オメガ方程式

オメガ方程式は、総観規模の 気象学における最終的な成果である。これは楕円偏微分方程式であり、その左辺が、大気圏の高さを測定する圧力座標において、慣例的に^[1]記号 で表される鉛直速度の推定値を生成することから、この名前が付けられている。数学的には、であり、ここで は物質導関数を表す。しかし、基礎となる概念はより一般的であり、鉛直速度が高度座標zにあるブシネスク流体方程式系にも適用できる^[2]。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega ={\frac {dp}{dt}}}$${\displaystyle {d\overdt}}$${\displaystyle w={\frac {dz}{dt}}}$

垂直風は、あらゆる種類の天候や嵐にとって極めて重要です。ゆっくりとした幅広い上昇気流であっても、対流不安定性を引き起こしたり、空気を上昇した凝結レベルまで持って行って層状の雲層を作ったりすることがあります。残念ながら、垂直方向の動きを直接予測することは困難です。地球の広く浅い対流圏の総観スケールでは、ニュートンの運動法則の垂直方向の要素は、静水力学の原始方程式で静水力学近似を受け入れることによって犠牲にされています。代わりに、垂直速度は、質量連続方程式を介して水平方向の運動法則との関連で解かなければなりません。しかし、これはさらなる困難をもたらします。なぜなら、水平方向の風は、ほぼ近似的に地衡風だからです。地衡風は単に水平方向に循環するだけで、質量連続性、ひいては垂直方向の動きとの必要な関連を提供するために水平方向に 大きく収束したり発散したりすることはありません。

準地衡オメガ方程式によって具体化された重要な洞察は、地衡風による運動量と熱の水平輸送がそのバランスを破壊する傾向があるにもかかわらず、熱風バランス（上記の静水力と地衡力のバランスの組み合わせ）は時間を通じて維持されるということです。したがって、論理的には、風の小さな非地衡成分（発散し、したがって垂直運動に関連するもの）は、地衡一次循環のバランスを維持するために二次循環として機能している必要があります。準地衡オメガは、その断熱冷却または加温効果（大気の静的安定性に基づく）が、バランスを破壊する（または不均衡を生み出す）移流の影響に対抗することで、熱風の不均衡が時間とともに拡大するのを防ぐ、仮想的な垂直運動です。厳密に言えば、QG理論は、地衡風によって与えられる移流運動量と移流速度の両方を近似します。 ${\displaystyle \omega_{QG}}$

要約すると、オメガ方程式を解くことによって得られる垂直速度は、地衡風による移流に直面して地衡と静水圧を維持するために必要な速度であると考えられる。 ^[1]

方程式は次のようになります。

ここで、はコリオリのパラメータ、は静的安定性に関連し、は地衡流速度ベクトル、は地衡流相対渦度、は地位ポテンシャル、は水平ラプラス演算子、は水平デルタ演算子です。^[3]一般的な気象アプリケーション^[4]でのその符号と意味は次のとおりです。上昇運動は、問題のレベルより上の正の渦度移流(最初の項) と、暖かい移流 (2 番目の項) によって生成されます。${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbf {V} _{\text{g}}}$${\displaystyle \zeta _{\text{g}}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \nabla_{\text{H}}^{2}}$${\displaystyle \nabla_{\text{H}}}$

この式の導出は、渦度方程式の垂直成分と熱力学方程式に基づいています。摩擦のない大気の垂直渦度方程式は、圧力を垂直座標として使用して次のように表すことができます。 ${\displaystyle \omega}$

ここで、相対渦度は水平風速ベクトルで、方向の成分はそれぞれとであり、絶対渦度はコリオリパラメータ、圧力の物質微分、単位垂直ベクトル、等圧Del（grad）演算子、渦度の垂直移流であり、水平渦度から垂直渦度への「傾斜」項または変換を表します。^[5]${\displaystyle \xi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \xi +f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \omega ={\frac {dp}{dt}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\hat {k}}}$${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle \left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)}$${\displaystyle {\hat {k}}\cdot \nabla \omega \times {\frac {\partial V}{\partial p}}}$

熱力学方程式は次のように表すことができます。

ここで、 は加熱率（単位時間と単位質量あたりのエネルギー供給）、は乾燥空気の比熱、は乾燥空気の気体定数、は温位、 は地電位です。 ${\displaystyle k\equiv \left({\frac {\partial Z}{\partial p}}\right){\frac {\partial }{\partial p}}\ln \theta }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle C_{\text{p}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle (gZ)}$

式（１）は、式（２）と式（３ ）の両方をジオポテンシャルZで表し、熱風の不均衡は時間経過に伴って小さい、すなわちd/dt(不均衡) = 0という物理的仮定に基づいて時間微分を除去することによって得られる。第１ステップでは、相対渦度を地衡渦度として近似する必要がある。 ${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \xi ={\frac {g}{f}}\nabla ^{2}Z}$$

（ ２ ）の最後の「傾斜」項を直交座標に展開すると（すぐに無視しますが）、渦度方程式は次のようになります。

（4）をについて微分すると次のようになる。 ${\displaystyle p}$

（3） のラプラシアン（）を取ると次のようになる。${\displaystyle \nabla ^{2}}$

( 5 )をg / f ×( 6 )に加え、を代入し、水平移流を地衡流移流で近似すると（ヤコビ行列式を使用）、次の式が得られる。 ${\displaystyle gk=\sigma }$

式( 7 )は に対する診断的線形微分方程式となり、と の2つの項に分割することができる。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

そして

ここで、は式( 8 )の流れに依存する移流傾向すべてに起因する鉛直速度であり、は非断熱加熱による鉛直速度であり、これには凝縮潜熱、顕熱フラックス、放射加熱などが含まれる(Singh & Rathor, 1974)。水平方向の移流速度はすべて地衡風の値に置き換えられており、地衡風はほぼ非発散であるため、鉛直移流項を無視することは準地衡風セットの一貫したさらなる仮定であり、式( 7 - 8 )の角括弧内の項のみが( 1 ) に代入される。${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

断熱 方程式（1 ）は、気象学者や気象予報士が総観図上で上昇運動が発生する場所を予測するために使用されています。正弦波または波のような運動の場合、ラプラシアン演算子は単純に負の符号として機能し、^[4]方程式の意味は効果の符号を示す言葉で表現できます。上昇運動は、高度とともに増加する正の渦度移流（略してPVA）と、暖かい空気の移流（略してWAA）によって駆動されます。この線形方程式では、逆の符号の場合は論理的に逆になります。 ${\displaystyle \omega _{QG}}$

断熱移流の不均衡効果が上向きの動きを引き起こすように作用している場所では（式1の）、地衡風場の慣性（つまり、前進しようとする傾向）により、熱風のバランスが維持されるように厚さを減少させる必要が生じます。たとえば、問題のレベルより上に上層のサイクロンまたはトラフが近づいている場合、式1の最初の項に起因するの部分は、下降する高さの下で高度測定的に必要とされる、ますます冷たい気柱を作成するために必要な上向きの動きです。この断熱的推論は、潜熱放出などの流れ依存加熱からのフィードバックの評価によって補完されなければなりません。空気が冷えるにつれて潜熱が放出される場合、必要な冷たいコアを依然として作成するために、式（ 9 ）に基づいてその効果を打ち消す追加の上向きの動きが必要になります。このようなフィードバックを考える別の方法は、飽和空気中の有効静的安定性が不飽和空気中よりも小さいと考えることですが、この考え方の複雑さは、対流によって媒介される潜熱が、冷却によってその形成が引き起こされる高度に対して垂直方向に局所的である必要はないことです。このため、式(9)のように別のQ項を保持することは有用なアプローチです。^[6]${\displaystyle \omega _{QG}<0}$${\displaystyle {\frac {-\partial Z}{\partial p}}}$${\displaystyle \omega _{QG}}$${\displaystyle \omega _{QG}}$

• アメリカ気象学会の定義