Van der Corput 補題 (調和解析)

数学において、調和解析の分野におけるファン・デル・コルプートの補題は、オランダの数学者J. G. ファン・デル・コルプート にちなんで名付けられた振動積分の推定値です。

E.スタインは次のような結果を述べている: ^[1]

実数値関数が開区間 で滑らかであり、すべての に対してであると仮定します。、または および が に対して単調であると仮定します。すると、に依存しない定数 が存在し、 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle |\phi ^{(k)}(x)|\geq 1}$${\displaystyle x\in (a,b)}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \phi '(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\bigg |}\int _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}{\bigg |}\leq c_{k}\lambda ^{-1/k}}$

いずれの場合も。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

ファンデルコルプットの補題は、関数が以下の値を取る集合の測度 の上限を与えるサブレベル集合推定値^[2]と密接に関連しています。 ${\displaystyle \epsilon }$

実数値関数が有限または無限区間 上で滑らかであり、すべての に対してであるとします。に依存しない定数 が存在し、任意の に対して サブレベル セットの測度は によって制限されます。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle |\phi ^{(k)}(x)|\geq 1}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \epsilon \geq 0}$${\displaystyle \{x\in I:|\phi (x)|\leq \epsilon \}}$${\displaystyle c_{k}\epsilon ^{1/k}}$