根拠のない集合論

非整集合論は、集合がそれ自身の要素になることを許可し、そうでない場合は整集合性の規則に違反する公理集合論の変形です。非整集合論では、ZFCの基礎公理がその否定を意味する公理に置き換えられます。

非整集合の研究は、ドミトリー・ミリマノフが1917年から1920年にかけて発表した一連の論文で始まった。ミリマノフは、整集合と非整集合の区別を定式化したが、整集合性は公理とはみなさなかった。その後、非整集合の公理体系が数多く提案されたが、1988年にピーター・アチェルの著書『非整集合』でハイパーセット理論が紹介されるまで、それらの応用はあまり見られなかった。 ^{[1] [2] [3]}

非整基礎集合の理論は、コンピュータサイエンス（プロセス代数と最終意味論）、言語学と自然言語意味論（状況理論）、哲学（嘘つきパラドックスに関する研究）、および異なる設定である非標準 解析における非終了計算プロセスの論理モデル化に応用されてきました。^[4]

1917年にドミトリー・ミリマノフは集合の 整基礎性の概念を導入した^{[5] [6] [7] [8] 。}

集合x ₀は、無限降順のメンバーシップシーケンスを持たない場合、整集合である。${\displaystyle \cdots \in x_{2}\in x_{1}\in x_{0}.}$

ZFC では、正則性公理により、無限下降 ∈ シーケンスは存在しません。実際、正則性公理は基礎公理と呼ばれることがよくあります。これは、ZFC ⁻ (つまり、正則性公理のない ZFC)内で、整基礎性は正則性を意味することが証明できるためです。正則性公理のない ZFC のバリアントでは、集合のような ∈ チェーンを持つ非整基礎集合の可能性が生じます。たとえば、A ∈ Aとなる集合A は非整基礎です。

ミリマノフは、おそらく非整基礎集合間の同型性の概念も導入したが、基礎公理も反基礎公理も考慮しなかった。^[7] 1926年、ポール・フィンスラーは、非整基礎集合を許容する最初の公理を導入した。1930年にツェルメロが基礎公理を自身のシステムに採用した後（フォン・ノイマン1925-1929の前著から）、非整基礎集合への関心は数十年にわたって衰えた。^[9]初期の非整基礎集合論はウィラード・ファン・オーマン・クワインのNew Foundationsであるが、これは単にZFでFoundationを置き換えたものではない。

Foundation が ZF の他の部分から独立していることの証明は、1950 年代にいくつか発表された。特に、1941 年の以前の論文で結果が発表された後にPaul Bernays (1954) によって、また 1951 年のHabilitationsschriftで異なる証明を与えたErnst Speckerによって発表された。この証明は 1957 年に発表された。その後 1957 年に Rieger の定理が発表され、これはそのような証明を実行するための一般的な方法を与え、非 well-founded 公理系への関心を再燃させた。^{[10]次の公理提案は、1960 年の}Dana Scottの会議での講演(論文としては発表されなかった) で行われ、現在 SAFA と呼ばれる代替公理が提案された。^[11] 1960 年代後半に提案された別の公理は、Aczel によってその 10 年間の研究の頂点と評された Maurice Boffa の超普遍性公理である。^[12]ボッファの考えは、基礎付けを可能な限り（あるいはむしろ外延性が許す限り）失敗させることだった。ボッファの公理は、あらゆる外延的集合的関係が推移的クラスの要素性述語と同型であることを意味している。

1980年代にM. FortiとF. Honsellが開拓した、非整基礎集合論へのより最近のアプローチは、コンピュータサイエンスから双模倣の概念を借用しています。双類似集合は区別がつかず等しいと見なされ、外延性公理の強化につながります。この文脈では、正則性公理に矛盾する公理は反基礎公理として知られ、必ずしも整基礎ではない集合はハイパーセットと呼ばれます。

相互に独立した4 つの反基礎公理はよく知られており、次のリストの最初の文字で略されることもあります。

1. FA (「反基礎公理」) - M. Forti と F. Honsell による (これはAczel の反基礎公理としても知られています)。
2. S AFA（「スコットのAFA」） -ダナ・スコットにちなんで、
3. F AFA（「フィンスラーのAFA」） –ポール・フィンスラーにちなんで、
4. B AFA (「ボファの AFA」) – モーリス・ボファによる。

これらは本質的に、非整集合の等式に関する 4 つの異なる概念に対応します。最初の概念である AFA は、アクセス可能なポイント グラフ(apg) に基づいており、2 つのハイパーセットが同じ apg で表せる場合にのみ、それらのハイパーセットが等しいと述べています。このフレームワークでは、Q={Q} によって正式に定義される、いわゆるクワインの原子が存在し、一意であることが示されます。

上記の公理はそれぞれ、前の公理の宇宙を拡張し、V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ Bとなる。ボッファ宇宙では、個別のクワイン原子が適切なクラスを形成する。^[13]

ハイパーセット理論は古典的集合論の拡張であり、代替ではないことを強調しておく価値があります。ハイパーセット領域内の整集合は古典的集合論に準拠します。

発表された研究では、非整集合は非標準解析の超実数と並行してハイパーセットとも呼ばれる。^{[14] [15]}

ハイパーセットは、ジョン・バーワイズとジョン・エチェメンディが1987年に書いた嘘つきのパラドックスに関する本『The Liar』で広く使われた。この本の提案は真理の理論に貢献した。^[14]この本は、非整基礎集合のトピックへの良い入門書でもある。^[14]

• 代替集合論
• ユニバーサルセット
• 亀はどこまでも

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• Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992)、「非標準解析のための標準的基礎」、Journal of Symbolic Logic、57 (2): 741–748、doi :10.2307/2275304、JSTOR  2275304、S2CID  39158351。
• バーワイズ、ジョン、エチェメンディ、ジョン（1987）、嘘つき：真実と循環性に関するエッセイ、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780195059441
• バーワイズ、ジョン、モス、ローレンス S. (1996)、「悪循環。根拠のない現象の数学について」、CSLI 講義ノート、第 60 巻、CSLI 出版、ISBN 1-57586-009-0
• Boffa., M. (1968)、「Les ensembles extraordinaires」、Bulletin de la Société Mathématique de Belgique、20 : 3–15、Zbl  0179.01602
• Boffa, M. (1972)、「財団財団の強制と否定」、Acad。ロイ。ベルギー、メム。 Cl.科学、大学8∘、セリエ II、40 (7)、Zbl  0286.02068
• デブリン、キース(1993)、「§7. 非整集合論」、集合の喜び: 現代集合論の基礎(第 2 版)、Springer、ISBN 978-0-387-94094-6
• Finsler、P. (1926)、「Uber die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome」、Math。 Z.、25 : 683–713、土井:10.1007/BF01283862、JFM  52.0192.01; 翻訳：ポール・フィンスラー、デイビッド・ブース（1996年）。フィンスラー集合論：プラトン主義と循環性：ポール・フィンスラーの集合論に関する論文の翻訳と序論的コメント。シュプリンガー。ISBN 978-3-7643-5400-8。
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• スコット、ダナ (1960)、「集合論のための異なる種類のモデル」、未発表論文、1960 年スタンフォード論理学、方法論、科学哲学会議での講演

• モス、ローレンス S. (2018)。「非根拠集合論」スタンフォード哲学百科事典。

• 正則性の公理に関するMetamathページ。Metamath プログラムのコマンド (「使用方法の表示」) でわかるように、このデータベースの定理の 1% 未満が最終的にこの公理に依存しています。