非負行列分解

非負値行列因数分解（NMFまたはNNMF）、または非負値行列近似^{[1] [2]は、}多変量解析と線型代数のアルゴリズムのグループであり、行列Vを（通常は）2つの行列WとHに因数分解し、3つの行列すべてに負の要素がないという特性を持つ。この非負性により、結果の行列の検査が容易になる。また、オーディオスペクトログラムや筋肉活動の処理などのアプリケーションでは、非負性は対象データに固有のものである。この問題は一般に正確に解決できないため、数値的に近似するのが一般的である。

NMFは、天文学、^{[3] [4]} コンピュータービジョン、文書クラスタリング、^[1] 欠損データ補完、^[5] ケモメトリクス、音声信号処理、レコメンデーションシステム、^{[6] [7]}バイオインフォマティクスなどの分野で応用されています。^[8]

ケモメトリクスにおいて、非負行列因数分解は「自己モデリング曲線分解」という名前で長い歴史を持っています。^[9] このフレームワークでは、右行列のベクトルは離散ベクトルではなく連続曲線です。また、非負行列因数分解に関する初期の研究は、1990年代にフィンランドの研究者グループによって正行列因数分解という名前で行われました。^{[10] [11] [12]} LeeとSeungがアルゴリズムの特性を調査し、2種類の因数分解のためのいくつかのシンプルで便利なアルゴリズムを発表した後、非負行列因数分解 としてより広く知られるようになりました。^{[13] [14]}

行列Vを行列Wと行列Hの積とすると、

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {W} \mathbf {H} \,.}$

行列の乗算は、 Hの列によって提供される係数を使用して、 Wの列ベクトルの線形結合としてVの列ベクトルを計算することで実装できます。つまり、Vの各列は次のように計算できます。

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {W} \mathbf {h} _{i}\,,}$

ここで、v _{i は}積行列V のi番目の列ベクトルであり、h _{i は}行列Hのi番目の列ベクトルです。

行列を乗算する場合、因子行列の次元は積行列の次元よりも大幅に小さくなることがあります。この特性が NMF の基礎となります。NMF は、元の行列に比べて次元が大幅に削減された因子を生成します。たとえば、Vがm × n行列、Wがm × p行列、Hがp × n行列の場合、p はmとn の両方よりも大幅に小さくなる可能性があります。

以下はテキストマイニング アプリケーションに基づく例です。

• 入力行列 (因数分解される行列) を10000 行 500 列のVとします。行には単語、列にはドキュメントが含まれます。つまり、10000 語でインデックス付けされた 500 個のドキュメントがあることになります。したがって、Vの列ベクトルvはドキュメントを表します。
• 10000 行と 10 列の特徴行列 Wと10 行と 500 列の係数行列 H を生成するために、アルゴリズムに 10 個の特徴を見つけるように要求するとします。
• WとHの積は10000 行 500 列の行列で、入力行列Vと同じ形状であり、因数分解が成功すれば、入力行列Vの妥当な近似値になります。
• 上記の行列乗算の処理から、積行列WHの各列は、係数行列Hによって提供される係数を持つ特徴行列Wの 10 個の列ベクトルの線形結合であることがわかります。

この最後のポイントは NMF の基礎です。なぜなら、この例の各オリジナル ドキュメントは、小さな一連の隠れた特徴から構築されていると見なすことができるからです。NMF はこれらの特徴を生成します。

特徴マトリックスW内の各特徴 (列ベクトル) を、単語のセットから構成されるドキュメント アーキタイプとして考えると便利です。各単語のセルの値は、特徴における単語のランクを定義します。つまり、単語のセルの値が高いほど、特徴における単語のランクが高くなります。係数マトリックスH内の列は、特徴に対するドキュメントのランクを定義するセル値を持つ元のドキュメントを表します。これで、特徴 ( W内の列ベクトル) の線形結合によって入力マトリックスからドキュメント (列ベクトル) を再構築できます。各特徴は、 H内のドキュメントの列の特徴のセルの値によって重み付けされます。

NMFは固有のクラスタリング特性を持ち、^[15]入力データの列を自動的にクラスタリングします。 ${\displaystyle \mathbf {V} =(v_{1},\dots ,v_{n})}$

より具体的には、 によるの近似は、誤差関数を最小化するおよびを見つけることによって達成される（フロベニウスノルムを使用） ${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {V} \simeq \mathbf {W} \mathbf {H} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \left\|V-WH\right\|_{F},}$以下に従う、 ${\displaystyle W\geq 0,H\geq 0.}$

さらに直交性制約を課すと、つまり、上記の最小化はK平均法クラスタリングの最小化と数学的に同等になります。^[15]${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} \mathbf {H} ^{T}=I}$

さらに、計算された値はクラスターのメンバーシップを示します。つまり、すべてのi ≠ kについて、入力データが- 番目のクラスターに属していることを示します。計算された値はクラスターの重心を示します。つまり、- 番目の列は - 番目のクラスターのクラスター重心を示します。この重心の表現は、凸 NMF によって大幅に強化できます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbf {H} _{kj}>\mathbf {H} _{ij}}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

直交性制約が明示的に課されていない場合、直交性は大部分保持され、クラスタリング特性も保持されます。 ${\displaystyle \mathbf {H} \mathbf {H} ^{T}=I}$

使用される誤差関数がカルバック・ライブラー・ダイバージェンスである場合、NMFは一般的な文書クラスタリング手法である確率的潜在意味解析（PLSA）と同一である。 ^[16]

通常、NMF のWの列数とHの行数は、積WH がVの近似値になるように選択されます。Vを完全に分解すると、2 つの非負行列WとH 、および残差Uが生成され、次の式が成立します: V = WH + U。残差行列の要素は、負または正のいずれかになります。

WとHがVより小さい場合、保存と操作が簡単になります。Vをより小さな行列WとHに因数分解するもう 1 つの理由は、 Vの要素を大幅に少ないデータで近似的に表すことが目的である場合、データ内の潜在的な構造を推測する必要があるためです。

標準的なNMFでは、行列因子W∈R ₊ ^{m × k}、つまりWはその空間内の任意の値をとる。凸NMF ^[17]は、Wの列を入力データベクトルの凸結合に制限する。これにより、 Wのデータ表現の品質が大幅に向上する。さらに、結果として得られる行列因子Hはよりスパースかつ直交する。 ${\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})}$

Vの非負ランクが実際のランクに等しい場合、 V = WH は非負ランク因数分解（NRF）と呼ばれる。^{[18] [19] [20]} VのNRFが存在する場合、それを見つける問題はNP困難であることが知られている。^[21]

非負行列分解には様々な種類があります。これらの異なる種類は、VとWHの乖離を測定するために異なるコスト関数を使用することと、W行列やH行列の正規化によって生じます。^[1]

Lee と Seung が研究した 2 つの単純なダイバージェンス関数は、二乗誤差 (またはフロベニウス ノルム) と、カルバック ライブラー ダイバージェンスの正の行列への拡張です (元のカルバック ライブラー ダイバージェンスは確率分布で定義されます)。各ダイバージェンスは異なる NMF アルゴリズムにつながり、通常は反復更新ルールを使用してダイバージェンスを最小化します。

NMFの二乗誤差バージョンにおける因数分解問題は次のように表現できる。行列が与えられたとき、関数を最小化する非負行列WとHを求める。 ${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle F(\mathbf {W} ,\mathbf {H} )=\left\|\mathbf {V} -\mathbf {WH} \right\|_{F}^{2}}$

画像に対するNMFのもう一つのタイプは、総変動ノルムに基づいています。^[22]

L1正則化（ Lassoに類似）を平均二乗誤差コスト関数を持つNMFに追加すると、結果として生じる問題はスパース符号化問題との類似性から非負スパース符号化と呼ばれることがあるが、^{[23] [24]} 、依然としてNMFと呼ばれることもある。^[25]

多くの標準的なNMFアルゴリズムは、すべてのデータをまとめて分析します。つまり、最初から行列全体が利用可能です。これは、メモリに収まらないほど多くのデータがある場合や、データがストリーミング形式で提供されるアプリケーションでは不十分な場合があります。そのような用途の1つは、推奨システムでの協調フィルタリングです。推奨するユーザーやアイテムの数が多く、1人のユーザーまたは1つのアイテムがシステムに追加されるたびにすべてを再計算するのは非効率的です。これらの場合の最適化のコスト関数は、標準的なNMFと同じ場合もそうでない場合もありますが、アルゴリズムはかなり異なる必要があります。^{[26] [27]}

Vの列が時間信号、画像、ビデオなどの空間次元または時間次元でサンプリングされたデータを表す場合、これらの次元に沿ったシフトに対して等価な特徴は畳み込みNMFによって学習できます。この場合、W はスパースであり、列にはVの時空間次元に沿ったシフト全体で共有されるローカルな非ゼロ重みウィンドウがあり、畳み込みカーネルを表します。 Hの時空間プーリングと、結果の表現を畳み込みNMFへの入力として繰り返し使用することで、深い特徴階層を学習できます。^[28]

WとHを見つける方法はいくつかある。LeeとSeungの乗法更新規則^[14]は実装が簡単なため、よく使われる方法である。このアルゴリズムは以下の通りである。

初期化: WとH は負ではありません。

次に、反復のインデックスとして以下を計算して、WとHの値を更新します。${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{[i,j]}^{n+1}\leftarrow \mathbf {H} _{[i,j]}^{n}{\frac {((\mathbf {W} ^{n})^{T}\mathbf {V} )_{[i,j]}}{((\mathbf {W} ^{n})^{T}\mathbf {W} ^{n}\mathbf {H} ^{n})_{[i,j]}}}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {W} _{[i,j]}^{n+1}\leftarrow \mathbf {W} _{[i,j]}^{n}{\frac {(\mathbf {V} (\mathbf {H} ^{n+1})^{T})_{[i,j]}}{(\mathbf {W} ^{n}\mathbf {H} ^{n+1}(\mathbf {H} ^{n+1})^{T})_{[i,j]}}}}$

WとHが安定するまで。

更新は行列の乗算ではなく要素ごとに行われることに注意してください。

WとHの乗法係数、つまり項と項は、の場合には1 の行列になることに注意してください。 ${\textstyle {\frac {\mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {V} }{\mathbf {W} ^{\mathsf {T}}\mathbf {W} \mathbf {H} }}}$${\textstyle {\textstyle {\frac {\mathbf {V} \mathbf {H} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {W} \mathbf {H} \mathbf {H} ^{\mathsf {T}}}}}}$${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {W} \mathbf {H} }$

最近では、他のアルゴリズムも開発されている。いくつかのアプローチは、交互非負最小二乗法に基づいている。このようなアルゴリズムの各ステップでは、最初にHが固定され、非負最小二乗ソルバーによってW が求められ、次にWが固定され、同様にH が求められる。WとH を解くために使用される手順は同じである場合もあれば^[29]、異なる場合もある。これは、一部の NMF バリアントがWとHの^{いずれかを正規化するからである[23]}。具体的なアプローチとしては、投影勾配降下法^{[29] [30]}、アクティブセット法[ 6 ^{] [31]}、最適勾配法^[32]、ブロック主ピボット法^[33]などがある。^[34]

現在のアルゴリズムは、コスト関数のグローバル最小値ではなく、ローカル最小値を見つけることしか保証しないという点で、最適ではありません。この問題は、NP完全であることが知られているk平均法クラスタリング問題を一般化することが示されているため、近い将来に証明可能な最適なアルゴリズムが登場する可能性は低いです。^[35]しかし、他の多くのデータマイニングアプリケーションと同様に、ローカル最小値は依然として有用であることが証明される可能性があります。

最適化ステップに加えて、初期化もNMFに大きな影響を与えます。WとHに選択された初期値は、収束率だけでなく、収束時の全体的な誤差にも影響を与える可能性があります。初期化のオプションには、完全ランダム化、SVD、k平均法クラスタリング、およびこれらやその他のパラダイムに基づくより高度な戦略が含まれます。^[36]

NMF成分（ WとH ）の順次構築は、天文学における主成分分析（PCA）とNMFを関連付けるために最初に使用されました。 ^[37] PCA成分からの寄与は、対応する固有値の大きさによってランク付けされます。NMFの場合、成分は1つずつ（順次）構築されるときに経験的にランク付けできます。つまり、最初に構築された成分で番目の成分を学習します。 ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$

シーケンシャルNMF成分の寄与は、固有値のプロットを使用して、PCAの応用であるカルーネン・レーヴの定理と比較することができます。PCAでの成分数の典型的な選択は、「エルボー」ポイントに基づいています。次に、平坦なプラトーの存在は、PCAがデータを効率的にキャプチャしていないことを示し、最後にランダムノイズのキャプチャを反映した突然の低下があり、過剰適合の領域に陥ります。^{[38] [39]}シーケンシャルNMFの場合、固有値のプロットは、分数残差分散曲線のプロットによって近似されます。曲線は連続的に減少し、PCAよりも高いレベルに収束します。^[4]これは、シーケンシャルNMFの過剰適合が少ないことを示しています。

NMF のバリアントの正確な解は、行列Vに追加の制約が成り立つ場合に（多項式時間で）期待できます。 Vにそのランクに等しいランクの単項式サブ行列が含まれている場合の非負ランク因数分解を解く多項式時間アルゴリズムは、 1981 年に Campbell と Poole によって与えられました。 ^[40] Kalofolias と Gallopoulos (2012) ^{[41] は}、この問題の対称対応を解きました。ここで、V は対称であり、ランク r の対角主サブ行列が含まれています。彼らのアルゴリズムは、密なケースでO(rm ² )時間で実行されます。Arora、Ge、Halpern、Mimno、Moitra、Sontag、Wu、および Zhu (2013) は、因子 W の 1 つが分離条件を満たす場合に機能する正確な NMF の多項式時間アルゴリズムを示しています。^[42]

LeeとSeung ^[43]は、非負行列因子分解による物体のパーツの学習において、主に画像の部分ベース分解のためのNMFを提案した。NMFをベクトル量子化や主成分分析と比較し、3つの手法は因子分解として記述できるものの、異なる制約を実装し、したがって異なる結果を生成することが示された。

その後、NMFのいくつかのタイプは、「多項式PCA」と呼ばれるより一般的な確率モデルの例であることが示されました。^[44] Kullback-Leiblerダイバージェンスを 最小化することによってNMFが得られる場合、それは実際には最大尤度推定 によって訓練された多項式PCAの別の例である確率的潜在意味解析^[45]と同等です。この方法は、テキストデータの分析とクラスタリングによく使用され、潜在クラスモデルにも関連しています。

最小二乗目的のNMFは、緩和された形式のK平均クラスタリングと同等です。行列因子Wにはクラスターの重心が含まれ、Hにはクラスターメンバーシップ指標が含まれます。^{[15] [46]} これは、データクラスタリングにNMFを使用するための理論的基礎を提供します。ただし、k平均法では重心に非負性を強制しないため、最も近い類似点は実際には「セミNMF」です。^[17]

NMFは、観測されたランダム変数の層と隠れたランダム変数の層を持つ2層の有向グラフィカルモデルとして考えることができます。 ^[47]

NMFは行列を超えて任意の順序のテンソルにまで拡張されます。^{[48] [49] [50]この拡張は、例えば}PARAFACモデルの非負対応物として見ることができます。

NMFの他の拡張には、いくつかの因子が共有される複数のデータ行列とテンソルの結合分解が含まれます。このようなモデルはセンサーフュージョンや関係学習に役立ちます。^[51]

NMFはサポートベクターマシン（SVM）と同様に非負2次計画法の一例である。しかし、SVMとNMFはNQPよりも密接なレベルで関連しており、2つの方法のいずれかで開発されたソリューションアルゴリズムを両方の領域の問題に直接適用することができる。^[52]

因数分解は一意ではない。行列とその逆行列は、例えば次のように2つの因数分解行列を変換するために使用できる。^[53]

${\displaystyle \mathbf {WH} =\mathbf {WBB} ^{-1}\mathbf {H} }$

2 つの新しい行列が非負の場合、それらは因数分解の別のパラメーター化を形成します。 ${\displaystyle \mathbf {{\tilde {W}}=WB} }$${\displaystyle \mathbf {\tilde {H}} =\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {H} }$

およびの非負性は、少なくともB が非負の単項行列である場合に適用されます。この単純なケースでは、それは単にスケーリングと順列に対応します。 ${\displaystyle \mathbf {\tilde {W}} }$${\displaystyle \mathbf {\tilde {H}} }$

NMFの非一意性に対するさらなる制御は、スパース制約によって得られる。^[54]

天文学において、NMFは、天体物理学的信号が非負であるという意味で次元削減の有望な手法である。NMFは、天体の共通特性を研究し、天体観測を後処理する方法として、分光観測^{[55] [3]}や直接撮像観測^{[4]に適用されてきた。Blanton & Roweis (2007) [3]}による分光観測の進歩は、天体観測の不確実性を考慮に入れており、その後、Zhu (2016) ^[37]によって、欠損データも考慮され、並列計算が可能になるように改良された。彼らの方法はその後、Ren et al. (2018) ^{[4]によって、太陽系}外惑星を検出する方法の1つとして、特に恒星周円盤の直接撮像に、直接撮像分野に採用された。

Ren et al. (2018) ^[4]は、NMFコンポーネントが順番に（つまり、1つずつ）構築された場合の安定性を証明でき、これによりNMFモデリングプロセスの線形性が可能になります。線形性の特性は、恒星の光と、太陽系外惑星や恒星周ディスクから散乱された光を分離するために使用されます。

直接撮像では、暗い太陽系外惑星や恒星周円盤を、通常 10⁵ から 10¹⁰ のコントラストを持つ周囲の明るい恒星の光から明らかにするために、さまざまな統計的手法が採用されてきましたが、^{[56] [57] [38]}、太陽系外惑星や恒星周円盤からの光は通常過剰適合しているため、真の光束を回復するにはフォワードモデリングを採用する必要があります。^{[58] [39]}フォワードモデリングは現在、点光源に対して最適化されていますが、^[39]拡張光源、特に恒星周円盤などの不規則な形状の構造に対しては最適化されていません。 このような状況では、NMF は優れた方法であり、NMF モデリング係数の非負性とスパース性という意味で過剰適合が少なく、そのため、生成されたモデルに対して計算集約的なデータの再削減を行うのではなく 、いくつかのスケーリング係数を使用してフォワードモデリングを実行できます^{[4] 。}

統計で欠損データを補完するために、NMFは欠損データをゼロとして扱うのではなく、コスト関数を最小化しながら欠損データを取得することができます。^{[5]これにより、統計における}データ補完のための数学的に証明された方法になります。^[5]最初に欠損データがコスト関数で無視されることを証明し、次に欠損データの影響が二次効果と同じくらい小さい可能性があることを証明することにより、Ren et al. (2020) ^[5]はそのようなアプローチを研究し、天文学の分野に適用しました。彼らの研究は2次元行列に焦点を当てており、具体的には、数学的導出、シミュレートされたデータ補完、および天空データへの適用が含まれます。

NMF によるデータ補完手順は、2 つのステップで構成できます。まず、NMF コンポーネントが既知の場合、Ren ら (2020) は、データ補完 (この研究では「ターゲット モデリング」) 中に欠損データから受ける影響は二次効果であることを証明しました。次に、NMF コンポーネントが不明な場合、著者らは、コンポーネント構築中に欠損データから受ける影響は一次から二次効果であることを証明しました。

NMF成分の取得方法に応じて、上記の前者のステップは後者のステップから独立している場合もあれば、依存している場合もあります。さらに、より多くのNMF成分を使用すると、補完品質が向上します。その説明については、Ren et al. (2020)の図4を参照してください。^[5]

NMF はテキスト マイニングアプリケーションに使用できます。このプロセスでは、一連のドキュメントからのさまざまな用語の重み (通常は重み付けされた単語の頻度情報) を使用して、ドキュメント用語マトリックスが構築されます。このマトリックスは、用語特徴マトリックスと特徴ドキュメントマトリックスに分解されます。特徴はドキュメントの内容から派生し、特徴ドキュメント マトリックスは関連ドキュメントの データ クラスターを表します。

ある特定のアプリケーションでは、 PubMedの科学抄録の小さなサブセットに階層的NMFを使用しました。^[59] 別の研究グループは、 65,033件のメッセージと91,133件の用語を含むエンロンの電子メールデータセット^{[60]の一部を50のクラスターにクラスタ化しました。 [61]} NMFは引用データにも適用されており、英語版Wikipediaのアウトバウンド科学引用に基づいて、英語版Wikipediaの記事と科学雑誌をクラスタリングした例があります。^[62]

Arora、Ge、Halpern、Mimno、Moitra、Sontag、Wu、Zhu（2013）は、NMFを使用してトピックモデルを学習するための多項式時間アルゴリズムを提示しました。このアルゴリズムは、トピックマトリックスがこれらの設定でよく見られる分離可能性条件を満たしていると仮定しています。^[42]

Hassani、Iranmanesh、Mansouri（2019）は、NMFを使用して動作する用語文書行列の特徴凝集法を提案しました。このアルゴリズムは、用語文書行列を、テキストクラスタリングに適したより小さな行列に縮小します。^[63]

NMFはスペクトルデータの解析にも使われており、宇宙物体や宇宙ゴミの分類などに利用されている。^[64]

NMFは、スケーラブルなインターネット距離（往復時間）予測に適用されます。ホストを含​​むネットワークの場合、NMFを使用すると、測定のみを実行するだけで、すべてのエンドツーエンドリンクの距離を予測できます。この種の方法は、インターネット距離推定サービス（IDES）で最初に導入されました。^[65]その後、完全に分散化されたアプローチとして、フェニックスネットワーク座標系^[66] が提案されました。重みの概念を導入することで、全体的な予測精度が向上します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle O(N)}$

音声ノイズ除去は、オーディオ信号処理において長年の課題となっている。ノイズが定常である場合、ノイズ除去のためのアルゴリズムは多数存在する。例えば、ウィーナーフィルタは加法性ガウスノイズに適している。しかし、ノイズが非定常である場合、非定常ノイズの統計情報を推定することが難しいため、従来のノイズ除去アルゴリズムは通常、パフォーマンスが低くなる。Schmidtら^[67]は、非定常ノイズ下での音声ノイズ除去にNMFを使用しているが、これは従来の統計的アプローチとはまったく異なる。重要な考え方は、クリーンな音声信号は音声辞書によってスパースに表現できるが、非定常ノイズは表現できないというものである。同様に、非定常ノイズもノイズ辞書によってスパースに表現できるが、音声は表現できない。

NMF ノイズ除去のアルゴリズムは次のようになります。音声用とノイズ用の 2 つの辞書をオフラインでトレーニングする必要があります。ノイズの多い音声が与えられたら、まず短時間フーリエ変換の大きさを計算します。次に、NMF を介して 2 つの部分に分割します。1 つは音声辞書でまばらに表現でき、もう 1 つはノイズ辞書でまばらに表現できます。3 番目に、音声辞書で表現される部分が推定されたクリーンな音声になります。

スパースNMFは集団遺伝学において、個体の混合係数を推定したり、集団サンプル内の個体の遺伝的クラスターを検出したり、サンプルゲノム内の遺伝的混合を評価したりするために使用されます。ヒトの遺伝子クラスタリングでは、NMFアルゴリズムはコンピュータプログラムSTRUCTUREと同様の推定値を提供しますが、このアルゴリズムは計算効率が高く、大規模な集団ゲノムデータセットの分析を可能にします。^[68]

NMFはバイオインフォマティクスにおいて、遺伝子発現やDNAメチル化データをクラスタリングし、クラスタを最も代表する遺伝子を見つけるために効果的に応用されてきた。^{[24] [69] [70] [71]}癌の変異の分析では、多くの癌で発生し、おそらく異なる原因を持つ変異の共通パターンを特定するために使用されている。^[72] NMF技術は、細胞タイプ、疾患サブタイプ、集団層別化、組織構成、腫瘍クローン性などの変異源を特定することができる。^[73]

NMFの特定の変種である非負行列三因子化（NMTF）^[74]は、承認薬の新しいタンパク質標的と治療適応を予測するための薬物再利用タスクに使用されており^[75]、相乗効果のある抗癌剤のペアを推測するために使用されています。^[76]

NMFは、この分野では因子分析とも呼ばれ、1980年代からSPECTやPETの動的医療画像における画像シーケンスの解析に使用されてきました^[77]。NMFの非一意性は、スパース制約を使用して解決されました。^{[78] [79] [80]}

非負行列分解に関する現在の研究（2010年以降）には、以下のものが含まれますが、これらに限定されるわけではありません。

1. アルゴリズム：因子の大域的最小値と因子の初期化の探索。^[81]
2. スケーラビリティ: Web規模のデータマイニングで一般的な、100万行10億行の行列を因数分解する方法。例えば、分散非負値行列因数分解(DNMF) ^{[82] 、スケーラブル非負値行列因数分解(ScalableNMF) [83]}、分散確率的特異値分解^[84]などを参照。
3. オンライン：新しいデータが入ってきたときに、最初から再計算せずに因数分解を更新する方法。例：オンラインCNSC ^{[85]を参照}
4. 集合的（結合）因数分解：複数の相互に関連する行列を因数分解して、マルチビュー学習を行う。例えば、マルチビュークラスタリング。CoNMF ^[86]およびMultiNMF ^{[87]を参照。}
5. コーエンとロスブラムの1993年の問題: 有理行列は常に最小の内部次元を持つNMFを持ち、その因子も有理数であるかどうか。最近、この問題は否定的に答えられました。^[88]

• 多重線形代数
• 多重線形部分空間学習
• テンソル
• テンソル分解
• テンソルソフトウェア