ホテリングのT二乗分布

統計学、特に仮説検定において、ハロルド・ホテリングによって提案されたホテリングのT二乗分布（T ^{2 ） [ 1 ]}は、F分布と密接に関連する多変量確率分布であり、スチューデントのt分布の基礎となる統計量の自然な一般化である一連の標本統計量の分布として生じることで最も注目されています。ホテリングのt二乗統計量（t ² ）は、多変量仮説検定で使用されるスチューデントのt統計量の一般化です。^{[ 2 ]}

この分布は、多変量統計学において、異なる母集団の（多変量）平均値の差を検定する際に現れるもので、単変量問題の検定ではt検定が用いられる。この分布は、スチューデントのt分布の一般化としてこれを開発したハロルド・ホテリングにちなんで名付けられた。^{[ 1 ]}

ベクトルが ${\displaystyle d}$ は、平均ゼロ、共分散行列が単位であるガウス多変量分布に従う。${\displaystyle N(\mathbf {0} _{p},\mathbf {I} _{p,p})}$そして${\displaystyle M}$は${\displaystyle p\times p}$ウィシャート分布に従うランダム行列${\displaystyle W(\mathbf {I} _{p,p},m)}$単位尺度行列とmの自由度を持ち、dとMが互いに独立である場合、二次形式${\displaystyle X}$ホテリング分布を持つ（パラメータ付き）${\displaystyle p}$そして${\displaystyle m}$): ^{[ 3 ]}$${\displaystyle X=md^{T}M^{-1}d\sim T^{2}(p,m).}$$

確率変数XがホテリングのT二乗分布に従う場合、${\displaystyle X\sim T_{p,m}^{2}}$すると：^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}X\sim F_{p,m-p+1}}$$ どこ${\displaystyle F_{p,m-p+1}}$これは、パラメータpとm − p + 1を持つF分布です。    

させて${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$標本共分散を次のように定義する。

$$\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)'}$$

ここで、転置はアポストロフィで表す。以下が示せる。${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$は正定値（半）定値行列であり、${\displaystyle (n-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}}$は、自由度n − 1のp次元ウィシャート分布に従う。 ^{[ 4 ]} 平均の標本共分散行列は次のようになる。  $\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}={\hat {\mathbf {\Sigma } }}/n}$[ ^{5 ]​}

ホテリングのt二乗統計量は次のように定義されます。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle t^{2}=({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\overline {\mathbf {x} }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }}),}$$

これは、標本平均と${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$このため、統計値は低い値をとると予想される。$\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\approx {\boldsymbol {\mu }}}$異なる場合は高い値になります。

分布から、

$${\displaystyle t^{2}\sim T_{p,n-1}^{2}={\frac {p(n-1)}{np}}F_{p,np},}$$

どこ${\displaystyle F_{p,np}}$は、パラメータpとn − pを持つF分布です。  

p値を計算するには（ここではp変数とは関係ありません）、$t²$同等に、

$$\displaystyle {\frac {np}{p(n-1)}}t^{2}\sim F_{p,np}.}$$

次に、左辺の値を用いて、 F分布から得られる標本に対応するp値を算出します。同様の論理を用いて信頼区間を求めることもできます。

もし${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n_{x}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$そして${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1},\dots ,{\mathbf {y} }_{n_{y}}\sim N_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } })}$サンプルは、同じ平均と共分散を持つ2 つの独立した多変量正規分布から独立して抽出され、次のように定義されます。

$${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n_{x}}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\mathbf {x} _{i}\qquad {\overline {\mathbf {y} }}={\frac {1}{n_{y}}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\mathbf {y} _{i}}$$

サンプル平均として、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }&={\frac {1}{n_{x}-1}}\sum _{i=1}^{n_{x}}\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)\left(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }}\right)'\\{\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }&={\frac {1}{n_{y}-1}}\sum _{i=1}^{n_{y}}\left(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }}\right)\left(\mathbf {y} _{i}-{\overline {\mathbf {y} }}\right)'\end{aligned}}}$$

それぞれの標本共分散行列として。

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {\Sigma } }}={\frac {(n_{x}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {x} }+(n_{y}-1){\hat {\mathbf {\Sigma } }}_{\mathbf {y} }}{n_{x}+n_{y}-2}}}$$

は、不偏なプール共分散行列推定値（プール分散の拡張）です。

最後に、ホテリングの2標本t二乗統計量は

$${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{x}n_{y}}{n_{x}+n_{y}}}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})'{\hat {\mathbf {\Sigma } }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\overline {\mathbf {y} }})\sim T^{2}(p,n_{x}+n_{y}-2)}$$

• 単変量統計におけるスチューデントのt検定
• 単変量確率論におけるスチューデントのt分布
• 多変量スチューデント分布
• F分布（一般的に表形式で提供されているか、ソフトウェアライブラリで利用可能であり、上記の関係式を用いてT二乗統計量を検定するために使用される）
• ウィルクスのラムダ分布（多変量統計学において、ウィルクスのΛはホテリングのT²に対する関係であり、単変量統計学におけるスネデカーのFがスチューデントのtに対する関係と同様で^ある）

• Prokhorov, AV (2001) [1994], T ² -分布「ホテリングT ² -分布」、数学百科事典、EMS Press