破線対角線

娯楽数学と魔方陣の理論において、破線対角線は正方形内で 2 本の平行な対角線を形成するn個のセルの集合です。あるいは、これらの 2 本の線は正方形の境界を囲んで 1 つのシーケンスを形成すると考えることもできます。

破線対角線の合計が行、列、対角線の合計と同じになる魔方陣を汎対角魔方陣と呼ぶ。^{[1] [2]}

画像の数字の正方形から破線で区切られた対角線の例は次のとおりです: 3,12,14,5; 10,1,7,16; 10,13,7,4; 15,8,2,9; 15,12,2,5; および 6,13,11,4。

この正方形が汎対角魔方陣であるという事実は、そのすべての破断された対角線の合計が同じ定数になることを確認することで確認できます。

3+12+14+5 = 34

10+1+7+16 = 34

10+13+7+4 = 34

破れた対角線を視覚化する 1 つの方法は、元の正方形に隣接するパンマジック スクエアの「ゴースト イメージ」を想像することです。

元の正方形を囲む破断対角線の数字のセット {3、12、14、5} は、ゴースト イメージの最初の正方形から始まり、左下に向かって移動しているのがわかります。

破断された対角線は、 3行3列の行列の行列式を求める式で使用されます。

3×3行列Aの場合、その行列式は

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}\\[3pt]&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{v行列}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\[3pt]&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$^[3]

ここで、およびは行列の破れた対角要素（の要素の積）です。 ${\displaystyle bfg,cdh,bdi,}$${\displaystyle afh}$

破断された対角線は、サイズが 3 × 3 以上のすべての行列の行列式の計算に使用されます。これは、行列のマイナーを使用して行列式を計算することで示されます。