お茶を味わう女性

統計学における実験計画法において、お茶を味わう女性はロナルド・フィッシャーが考案したランダム化実験であり、彼の著書『実験計画法』（1935年）で報告されている。^{[1]この実験は、フィッシャーの}帰無仮説の概念を初めて提示したもので、「決して証明も確立もされないが、実験の過程で反証される可能性がある」ものである。^{[2] [3]}

この例は、フィッシャーの人生におけるある出来事に基づいています。問題の女性、心理学者の ミュリエル・ブリストルは、カップに最初に紅茶とミルクのどちらを入れたかがわかると主張しました。彼女の将来の夫ウィリアム・ローチは、フィッシャーに、紅茶とミルクのどちらを先にカップに入れたかがわかるカップを8杯、それぞれ4杯ずつ、ランダムな順番で渡すよう提案しました。^[4]すると、彼女が特定した特定の数のカップ（実際には8杯すべて）を正しく当てる確率はどれくらいか、という疑問が湧きますが、それは単なる偶然です。

フィッシャーの説明は10ページ未満の長さで、用語、計算、実験設計に関する簡潔さと完全性で注目に値します。^[5]使用された検定はフィッシャーの正確検定でした。

この実験では、被験者にランダムに並べられた 8 杯のお茶が提供されます。4 杯はミルクを注いだ後お茶を、4 杯はお茶を注いだ後ミルクを注いだ後です。被験者はいずれかの方法で入れた 4 杯を選択し、必要に応じて直接比較することができます。実験で採用された方法は、被験者に完全に開示されます。

帰無仮説は、被験者にはお茶を区別する能力がないというものである。フィッシャーのアプローチでは、ネイマン・ピアソンのアプローチとは異なり、対立仮説はなかった^[2]。

検定統計量は、特定の方法で準備された 4 つのカップを選択する試行の成功回数を単純に数えたものです。帰無仮説が真であると仮定した場合の成功回数の分布は、組み合わせの数を使用して計算できます。合計カップ数と選択されたカップ数の組み合わせ式を使用すると、可能な組み合わせが存在します 。 ${\displaystyle n=8}$${\displaystyle k=4}$$${\displaystyle {\binom {8}{4}}={\frac {8!}{4!(8-4)!}}=70}$$

この表の最後の列に示されている成功の可能性のある数の頻度は、次のようにして導き出されます。成功が 0 の場合、この結果をもたらす 4 つの選択肢のセットは 1 つだけであることは明らかです (つまり、4 つの間違ったカップをすべて選択する)。成功が 1 回で失敗が 3 回の場合、正しいカップが 4 つあり、そのうち 1 つが選択されますが、これは組み合わせ式によりさまざまな方法で発生する可能性があります (列 2 に示すように、x は選択された正しいカップを示し、o は選択されていない正しいカップを示します)。また、それとは関係なく、間違ったカップが 4 つあり、そのうち 3 つが選択されますが、これはさまざまな方法で発生する可能性があります (2 番目の列に示すように、今回はx が選択されていない間違ったカップと解釈され、o は選択された間違ったカップを示します)。したがって、正しいカップ 1 つと間違ったカップ 3 つを選択することは、4×4 = 16 通りのいずれかで発生する可能性があります。その他の成功の可能性のある数の頻度は、それに応じて計算されます。したがって、成功数は超幾何分布に従って分布します。具体的には、成功の数に等しいランダム変数の場合、 と書くことができます。ここで、 は母集団のサイズまたはお茶の合計数、は母集団内の成功状態の数またはいずれかのタイプの 4 杯、 は抽選の数または 4 杯です。2k 個の利用可能な選択肢からk 個の選択を行う組み合わせの分布は、パスカルの三角形のk番目の行に対応し、行の各整数が 2 乗されます。この場合、8 個の利用可能なティーカップから 4 個のティーカップが選択されるためです。 ${\textstyle {\binom {4}{1}}=4}$${\textstyle {\binom {4}{3}}=4}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\sim \operatorname {超幾何} (N=8,K=4,n=4)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k=4}$

識別能力なしの帰無仮説を棄却するための臨界領域は、従来の確率基準 < 5% に基づくと、4 つの可能性のうち 4 つの成功という単一のケースでした。これが臨界領域である理由は、識別能力なしの帰無仮説では、4 つの成功は 70 回のうち 1 回 (≈ 1.4% < 5%) 発生する可能性があるのに対し、4 つの成功のうち少なくとも 3 回は (16+1)/70 (≈ 24.3% > 5%) の確率であるためです。

したがって、女性が 8 つのカップすべてを適切に分類した場合のみ、フィッシャーは帰無仮説を棄却する意思があり、実質的に 1.4% の有意水準で女性の能力を認めたことになります (ただし、女性の能力を定量化してはいません)。フィッシャーは後に、より多くの試行と繰り返しのテストの利点について論じました。

デイヴィッド・サルズバーグは、フィッシャーの同僚であるH・フェアフィールド・スミスが、実際の実験で女性が8つのカップすべてを正しく特定することに成功したことを明らかにしたと報告している。^{[6] [7]} 女性が、いずれかの4つには最初に紅茶を入れ、他の4つにはミルクを入れたと推測した場合、推測だけですべて正解する確率は、わずか70分の1（8つの組み合わせを4つずつ取る）である。

デイヴィッド・サルズバーグは『お茶を味わう女性』^[6]と題した科学書を出版し、フィッシャーの実験とランダム化に関する考えを解説している。デブ・バスーは「有名な『お茶を味わう女性』の事例」は「実験データのランダム化分析の2本の柱のうちの1本」であると書いている^{[8] 。}

• 順列テスト
• ランダム割り当て
• ランダム化テスト
• 二項分布