パンダイアゴナル魔法陣

パンダイアゴナル魔方陣またはパン魔方陣（悪魔方陣、悪魔方陣、悪魔魔方陣とも呼ばれる）は、折れた対角線、つまり正方形の端で折り返した対角線の合計も魔方陣定数になるという追加特性を持つ魔方陣です。

パンダイアゴナル魔方陣は、回転や反転だけでなく、行や列を正方形の一方の側から反対側に移動しても、パンダイアゴナル魔方陣のままです。${\displaystyle n\times n}$パンダイアゴナル魔方陣は、$8n^2$方向性。

非自明な3次パンダイアゴナル魔方陣は存在しないことが示される。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}}$

魔法定数を持つ汎対角魔法です${\displaystyle s}$合計を足す${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$⁠ ⁠${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$そして​​${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$結果として​${\displaystyle 3s}$減算​​${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$そして​​${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$⁠私たちは得る⁠${\displaystyle 3a_{22}=s}$しかし 、3列目を前に移動して同じ議論を行うと、次のようになります。${\displaystyle 3a_{21}=s}$実際、3×3魔方陣の対称性を用いると、すべてのセルは等しくなければならない。${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}$したがって、3 × 3 のパンダイアゴナル魔方陣はすべて自明でなければならない。

しかし、魔方陣の概念を数字ではなく幾何学的形状を含むように一般化すると、リー・サローズによって発見された幾何学的魔方陣のように、3×3のパンダイアゴナル魔方陣は確かに存在する。

最小の非自明なパンダイアゴナル魔方陣は 4 × 4 の正方形です。すべての 4 × 4 パンダイアゴナル魔方陣は^{[ 1 ]}の形に並進対称でなければなりません。

2 × 2の各部分正方形の合計が魔法定数に等しくなるため、4 × 4のパンダイアゴナル魔方陣は最も完全な魔方陣です。さらに、任意の3 × 3の正方形の対角にある2つの数の合計は魔法定数の半分になります。したがって、結合法則を満たすすべての4 × 4パンダイアゴナル魔方陣には、重複するセルが必ず存在します。

重複のない1～16の数字を用いた4 × 4のパンダイアゴナル魔方陣はすべて、 aを1とし、 b、c、d、eをそれぞれ1、2、4、8の順で設定し、何らかの平行移動を適用することによって得られます。例えば、b = 1、c = 2、d = 4、e = 8の場合、魔方陣は次のようになります。

重複のない 1～16 の数字を使用した 4 × 4 のパンダイアゴナル魔方陣の数は384 です (16 × 24、ここで 16 は平行移動を表し、24 は1、2、4、8 をb、c、d、eに割り当てる 4 !通りの方法を表します)。

5×5のパンダイアゴナル魔方陣は数多く存在します。4×4のパンダイアゴナル魔方陣とは異なり、これらは結合法則を満たすことができます。以下は、結合法則を満たす5×5のパンダイアゴナル魔方陣の一例です。

5×5のパンダイアゴナル魔方陣は、行、列、対角線に加えて、4つの「クインカンクス」パターンで魔方陣定数を示します。上記の例では、それらは次のようになります。

17+25+13+1+9 = 65（中央のマス目と隣接する行と列のマス目の合計）

21+7+13+19+5 = 65（中央部分と残りの行と列のマス目の合計）

4+10+13+16+22 = 65（中央のマスと対角線上に隣接するマス）

20+2+13+24+6 = 65（中心のマス目と、その対角線上の残りのマス目の合計）

これらの五角形の各要素は、行と列の巡回置換（折り返し）によって正方形内の他の位置に移動できます。パンダイアゴナル魔方陣では、この操作は魔方陣定数の等価性に影響を与えません。これにより、折れ線対角線に類似した折れ線五角形を含む、100個の五角形の和が得られます。

五点和は、行、列、対角線の和の線形結合を取ることで証明できます。パンダイアゴナル魔方陣を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}}$

魔法定数sを用いて、五点和を証明する。${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}$（上記の20+2+13+24+6 = 65の例に対応して）以下を足し合わせることができます。

対角線上の各和の3倍${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$そして${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$、

対角線和${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$、${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$、${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$、 そして${\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}$、

行の合計${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}$そして${\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}$。

この合計から、以下を差し引きます。

行の合計${\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}$そして${\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}$、

列の合計${\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}$、

各列の合計の2倍${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$そして${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$。

最終的な結果は${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$これを5で割ると、クインカンクスの和が得られます。他のクインカンクスパターンについても同様の線形結合を構築できます。${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$、${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$、 そして${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$。

次数 のパンダイアゴナル魔方陣は存在しない${\displaystyle 4n+2}$連続する整数を使用する場合。ただし、連続しない整数の特定のシーケンスは順序-(${\displaystyle 4n+2}$）パンダイアゴナル魔方陣。

1+2+3+5+6+7 = 24 という和を考えてみましょう。この和は、適切な3つの加数のグループを取ることで半分に分割でき、2つの加数のグループを取ることで3分の1に分割できます。

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

平方和をさらに均等に分割することで、以下に示す半双魔法特性が保証されます。

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 ² + 3 ² + 7 ² = 62

連続する整数の合計 1+2+3+4+5+6 = 21 は奇数であり、半分の分割が存在しないことに注意してください。

2つの等しい分割が両方とも利用可能である場合、数字1、2、3、5、6、7は、それぞれ次の式で表される6×6のパンディゴナルパターンAとBに配置できます。

それから${\displaystyle 7A+B-7C}$（Cはすべてのセルが1である魔方陣）は、連続しないパンダイアゴナル6×6の正方形を与える。

最大要素が49、パンダイアゴナル魔法定数が150の正方形です。この正方形はパンダイアゴナルかつセミバイマジックです。つまり、行、列、主対角線、および折れ線の合計が150であり、正方形内のすべての数値を2乗すると、行と列のみが魔法数となり、合計が5150になります。

10次​​の場合も同様の構成が可能であり、1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70 の等分割を用いる。

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335 (正方形の均等分割、半双魔力特性)

これにより、最大要素が169、パンダイアゴナルマジック定数が850の正方形が得られ、さらに各行または各列の平方和が102,850となるセミバイマジックとなります。

A${\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}$パンダイアゴナル魔方陣は、以下のアルゴリズムによって構築できます。

A${\displaystyle 4n\times 4n}$パンダイアゴナル魔方陣は、以下のアルゴリズムによって構築できます。

もし私たちが${\displaystyle 4n\times 4n}$このアルゴリズムでパンダイアゴナル魔法陣を作ると、${\displaystyle 2\times 2}$正方形${\displaystyle 4n\times 4n}$正方形は合計が同じになります。したがって、多くの対称パターン${\displaystyle 4n}$セルは、行と列のいずれのセルとも同じ合計値を持つ。${\displaystyle 4n\times 4n}$特に各${\displaystyle 2n\times 2}$そしてそれぞれ${\displaystyle 2\times 2n}$長方形は、どの行とどの列と同じ合計になります${\displaystyle 4n\times 4n}$正方形。${\displaystyle 4n\times 4n}$正方形は最も完璧な魔方陣でもあります。

A${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$パンダイアゴナル魔方陣は、以下のアルゴリズムによって構築できます。

• W・S・アンドリュース著『魔方陣と魔方立方』ニューヨーク：ドーバー出版、1960年。初版は1917年。特に第 10章を参照。

• Ollerenshaw, K.、Brée, D.：最も完璧なパンダイアゴナル魔方陣。IMA、サウスエンド・オン・シー（1998）

• MathWorldのPanmagic Square
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares