開口数

光学において、光学系の開口数( NA ) は、システムが光を受け取ったり放出したりできる角度の範囲を表す無次元数です。定義に屈折率を組み込むことにより、 NA は、界面に屈折力がない場合、ある材料から別の材料に進むビームに対して一定であるという特性を持ちます。この用語の正確な定義は、光学の分野によって若干異なります。開口数は、顕微鏡検査では対物レンズの受容円錐(したがって、その集光能力と解像度) を表すためによく使用され、光ファイバーでは、光ファイバーに入射する光が光ファイバーに沿って伝送される角度の範囲を表すために使用されます。

光学のほとんどの分野、特に顕微鏡では、対物レンズなどの光学系の開口数は次のように定義されます。

$${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta ,}$$

ここで、nはレンズが作用する媒体の屈折率（空気の場合は 1.00 、純水の場合は 1.33 、液浸油の場合は通常 1.52 ; ^[1]屈折率の一覧も参照）、θはレンズに出入りできる最大光線円錐の半角です。一般に、これはシステム内の実際の周辺光線の角度です。屈折率が含まれているため、光線束のNA は、光線束が平坦な表面を通ってある物質から別の物質に渡るときに不変です。これは、スネルの法則を変形して、 n sin θ が界面全体で一定であることを見れば簡単に示されます。

空気中では、レンズの開口角はこの値の約 2 倍になります (近軸近似の範囲内)。NAは通常、特定の物体または像点を基準に測定され、その点が移動すると変化します。顕微鏡では、特に断りがない限り、 NA は通常、物体空間の開口数を指します。

顕微鏡では、NAはレンズの解像力を示すため重要です。解像できる最も細かい部分の大きさ（解像度）は、に比例します。λ/2NA⁠、ここでλ は光の波長です。開口数が大きいレンズは、開口数が小さいレンズよりも細かい部分を視覚化できます。高品質 (回折限界) の光学系を前提とすると、開口数が大きいレンズはより多くの光を集め、一般的に明るい画像を提供しますが、被写界深度は浅くなります。

開口数は光ディスクフォーマットの「ピットサイズ」を定義するために使用されます。^[2]

対物レンズの倍率と開口数を大きくすると、作動距離、つまり前面レンズと標本間の距離が短くなります。

写真撮影では、通常、開口数は使用されません。代わりに、レンズ（または結像ミラー）の開口角は、 f値で表され、次のように表記されます。いいえ​​ここで、Nは焦点距離 fと入射瞳 径Dの比で与えられるf値です。

$${\displaystyle N={\frac {f}{D}}.}$$

この比率は、レンズが無限遠に焦点を合わせたときの像空間開口数と関係している。^[3] 右の図に基づくと、レンズの像空間開口数は次のようになる。

$${\displaystyle {\text{NA}}_{\text{i}}=n\sin \theta =n\sin \left[\arctan \left({\frac {D}{2f}}\right)\right]\approx n{\frac {D}{2f}},}$$

したがってN ≈ ⁠1/2NA _i⁠、空気中での通常の使用を想定（ n = 1）。

この近似は開口数が小さいときに成立するが、カメラレンズなどの十分に補正された光学系では、より詳細な分析により、開口数が大きい場合でもNはほぼ1/(2NA _i )に等しいことがわかった。ルドルフ・キングスレイクは次のように説明している。「比率 [ D /2 f ] が実際にはsin θではなくtan θに等しいと想定するのはよくある誤りである...主面が実際に平面であれば、もちろん接線は正しいだろう。しかし、アッベの正弦条件の完全な理論によれば、すべての優れた写真用対物レンズがそうであるように、レンズがコマ収差と球面収差に対して補正されている場合、第 2 主面は焦点を中心とする半径fの球の一部になる」。 ^[4]この意味で、従来の薄型レンズの定義と f 値の説明は誤解を招きやすく、開口数で定義する方が意味があるかもしれない。

F 値は、物体側の周辺光線がレンズの軸と平行である場合のレンズの集光能力を表します。このケースは写真撮影でよく見られ、撮影される物体はカメラから遠いことが多いです。ただし、物体がレンズから遠くない場合は、画像はレンズの焦点面に形成されなくなり、F 値はレンズの集光能力または画像側の開口数を正確に表さなくなります。この場合、開口数は「実効 F 値」または「有効 F 値」と呼ばれるものと関連しています。

実効 f 値は、物体から像までの倍率を考慮して上記の関係を修正することによって定義されます。

$${\displaystyle {\frac {1}{2{\text{NA}}_{\text{i}}}}=N_{\text{w}}=\left(1-{\frac {m}{P}}\right)N,}$$

ここで、N _wは実効 f 値、m は特定の距離にある物体に対するレンズの倍率、 Pは瞳倍率、NA は前述のように周辺光線の角度で定義されます。^{[3] [5]} ここでの倍率は通常負で、瞳倍率はほとんどの場合 1 と想定されます。Allen R. Greenleaf は次のように説明しています。「照度は、レンズの射出瞳とプレートまたはフィルムの位置との間の距離の 2 乗に反比例して変化します。射出瞳の位置は通常、レンズのユーザーにはわからないため、代わりに後側共役焦点距離が使用されます。その結果生じる理論上の誤差は、ほとんどのタイプの写真レンズでは重要ではありません。」^[6]

写真撮影では、この係数は1 + mと表記されることがあります。ここで、 m は倍率の絶対値を表します。いずれの場合も、補正係数は 1 以上です。上記の式の 2 つの等式は、引用元が示すように、さまざまな著者によってそれぞれ実効 f 値の定義として採用されています。どちらも必ずしも正確ではありませんが、正確であるかのように扱われることがよくあります。

逆に、物体側の開口数は、倍率（遠い物体の場合はゼロに近づく）を介して F 値と関連しています。

$${\displaystyle {\frac {1}{2{\text{NA}}_{\text{o}}}}={\frac {mP}{mP}}N.}$$

レーザー物理学では、開口数の定義が若干異なります。レーザービームは伝播するにつれて広がりますが、その速度は遅いです。ビームの最も狭い部分から遠く離れたところでは、広がりは距離とほぼ直線的になります。つまり、レーザービームは「遠距離場」で光の円錐を形成します。レーザービームのNA を定義するために使用される関係は、光学システムに使用される関係と同じです。

$${\displaystyle {\text{NA}}=n\sin \theta ,}$$

しかし、θ は別の方法で定義されます。レーザー ビームは、通常、レンズの開口部を通過する光の円錐のような鋭いエッジを持ちません。代わりに、放射照度はビームの中心から離れるにつれて徐々に低下します。ビームがガウスプロファイルを持つことは非常に一般的です。レーザー物理学者は通常、θ をビームの発散角とします。これは、ビーム軸と、放射照度が軸上放射照度のe ⁻²倍に低下する軸からの距離との間の遠方視野角です。ガウス レーザー ビームのNA は、最小スポット サイズ (「ビーム ウェスト」) と次のように関連しています。

$${\displaystyle {\text{NA}}\simeq {\frac {\lambda _{0}}{\pi w_{0}}},}$$

ここで、λ ₀は光の真空波長、 2 w _{0 は}e ⁻²放射照度点間で測定されたビームの最も狭いスポットでの直径です(「強度のe ⁻²最大値での全幅」)。これは、小さなスポットに焦点を合わせたレーザー ビームは焦点から離れるにつれて急速に広がるのに対し、直径の大きいレーザー ビームは非常に長い距離にわたってほぼ同じサイズを維持できることを意味します。ガウス ビーム幅も参照してください。

マルチモード光ファイバーは、ファイバーの受容円錐と呼ばれる特定の角度範囲内でファイバーに入る光のみを伝播します。この円錐の半角は受容角、θ _maxと呼ばれます。特定の媒体内のステップインデックスマルチモードファイバーの場合、受容角はコア、クラッド、媒体の屈折率によってのみ決まります。ここ で、nはファイバー周囲の媒体の屈折率、 n _{core は}ファイバーコアの屈折率、n _{clad は}クラッドの屈折率です。コアはより高い角度で光を受け入れますが、それらの光線はコアとクラッドの境界面で完全に反射しないため、ファイバーのもう一方の端には伝送されません。この式の導出を以下に示します。 $${\displaystyle n\sin \theta _{\max }={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$$

光線が屈折率 nの媒質から屈折率nの_コアに最大受容角で入射する場合、媒質とコアの界面における スネルの法則は次のように表される。$${\displaystyle n\sin \theta _{\max}=n_{\text{core}}\sin \theta _{r}.\ }$$

上図の幾何学から次のことがわかります。 $${\displaystyle \sin \theta _{r}=\sin \left({90^{\circ }}-\theta _{c}\right)=\cos \theta _{c}}$$

どこ $${\displaystyle \theta _{c}=\arcsin {\frac {n_{\text{クラッド}}}{n_{\text{コア}}}}}$$

は全反射の臨界角です。

スネルの法則で sin θ _{r を}cos θ _cに置き換えると次のようになります。$${\displaystyle {\frac {n}{n_{\text{core}}}}\sin \theta _{\max }=\cos \theta _{c}.}$$

両辺を二乗すると $${\displaystyle {\frac {n^{2}}{n_{\text{core}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{\max }=\cos ^{2}\theta _{c}=1-\sin ^{2}\theta _{c}=1-{\frac {n_{\text{clad}}^{2}}{n_{\text{core}}^{2}}}.}$$

解くと、上記の式が得られます。

$${\displaystyle n\sin \theta _{\max }={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$$

これは他の光学システムの開口数と同じ形をしており、あらゆるタイプのファイバーのNAを次のように 定義することが一般的になっています。$${\displaystyle \mathrm {NA} ={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$$

ここで、n _{core は}ファイバーの中心軸に沿った屈折率です。この定義を使用すると、ファイバーの開口数と受光角の関係は近似値に過ぎないことに注意してください。特に、このように定義された「NA 」はシングルモードファイバーには関係ありません。^{[7] [8]}屈折率のみに基づいてシングルモードファイバーの受光角を定義することはできません。

結合モードの数、つまりモード体積は、正規化された周波数、つまり開口数に 関係します。

マルチモード ファイバーでは、平衡開口数という用語が使用されることがあります。これは、平衡モード分布が確立された ファイバーから出る光線の極限出口角度に対する開口数を指します。

• f値
• 打ち上げ開口数
• 誘導光線、光ファイバーのコンテキスト
• 受光角（太陽光集光器）、その他のコンテキスト

•  この記事には、連邦規格 1037Cのパブリック ドメイン マテリアルが組み込まれています。一般調達局。2022 年 1 月 22 日にオリジナルからアーカイブされました。( MIL-STD-188 をサポート)。

• 「顕微鏡の対物レンズ: 開口数と解像度」、Mortimer Abramowitz および Michael W. Davidson 著、分子表現: 光学顕微鏡入門(Web サイト)、フロリダ州立大学、2004 年 4 月 22 日。
• 「顕微鏡検査の基本概念と公式: 開口数」、Michael W. Davidson 著、Nikon MicroscopyU (ウェブサイト)。
• 「開口数」、レーザー物理と技術百科事典(ウェブサイト)。
• 「開口数と解像度」、UCLA脳研究所顕微鏡コア施設(ウェブサイト)、2007 年。