ネーターの第二定理

数学と理論物理学において、ノイマンの第二定理は作用 関数の対称性と微分方程式系を関連付けるものです。^[1]この定理は発見者であるエミー・ノイマンにちなんで名付けられました。

物理システムの作用S は、いわゆるラグランジアン関数Lの積分であり、最小作用の原理によってシステムの挙動を決定できます。具体的には、定理によれば、作用が、k 個の任意の関数とそのm次までの導関数によって線形にパラメータ化された無限小対称性の無限次元リー代数を持つ場合、Lの関数導関数はk 個の微分方程式 のシステムを満たします。

ノイマンの第二定理は、ゲージ理論で使用されることがあります。ゲージ理論は、現在普及している標準モデルなど、物理学のすべての現代の場の理論の基本要素です。

独立変数、従属変数、および有限次数 のラグランジアン関数で指定された動的システムがあるとします。ここでは、従属変数のすべての次数偏導関数の集合を示します。一般的な規則として、アルファベットの中央からのラテンインデックスは値 を取り、ギリシャインデックスは値 を取り、これらには総和規則が適用されます。ラテンインデックスのマルチインデックス表記法も次のように導入されます。長さ のマルチインデックスは、通常のインデックスの順序付きリストです。長さは と表されます。長さにわたる総和は明示的に表示する必要があるため、総和規則はマルチインデックスに直接適用されません。たとえば、従属変数の任意の変化に関するラグランジアンの変化は であり、逆積微分規則を適用するとが得られます。ここで はラグランジアンのオイラー-ラグランジュ式であり、係数(ラグランジアン運動量) は次のように与えられます。${\textstyle m}$${\textstyle x=(x^{1},\dots ,x^{m})}$${\textstyle n}$${\textstyle u=(u^{1},\dots ,u^{n})}$${\textstyle L(x,u,u_{(1)}\dots ,u_{(r)})}$${\textstyle r}$${\textstyle u_{(k)}=(u_{i_{1}...i_{k}}^{\sigma })=(d_{i_{1}}\dots d_{i_{k}}u^{\sigma })}$${\textstyle k}$${\textstyle i,j,k,\dots }$${\textstyle 1,\dots ,m}$${\textstyle 1,\dots ,n}$ ${\textstyle I}$${\textstyle k}$${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k})}$${\textstyle k}$${\textstyle \left|I\right|=k}$$${\displaystyle \sum _{|I|=0}^{r}f_{I}g^{I}=fg+f_{i}g^{i}+f_{ij}g^{ij}+\dots +f_{i_{1}...i_{r}}g^{i_{1}...i_{r}}.}$$${\textstyle \delta u^{\sigma }}$$${\displaystyle \delta L={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}\delta u^{\sigma }+{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}\delta u_{i}^{\sigma }+\dots +{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}\delta u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{r}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}\delta u_{I}^{\sigma },}$$$${\displaystyle \delta L=E_{\sigma }\delta u^{\sigma }+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{r-1}P_{\sigma }^{iI}\delta u_{I}^{\sigma }\right)}$$$${\displaystyle E_{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}-d_{i}{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}+\dots +(-1)^{r}d_{i_{1}}\dots d_{i_{r}}{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}=\sum _{|I|=0}^{r}(-1)^{|I|}d_{I}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}}$$${\textstyle P_{\sigma }^{I}}$$${\displaystyle P_{\sigma }^{I}=\sum _{|J|=0}^{r-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}{\frac {\partial L}{\partial u_{IJ}^{\sigma }}}}$$

この変分の下では、変分はラグランジアン の無限小対称性です。となるような電流がある場合、それは無限小準対称性です。 ${\textstyle \delta u^{\sigma }=X^{\sigma }(x,u,u_{(1)},\dots )}$${\textstyle L}$${\textstyle \delta L=0}$${\textstyle K^{i}=K^{i}(x,u,\dots )}$${\textstyle \delta L=d_{i}K^{i}}$

無限小（準）対称性を の変化も含めることで拡張できることに注意する必要があります。つまり、独立変数も変化します。ただし、このような対称性は、従属変数にのみ作用するように常に書き換えることができます。したがって、以下では、のいわゆる垂直変化に制限します。 ${\displaystyle \delta x^{i}\neq 0}$${\displaystyle \delta x^{i}=0}$

ノイマンの第 2 定理では、任意の関数とその導関数の集合によって線形にパラメータ化された変分対称性 (ゲージ対称性と呼ばれる) について検討します。これらの変分は、係数が独立変数と従属変数、および後者の有限次数までの導関数に依存できる一般的な形式を持ち、 は独立変数の任意に指定可能な関数であり、ラテン添え字は値 を取ります( は正の整数)。 $${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }=R_{a}^{\sigma }\lambda ^{a}+R_{a}^{\sigma ,i}\lambda _{i}^{a}+\dots +R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\lambda _{i_{1}...i_{s}}^{a}=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}}$${\displaystyle \lambda^{a}=\lambda^{a}(x)}$${\displaystyle a,b,\dots }$${\displaystyle 1,\dots ,q}$${\displaystyle q}$

これらの変分がラグランジアン の（正確な、つまり準ではない）ゲージ対称性であるためには、関数 のすべての可能な選択に対して であることが必要です。変分が準対称性である場合、電流も任意の関数に線形かつ微分的に依存することが必要です。つまり、 であり、ここで簡単にするために、すべてのゲージ対称性が正確な対称性であると仮定しますが、一般的なケースも同様に扱われます。 ${\displaystyle \delta _{\lambda }L=0}$${\displaystyle \lambda^{a}(x)}$${\displaystyle \delta _{\lambda }L=d_{i}K_{\lambda }^{i}}$$${\displaystyle K_{\lambda }^{i}=K_{a}^{i}\lambda ^{a}+K_{a}^{i,j}\lambda _{j}^{a}+K_{a}^{i,j_{1}j_{2}}\lambda _{j_{1}j_{2}}^{a}\dots }$$

ノイマンの第二定理は、任意の関数とその導関数によって線形にパラメータ化されたゲージ対称性を許容する上記のようなラグランジアンが与えられたときはいつでも、のオイラー-ラグランジュ方程式の間に線形微分関係が存在するというものです。 ${\textstyle L}$${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\textstyle L}$

最初の変分公式と、変分が対称性であるという事実を組み合わせると、次の式が得られます。ここで、最初の項はオイラー・ラグランジュ表現に比例するため、部分積分は次のように実行できます。ここで、特に に対しては となります。したがって、となるオフシェル関係が得られます。ここで、 です。この関係は、ゲージパラメータ の任意の選択に対して有効です。これらがコンパクトにサポートされるように選択し、独立変数の多様体にわたって関係を積分すると、ストークスの定理により、積分全体の発散項はゼロになります。次に、変分法の基本補題から、オフシェル関係と同一にが得られます（実際、 はオイラー・ラグランジュ表現で線形であるため、オンシェルでは必然的にゼロになります）。これを最初の式に戻すと、オフシェル保存則 も得られます。 ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$$${\displaystyle 0=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i},\quad W_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{r}P_{\sigma }^{iI}\delta _{\lambda }u^{\sigma },}$$$${\displaystyle E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{s}E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a}=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}\right),}$$$${\displaystyle Q_{a}^{I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,IJ}\right),}$$${\textstyle |I|=0}$$${\displaystyle Q_{a}=E_{\sigma }R_{a}^{\sigma }-d_{i}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i}\right)+\dots +(-1)^{s}d_{i_{1}}\dots d_{i_{s}}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right).}$$$${\displaystyle 0=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}S_{\lambda }^{i},}$$${\textstyle S_{\lambda }^{i}=H_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i},}$${\textstyle H_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}}$${\textstyle \lambda ^{a}(x)}$${\displaystyle Q_{a}\equiv 0}$${\displaystyle Q_{a}}$${\displaystyle d_{i}S_{\lambda }^{i}=0}$

これらの式はオイラー-ラグランジュ式において微分的であり、具体的には、次の式が成り立ちます。したがって、これらの方程式はオイラー-ラグランジュ式が従う微分関係であり、したがって、システムのオイラー-ラグランジュ方程式は独立ではありません。 ${\displaystyle Q_{a}}$$${\displaystyle Q_{a}={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma },}$$$${\displaystyle F_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}(-1)^{|I|+|J|}d_{J}R_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$$${\textstyle q}$

2 番目のノイマン方程式の逆も確立できます。具体的には、システムのオイラー-ラグランジュ表現が微分関係に従うと仮定します。 を任意の関数の -組とすると、演算子の形式的な随伴は、随伴演算子を一意に定義する式を通じてこれらの関数に作用します。随伴演算子の係数は、前と同じように部分積分によって得られます。具体的には、次のとおりです。次に、随伴演算子の定義と関係により、関数の -組ごとに、オイラー-ラグランジュ表現と縮約されたときの関数上の随伴の値は完全な発散、つまり、z であることが示されます。したがって、変分を定義すると、ラグランジアンの変分は完全な発散であり、したがって変分は関数のすべての値に対して準対称性です。 ${\displaystyle E_{\sigma }}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma }.}$$${\textstyle \lambda =(\lambda ^{1},\dots ,\lambda ^{q})}$${\textstyle q}$${\textstyle {\mathcal {D}}_{a}}$$${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]-\lambda ^{a}{\mathcal {D}}_{a}[E]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }}$$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$$${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|I|+|J|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}d_{J}F_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$${\textstyle q}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$$${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }:=({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$$${\displaystyle \delta _{\lambda }L=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i}=d_{i}\left(B_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i}\right)}$$${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$${\displaystyle \lambda ^{a}}$

• ネーターの第一定理
• ネーター恒等式
• ゲージ対称性（数学）

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