を低下させ、それによってそれらが一般化の反例である確率を低下させる。

（ii）に到達するために、彼はカルナップの帰納的確率論に訴える。これは（ベイズの観点から）帰納を自然に実装する事前確率を割り当てる方法である。カルナップの理論によれば、事後確率は、${\displaystyle P(Fa|E)}$物体、${\displaystyle a}$述語を持ちます。${\displaystyle F}$証拠の後${\displaystyle E}$観察された内容は以下のとおりです。

$${\displaystyle P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}}$$

どこ${\displaystyle P(Fa)}$初期確率は${\displaystyle a}$述語を持つ${\displaystyle F}$;${\displaystyle n}$は、調査された対象物の数です（入手可能な証拠に基づく）。${\displaystyle E}$);${\displaystyle n_{F}}$は、述語を持つことが判明した検査対象の数です。${\displaystyle F}$、 そして${\displaystyle \lambda }$これは、一般化に対する抵抗を測定する定数です。

もし${\displaystyle \lambda }$ゼロに近い、${\displaystyle P(Fa|E)}$述語を持つことが判明した対象物を一度観察すると、1に非常に近い値になる${\displaystyle F}$、もし${\displaystyle \lambda }$よりはるかに大きい${\displaystyle n}$、${\displaystyle P(Fa|E)}$非常に近い${\displaystyle P(Fa)}$述語を持つ観測対象の割合に関係なく${\displaystyle F}$。

カルナップ流のこのアプローチを用いて、マーハーは、直感的に（そして正しく）誤りだと分かっているにもかかわらず、逆説的な結論と混同しやすい命題を特定している。問題の命題は、カラス以外の鳥を観察することでカラスの色について分かるというものである。これは直感的に誤りであり、カルナップの帰納法の理論によれば誤りであるが、（同じ理論によれば）カラス以外の鳥を観察することで、カラスの総数の推定値を減らすことができ、それによって、すべてのカラスは黒であるという規則に対する反例の推定数を減らすことができる。

したがって、ベイズ・カルナピアンの観点からすると、カラス以外の個体を観察しても、カラスの色については何もわからないが、カラスの出現頻度についてはわかっており、黒くない可能性のあるカラスの数の推定値を減らすことで、「すべてのカラスは黒い」という説を裏付けることになる。

パラドックス全般、特にベイズ的アプローチに関する議論の多くは、背景知識の関連性に焦点を当ててきた。驚くべきことに、Maher ^{[ 8 ]}は、背景知識の可能な構成の大きなクラスにおいて、黒くないカラスではないものの観察は、黒いカラスの観察とまったく同じ量の確証を与えることを示している。彼が考慮する背景知識の構成は、サンプル命題によって提供されるものであり、すなわち、それぞれが単一の述語を単一の個体に割り当て、2 つの原子命題が同じ個体に関与しない原子命題の連言である命題である。したがって、「A は黒いカラスであり、B は白い靴である」という形式の命題は、「黒いカラス」と「白い靴」を述語とすることでサンプル命題とみなすことができる。

マーハーの証明は、黒くないカラス以外のものの観察は、黒いカラスの観察よりもはるかに少ない証拠しか提供しないというベイズ的議論の結果と矛盾するように見える。その理由は、グッドらが用いる背景知識は標本命題の形で表現できないからである。特に、標準的なベイズ的アプローチの変種では、（グッドが上記の議論で行ったように）カラスの総数、黒くない物体の総数、および／または物体の総数が既知の量であると仮定することが多い。マーハーは次のように述べている。「カラスよりも黒くないものの方が多いと考える理由は、これまで観察してきたものについてそれが真実であったからである。このような証拠は標本命題で表すことができる。しかし、背景証拠として任意の標本命題が与えられた場合、黒くないカラス以外のものは、黒いカラスと同じくらい強くAを裏付ける。したがって、私の分析は、このパラドックスに対するこの応答（すなわち標準的なベイズ的応答）は正しくないことを示唆している。」

Fitelson & Hawthorne ^{[ 10 ]}は、黒くないカラスの観察が黒いカラスの観察よりも証拠として不十分となる条件を調べた。彼らは、もし${\displaystyle a}$ランダムに選択されたオブジェクトです。${\displaystyle Ba}$物体が黒色であるという命題であり、${\displaystyle Ra}$対象がカラスであるという命題が成り立つならば、条件は次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P(Ra|H)}}}$$

非黒色の非カラスの観察は、黒色のカラスの観察よりも証拠が少ないことを示すのに十分である。ここで、命題の上に引かれた線は、その命題の論理的否定を示す。

この条件では、提供された証拠の差がどれくらい大きいかはわかりませんが、同じ論文の後の計算では、黒いワタリガラスが提供する証拠の重みは、黒くないワタリガラス以外の鳥が提供する証拠の重みを約 100 倍上回っていることが示されています。${\displaystyle -\log P(Ba|Ra{\overline {H}})}$これは、すべてのカラスが黒いわけではないという仮説のもとで、未知の色のカラスが黒色であることが判明したときに得られる追加情報量（対数の底が2の場合はビット単位）に等しい。

FitelsonとHawthorne ^{[ 10 ]}は次のように説明している。

通常の状況下では、${\displaystyle p=P(Ba|Ra{\overline {H}})}$0.9か0.95くらいかもしれない。${\displaystyle 1/p}$は 1.11 または 1.05 付近です。したがって、黒いカラスの単一のインスタンスは、黒くないカラス以外のものよりもそれほど多くの支持をもたらさないように見えるかもしれません。しかし、もっともらしい条件下では、一連の${\displaystyle n}$事例 (n 羽の黒いワタリガラスと n 羽の黒くないワタリガラスとの比較) は、次のオーダーの尤度比の比率をもたらします。${\displaystyle (1/p)^{n}}$これは、大きな値で大幅に増加する。${\displaystyle n}$。

著者らは、自分たちの分析は、黒くないカラス以外の鳥が極めて少量の証拠しか提供しないという仮説と完全に一致すると指摘しているが、それを証明しようとはしていない。彼らは単に、黒いカラスが提供する証拠の量と、黒くないカラス以外の鳥が提供する証拠の量との差を計算しているだけである。

Good ^{[ 23 ]}は、黒いワタリガラスの観察によって、すべてのワタリガラスが黒いという確率が低下するという背景知識の例を挙げている。

私たちが二つの世界のどちらかにいると仮定し、検討中の仮説Hは、私たちの世界のカラスはすべて黒色であるとします。一方の世界には黒色のカラスが百羽、黒色でないカラスは一羽もおらず、その他の鳥が百万羽いること、もう一方の世界には黒色のカラスが千羽、白いカラスが一羽、その他の鳥が百万羽いることがあらかじめわかっています。私たちの世界のすべての鳥から等確率で一羽の鳥がランダムに選ばれます。それが黒色のカラスであることが判明しました。これは、私たちが第二の世界、つまりすべてのカラスが黒色ではない世界にいるという強力な証拠となります。

グッドは、白い靴は「論点ずらし」であると結論づけている。黒いカラスでさえ、すべてのカラスは黒いという仮説に反する証拠となり得るのだから、白い靴の観察がその仮説を裏付けることは驚くべきことではなく、注目に値しない。グッドによれば、ニコッドの基準は誤りであり、したがって逆説的な結論は導き出されない。

ヘンペルはこのパラドックスの解決策としてこれを拒否し、「cはカラスであり、黒である」という命題は「それ自体で、他の情報とは無関係に」考慮されなければならないと主張し、「白い靴のようなケースでパラドックスが生じるのは、部分的にはこの格率を守らなかったことに起因する」と、私のMind誌の記事のセクション5.2(b)で強調した。 ^{[ 24 ]}

そこで生じる疑問は、このパラドックスを（ヘンペルが示唆するように）全く背景情報がない状況で理解すべきなのか、それともカラスと黒い物体に関して実際に私たちが持っている背景情報に基づいて理解すべきなのか、あるいは背景情報のあらゆる可能な組み合わせに基づいて理解すべきなのか、ということである。

グッドは、背景知識の構成によっては、ニコッドの基準が偽であることを示した（ただし、「帰納的に支持する」を「可能性を高める」と同一視するならば―後述参照）。グッドの例とは大きく異なる我々の実際の知識構成においては、ニコッドの基準が依然として真であり、逆説的な結論に至る可能性が残されていた。一方、ヘンペルは、我々の背景知識自体が論点ずらしであり、帰納法は完全な無知という条件の下で検討すべきだと主張している。

マーハーは提案した決議案の中で、「すべてのカラスは黒い」という命題は、カラスが存在しない可能性が非常に高い場合に非常に高い確率で成立するという事実を暗黙のうちに利用した。グッドは以前にもこの事実を利用して、背景情報がない場合でもニコッドの基準が成り立つと理解されるべきだというヘンペルの主張に反論していた。^{[ 25 ]}

… 無限の知能を持つ新生児が、形式論理、英語の構文、主観的確率を扱える神経回路を内蔵していると想像してみてください。彼は、カラスを詳細に定義した後、カラスが存在しない可能性は極めて低いので、すべてのカラスが黒である可能性が極めて高い、つまり、${\displaystyle H}$それは真実だ。「一方で」と彼は主張を続ける。「カラスがいるなら、様々な色をしている可能性は十分にある。だから、もし黒いカラスが存在することを発見したら、私は${\displaystyle H}$当初考えられていたよりも可能性が低くなるだろう。

グッドによれば、これは完全な無知の状態に合理的に期待できる最も近い状態であり、ニコッドの条件は依然として偽であるように思われる。マーハーはカルナップの帰納法を用いて、もしカラスが1羽いるならば、多数いる可能性が高いという考えを形式化することで、グッドの議論をより正確にした。^{[ 26 ]}

マーハーの議論では、ちょうど2つの物体からなる宇宙を想定しており、それぞれの物体がカラスである可能性は非常に低く（1000分の1）、黒色である可能性もそれなりに低い（10分の1）としている。彼はカルナップの帰納法を用いて、2つの物体のうち1つが黒色のカラスであることが判明した場合、すべてのカラスが黒色である確率は0.9985から0.8995に低下することを発見した。

マーハーは、逆説的な結論が正しいだけでなく、背景知識がない場合（宇宙に存在する物体の数が2つであること、そしてカラスが黒いものよりも出現しにくいという知識を除いて）、ニコッドの基準は誤りであると結論づけている。

クワイン^{[ 27 ]}は、このパラドックスの解決策は、彼が自然種と呼んだ特定の述語が帰納法に関して特別な地位を持っていることを認識することにあると主張した。これは、ネルソン・グッドマンの述語grueの例で説明できる。ある物体がgrueであるとは、それが（例えば）2026年より前に青で、その後緑である場合である。明らかに、2026年より前に青だった物体はその後も青のままであると期待されるが、2026年より前にgrueであることが判明した物体が2026年より後に青であるとは期待されない。なぜなら、 2026年以降は緑になるからである。クワインの説明は、「青」は自然種であり、帰納法に使用できる特権的な述語であるのに対し、「grue」は自然種ではなく、それに帰納法を用いると誤りが生じるということである。

これは、パラドックスの解決策を示唆している。すなわち、ニコッドの基準は「青」や「黒」といった自然種には当てはまるが、「グリュー」や「カラスではない」といった人為的に作られた述語には当てはまらない。この解決策によれば、パラドックスは、ニコッドの基準が実際には自然種にのみ適用されるにもかかわらず、私たちが暗黙のうちにそれをすべての述語に適用されると解釈してしまうために生じるのである。

ヒンティッカは、特定の述語を他の述語よりも優先する別のアプローチを採用した。^{[ 20 ]}ヒンティッカは、カラスと黒いものの相対頻度に関する知識を利用しない、パラドックスに対するベイズ的アプローチを見つけようとした。相対頻度に関する議論は、タイプAのオブジェクトの観察から構成される証拠が、タイプA以外のオブジェクトについて学ぶ目的で無関係であると認識されることを常に説明できるわけではない、と彼は主張する。

彼の議論は、「カラス」や「黒」以外の述語を使ってパラドックスを言い換えることで説明できる。例えば、「すべての男性は背が高い」は「すべての背の低い人は女性である」と同等であり、無作為に選ばれた人が背の低い女性であるという事実は、すべての男性が背が高いという証拠となるはずである。背の低い人よりも男性の数が著しく少ないことを示す背景知識がないにもかかわらず、私たちは依然としてこの結論を拒否したくなる。ヒンティッカの例は次のとおりである。「『いかなる物質体も無限に分割できない』といった一般化は、自分の議論の世界における物質的実体と非物質的実体の相対的な頻度についてどう考えるかに関わらず、非物質的実体に関する質問には全く影響されないように思われる。」^{[ 20 ]}

彼の解決策は、述語の集合に順序を導入することである。論理体系にこの順序が備わると、「すべてのカラスは黒い」といった一般化の範囲を、カラスのみに適用され、黒くないものには適用されないように制限することが可能になる。なぜなら、この順序は黒くないものよりもカラスを優先するからである。彼自身は次のように述べている。

「すべてのカラスは黒い」という一般化の範囲をカラスに限定できると仮定することが正当であるとすれば、これは事実状況に関して頼りにできる外部情報を持っていることを意味する。パラドックスは、状況に対する私たちの自発的な見方を彩るこの情報が、帰納的状況の通常の扱いに組み込まれていないという事実から生じる。^{[ 20 ]}

シェフラーとグッドマン^{[ 28 ]}は、科学的仮説は決して実際に確認されることはなく、反証されるだけであるというカール・ポパーの見解を取り入れたパラドックスへのアプローチを採用した。

このアプローチは、黒いワタリガラスの観察が「すべてのワタリガラスは黒い」ことを証明するものではなく、むしろ反対の仮説「黒いワタリガラスはいない」を否定するものであると指摘することから始まる。一方、黒くないワタリガラス以外の生き物は、「すべてのワタリガラスは黒い」と「黒いワタリガラスはいない」の両方と矛盾しない。著者らは次のように述べている。

…すべてのワタリガラスは黒いという主張は、黒いワタリガラスの存在によって単に満たされるだけでなく、そのような証拠によって支持される。なぜなら、黒いワタリガラスは、すべてのワタリガラスは黒くないという反対の主張を否定する、つまりその否定を満足させるからである。言い換えれば、黒いワタリガラスは、すべてのワタリガラスは黒くないという仮説ではなく、すべてのワタリガラスは黒くないという仮説を満たすのである。したがって、黒いワタリガラスは、すべてのワタリガラスは黒くあるということを選択的に確認するのである。

選択的確認は等価条件に違反する。なぜなら、黒いワタリガラスは「すべてのワタリガラスは黒い」という命題は選択的に確認するが、「すべての黒くないものはワタリガラスではない」という命題は確認しないからである。

正統的なネイマン＝ピアソン仮説検定理論は、仮説にどのような確率を割り当てるかではなく、仮説を受け入れるか拒否するかをどのように決定するかを考察する。この観点からすると、「すべてのカラスは黒い」という仮説は、観察が増えるにつれて確率が1に近づくにつれて徐々に受け入れられるのではなく、すでに収集されたデータを評価した結果として、単一の行動で受け入れられる。ネイマンとピアソンは次のように述べている。

個々の仮説が真か偽かを知ろうとするのではなく、それらに関する私たちの行動を律するルールを探し求めることで、長い経験の過程で、私たちが間違えることがあまり多くないことを保証できる。^{[ 32 ]}

このアプローチによれば、仮説の確率に値を割り当てる必要はないが、仮説を受け入れるか拒否するかを決定する際には、仮説が与えられた場合、あるいは競合する仮説が与えられた場合のデータの確率を必ず考慮に入れなければならない。仮説の受容または拒否には、誤りのリスクが伴う。

これは、仮説に事前確率を割り当て、観測データに基づいてその確率を修正して最終的な確率を求めるベイズ的手法とは対照的である。ベイズ的手法では、仮説は採択も棄却もされず、確率が割り当てられるため、誤りのリスクはない。

正統的な観点からこのパラドックスの分析が行われ、その結果、とりわけ等価条件の否定という結論に至った。

すべての P が Q であるという仮説を受け入れつつ、その対偶、すなわちすべての非 Q が非 P であるという仮説を棄却することは明らかに不可能であるように思われる。しかし、ネイマン・ピアソン検定理論では、「すべての P が Q である」という検定は、「すべての非 Q が非 P である」という検定とは必ずしも一致せず、その逆もまた然りであることは容易に理解できる。「すべての P が Q である」という検定には、次のような代替統計仮説を参照する必要がある。${\displaystyle r}$すべての P のうち Q は、${\displaystyle 0<r<1}$一方、「すべての非Qは非Pである」の検定では、次のような統計的代替案を参照する必要がある。${\displaystyle r}$非Qのうち非Pは、${\displaystyle 0<r<1}$しかし、これら2つの可能な選択肢のセットは異なっている...したがって、次のようなテストを行うことができる。${\displaystyle H}$対偶の検定なしに。^{[ 33 ]}

以下の命題はすべて互いに含意関係にある。「すべての物体は黒であるか、またはカラスではない」、「すべてのカラスは黒である」、「すべての黒でない物体はカラスではない」。したがって、定義上、これらは論理的に同値である。しかし、これら3つの命題は異なる領域を持っている。最初の命題は「すべての物体」について述べているのに対し、2番目の命題は「すべてのカラス」について述べている。

最初の命題は、量化領域が無制限（「すべての対象」）である唯一の命題であるため、一階述語論理で表現できる唯一の命題です。これは、以下の命題と論理的に同値です。

$${\displaystyle \forall \ x,Rx\ \rightarrow \ Bx}$$

そしてまた

$${\displaystyle \forall \ x,{\overline {Bx}}\ \rightarrow \ {\overline {Rx}}}$$

どこ${\displaystyle \rightarrow }$これは、次の条件文を示しています。「もし${\displaystyle A}$それから${\displaystyle B}$「は、${\displaystyle B}$または${\displaystyle {\overline {A}}}$「。

複数の著者が、物質的含意は「もし${\displaystyle A}$それから${\displaystyle B}$「（物質的含意のパラドックスを参照）。「あらゆる対象物について、${\displaystyle x}$、${\displaystyle x}$「カラスは黒か、カラスではない」という命題は、カラスが存在しない場合に真である。このため、「すべてのカラスは黒である」という命題は、カラスが存在しない場合に真であると見なされる。さらに、グッドとマーハーがニコッドの基準を批判するために用いた議論（上記§ グッドの赤ちゃんを参照）は、この事実、すなわち「すべてのカラスは黒である」という命題は、カラスが存在しない可能性が非常に高い場合に非常に高い確率で起こり得るという事実に基づいていた。

カラスが全く存在しないのに「すべてのカラスは黒い」と言うのは、空虚な発言である。それは何の意味も持たない。「すべてのカラスは白い」という発言も同様に妥当であり、真実である。ただし、この発言に何らかの真実性や妥当性があるとみなされる場合に限る。

このパラドックスに対するいくつかのアプローチは、「もし${\displaystyle A}$それから${\displaystyle B}$「そして「すべて」${\displaystyle A}$は${\displaystyle B}$これにより、「すべてのカラスは黒い」と「すべての黒くないものはカラスではない」という認識上の同等性が解消されるだろう。

そのようなアプローチの一つは、次のような多値論理を導入することである。「もし${\displaystyle A}$それから${\displaystyle B}$「真理値を持つ」${\displaystyle I}$、つまり「不確定」または「不適切」な場合${\displaystyle A}$偽である。^{[ 34 ]}このようなシステムでは、対偶は自動的には許可されない。「もし${\displaystyle A}$それから${\displaystyle B}$「は「もし」と同等ではない${\displaystyle {\overline {B}}}$それから${\displaystyle {\overline {A}}}$したがって、「すべてのカラスは黒い」は「すべての黒くないものはカラスではない」とは同義ではない。

このシステムでは、対位法が生じると、関係する条件文の様態が直説法（「もしそのバターが32 ℃に加熱されていたら、溶けているだろう」）から反事実（「もしそのバターが32 ℃に加熱されていたら、溶けていただろう」）に変化する。この議論によれば、これにより、黄色い牛がカラスについて教えてくれると結論づけるために必要な、いわゆる等価性が排除される。  

適切な文法上、対偶論証は完全に直説法で述べるべきではない。したがって、次のようになる。

このマッチをこすると火がつくという事実から、火がつかない場合はこすられていないという結論が導き出される。

不自然です。こう言うべきです。

このマッチをこすると火がつくという事実から、火がつかないのであればこすられていないはずだ、という 結論が導き出される。

この対位法則の解釈がヘンペルの確認のパラドックスにどのような影響を与えるのか疑問に思うかもしれない。「もし${\displaystyle a}$それはカラスです${\displaystyle a}$「黒である」は「もし黒ならば」と同等です${\displaystyle a}$当時は黒人ではなかった${\displaystyle a}$カラスではないだろう」。したがって、後者を裏付けるものは何でも、等価条件により前者も裏付けるはずである。確かにそうだが、黄色い牛は「すべてのカラスは黒い」の裏付けにはなり得ない。なぜなら、科学では裏付けは予測によって行われ、予測は直説法で適切に述べられるからである。反事実を裏付けるものは何かと問うのは無意味である。^{[ 34 ]}

複数の評論家が、「すべてのカラスは黒い」という命題と「すべての黒くないものはカラスではない」という命題は、仮説を検証するための異なる手順を示唆していると指摘している。例えば、グッドは次のように書いている。^{[ 9 ]}

命題としては、この2つの文は論理的に同等である。しかし、実験者に対する心理的な影響は異なる。もし実験者に「すべてのカラスは黒色である」かどうかを検証するように求められた場合、実験者はまずカラスを探し、それからそれが黒色かどうかを判断するだろう。しかし、「すべての黒色でないものはカラスではない」かどうかを検証するように求められた場合、実験者はまず黒色でない物体を探し、それからそれがカラスであるかどうかを判断するかもしれない。

最近では、「すべてのワタリガラスは黒い」と「すべての黒くないものはワタリガラスではない」という仮説は、受け入れられた場合に異なる効果をもたらす可能性があることが示唆されている。^{[ 35 ]}この議論では、ワタリガラスと黒い物体の総数または出現率が不明だが推定できる状況を想定している。この議論によれば、「すべてのワタリガラスは黒い」という仮説が受け入れられると、推定される黒い物体の数は増加するが、推定されるワタリガラスの数は変化しない。

これは、カラスと黒い物体に関する情報が同一で、カラスと黒い物体の数の推定値も同一である2人の状況を考えると分かりやすいでしょう。具体的には、物体の総数が100個で、関係者が入手できる情報によると、それぞれの物体はカラスである可能性とカラスでない可能性が等しく、また、黒色である可能性と黒色でない可能性が等しいとします。

$${\displaystyle P(Ra)={\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}}$$

そして命題${\displaystyle Ra,\ Rb}$異なるオブジェクトに対して独立している${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$などなど。すると、推定されるカラスの数は50羽、推定される黒いものの数は50個、推定される黒いカラスの数は25羽、推定される黒くないカラスの数（仮説に対する反例）は25羽となる。

一方の人が「すべてのカラスは黒い」という仮説について統計的検定（例えば、ネイマン・ピアソン検定や、蓄積された証拠の重みと閾値との比較など）を行い、もう一方の人が「すべての黒くない物体はカラスではない」という仮説を検証します。簡単にするために、検定に使用した証拠は、ここで扱っている100個の物体のコレクションとは全く関係がないと仮定します。最初の人が「すべてのカラスは黒い」という仮説を受け入れると、この議論によれば、以前は色が疑わしかった約50個の物体（カラス）は黒であると考えられ、残りの物体（カラスではないもの）については何も異なることは考えられません。したがって、彼は黒いカラスの数を50、黒いカラスではないものの数を25、黒くないカラスではないものの数を25と推定するはずです。これらの変更を明示することで、この議論は「すべてのカラスは黒い」という仮説の対象をカラスに限定しています。

一方、2人目が「黒くない物体はすべてカラスではない」という仮説を受け入れると、それぞれがカラスであるかどうかが不明確だった約50個の黒くない物体は、カラスではないとみなされる。同時に、残りの約50個の物体（黒い物体）については、何も異なることは考えられない。したがって、彼は黒いカラスの数を25、黒いカラスではない物体の数を25、黒くないカラスではない物体の数を50と推定するはずである。この議論によれば、2人は異なる仮説を受け入れた後で推定値について意見が一致しないため、「すべてのカラスは黒い」を受け入れることは、「すべての黒くないものはカラスではない」を受け入れることと等価ではない。前者を受け入れるということは、より多くのものが黒いと推定することを意味し、後者を受け入れるということは、より多くのものがカラスではないと推定することを意味する。それに対応して、前者は証拠として黒くなるカラスを必要とし、後者は証拠として黒くないものがカラスではないことを必要とする、という議論がある。^{[ 35 ]}

多くの著者が「すべての${\displaystyle A}$は${\displaystyle B}$「次のようなオブジェクトが存在すると仮定します${\displaystyle A}$^{[ 36 ]}この分析はカラスのパラドックスに適用されています。^{[ 37 ]}

...${\displaystyle H_{1}}$「カラスはすべて黒い」そして${\displaystyle H_{2}}$「黒くないものはすべてカラスではない」は、存在論的な前提が異なるため、厳密には同等ではない。さらに、${\displaystyle H_{1}}$そして${\displaystyle H_{2}}$同じ規則性（黒以外のワタリガラスが存在しない）を記述しているにもかかわらず、それらは異なる論理形式を持っている。二つの仮説は異なる意味を持ち、記述する規則性を検証するための異なる手順を採用している。

修正された論理では、前提演算子「*」を使用して存在前提を考慮に入れることができます。たとえば、

$${\displaystyle \forall \ x,\ *Rx\rightarrow Bx}$$

「すべてのカラスは黒い」という意味を表すことができ、この例ではカラスであって黒以外の物体ではないものが存在することを前提としていることを示すことができる。

...各仮説の論理形式は、推奨される支持証拠の種類に関して区別されます。各仮説の真である可能性のある置換インスタンスは、異なる種類のオブジェクトに関連しています。2つの仮説が異なる種類のテスト手順を組み込んでいるという事実は、形式言語では演算子「*」を異なる述語に接頭辞として付けることで表現されます。したがって、前提演算子は関連性演算子としても機能します。それは述語「${\displaystyle x}$カラスが${\displaystyle H_{1}}$「すべてのカラスは黒い」に組み込まれたテスト手順に関連するオブジェクトにはカラスだけが含まれるため、述語「${\displaystyle x}$黒人ではない、${\displaystyle H_{2}}$なぜなら、「黒くないものはすべてカラスではない」に組み込まれたテスト手順に関連する対象には、黒くないものだけが含まれるからである。...フレーゲの用語を用いると、前提が成り立つ限り、2 つの仮説は同じ指示対象（真理値）を持つが、意味が異なる。つまり、それらはその真理値を決定する 2 つの異なる方法を表している。^{[ 37 ]}