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コンピューティング、特にデジタル信号処理において、乗算累算( MAC ) または乗算加算( MAD ) 演算は、2 つの数値の積を計算し、その積を累算器に加算する一般的な手順です。この演算を実行するハードウェア ユニットは、乗算累算器( MAC ユニット) と呼ばれ、演算自体も MAC または MAD 演算と呼ばれることがよくあります。 MAC 演算は、累算器を次のように変更します。
浮動小数点数で実行する場合、2 回の丸め(多くのDSPで一般的) または 1 回の丸めで実行されることがあります。1 回の丸めで実行される場合は、融合乗算加算( FMA ) または融合乗算累算( FMAC )と呼ばれます。
現代のコンピュータには、組み合わせ論理で実装された乗算器と、それに続く加算器、および結果を格納するアキュムレータ レジスタで構成される専用の MAC が搭載されている場合があります。レジスタの出力は加算器の 1 つの入力にフィードバックされるため、クロック サイクルごとに、乗算器の出力がレジスタに追加されます。組み合わせ乗算器には大量のロジックが必要ですが、初期のコンピュータで一般的だったシフトと加算の方法よりもはるかに高速に積を計算できます。パーシー ラドゲートは、1909 年の解析マシンで MAC を初めて考案し、[1] MAC を除算に利用した最初の人物です (逆数をシードとする乗算を収束級数(1+ x ) −1 を介して使用)。MAC ユニットを搭載した最初の現代のプロセッサはデジタル信号プロセッサでしたが、この手法は現在では汎用プロセッサでも一般的になっています。[2] [3] [4] [5]
浮動小数点演算では
整数で行う場合、演算は通常正確です（2のべき乗を法として計算されます）。ただし、浮動小数点数には一定の数学的精度しかありません。つまり、デジタル浮動小数点演算は一般に結合的でも分配的でもないでしょう。（浮動小数点演算の§ 精度の問題を参照してください。）したがって、乗算と加算を2回の丸めで実行するか、1回の丸めで1回の演算（融合乗算と加算）で実行するかによって結果が異なります。IEEE 754-2008では、1回の丸めで実行してより正確な結果を得る必要があると規定されています。[6]
融合乗算と加算
融合乗算加算（FMAまたはfmadd）[7] は、浮動小数点乗算加算演算を1回の丸め処理で1ステップ（融合演算）で実行する演算です。つまり、非融合乗算加算では積b × cを計算し、それをNビットの有効ビットに丸め、その結果をaに加算し、再びNビットの有効ビットに丸めますが、融合乗算加算では式a + ( b × c )全体を完全な精度で計算してから、最終結果をNビット に切り捨てます。
高速 FMA は、積の累積を伴う多くの計算を高速化し、精度を向上させることができます。
融合乗加算は、通常、より正確な結果をもたらすと信頼できます。しかし、ウィリアム・カハンは、考えなしに使用した場合、問題が発生する可能性があることを指摘しています。[8]融合乗加算を使用して、x 2 − y 2が(( x × x ) − y × y ) (冗長な括弧がコンパイラに( x × x )項を最初に丸めるように指示するカハンの推奨表記法に従う) と評価された場合、最初の乗算で下位ビットが破棄されるため、 x = y の場合でも結果が負になる可能性があります。その結果、たとえば結果の平方根が評価されると、エラーが発生する可能性があります。
マイクロプロセッサ内に実装した場合、FMAは乗算演算の後に加算演算を行うよりも高速です。しかし、オリジナルのIBM RS/6000設計に基づく標準的な産業用実装では、合計を適切に計算するために2Nビットの加算器が必要です。 [9]
この命令を追加することによるもう一つの利点は、除算（除算アルゴリズムを参照）と平方根（平方根の計算方法を参照）の演算を効率的にソフトウェアで実装できるため、これらの演算専用のハードウェアが不要になることです。[10]
ドット積命令
一部のマシンでは、複数の融合乗算加算演算を 1 つのステップに結合します。たとえば、2 つの 128 ビットSIMDレジスタに対して 4 要素のドット積をa0×b0 + a1×b1 + a2×b2 + a3×b31 サイクルのスループットで実行します。
サポート
FMA 操作はIEEE 754-2008に含まれています。
デジタル・イクイップメント・コーポレーション（DEC）VAXのPOLY命令は、連続した乗算と加算のステップを使用して、ホーナーの規則で多項式を評価するために使用されます。命令の説明では、乗算と加算が単一のFMAステップを使用して実行されるかどうかは指定されていません。 [11]この命令は、1977年の11/780の最初の実装以来、VAX命令セットの一部となっています。
C言語の1999年標準では、標準数学ライブラリ関数と、乗算と加算の自動変換（浮動小数点式の縮約）を通じてFMA演算をサポートしており、標準プラグマ（ ）で明示的に有効または無効にすることができます。GCCおよびClang Cコンパイラは、FMA命令をサポートするプロセッサアーキテクチャに対して、デフォルトでこのような変換を行います。前述のプラグマをサポートしていないGCCでは、[12]コマンドラインオプションでこれをグローバルに制御できます。[13]fma()#pragma STDC FP_CONTRACT-ffp-contract
融合乗算加算演算はIBM POWER1（1990）プロセッサで「融合乗算加算」として導入されましたが、 [14]それ以来、他の多くのプロセッサにも追加されています。
- HP PA-8000 (1996) 以降
- 日立 SuperH SH-4 (1998)
- SCE -東芝 エモーションエンジン(1999)
- インテルItanium (2001)
- STIセル（2006）
- 富士通 SPARC64 VI (2007) 以上
- （MIPS互換）Loongson -2F（2008）[15]
- エルブルス-8SV (2018)
- FMA3 および/または FMA4 命令セットを備えた x86 プロセッサ
- VFPv4 および/または NEONv2 を搭載した ARM プロセッサ:
- ARM Cortex-M4F (2010)
- STM32 Cortex-M33（VFMA操作）[18]
- ARM Cortex-A5 (2012)
- ARM Cortex-A7 (2013)
- ARM Cortex-A15 (2012)
- クアルコム クレイト(2012)
- アップル A6 (2012)
- すべてのARMv8プロセッサ
- 富士通 A64FX には、「プレフィックス命令付き 4 オペランド FMA」が搭載されています。
- IBM z/アーキテクチャ(1998 年以降)
- GPU および GPGPU ボード:
- AMD GPU (2009) 以降
- TeraScale 2「Evergreen」シリーズベース
- Graphics Core Nextベース
- Nvidia GPU (2010) 以降
- Sandy Bridge以降のIntel GPU
- インテルMIC (2012)
- ARM Mali T600 シリーズ(2012) 以上
- AMD GPU (2009) 以降
- ベクトルプロセッサ:
- RISC-V命令セット（2010）
参照
参考文献
- ^ 「Ludgateの分析機械の実現可能性」。2019年8月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年8月30日閲覧。
- ^ Lyakhov, Pavel; Valueva, Maria; Valuev, Georgii; Nagornov, Nikolai (2020年1月). 「切り捨てられた乗算累算ユニットに基づくデジタルフィルタ性能の向上方法」.応用科学. 10 (24): 9052. doi : 10.3390/app10249052 .
- ^ Tung Thanh Hoang、Sjalander、M.、Larsson-Edefors、 P . (2009 年 5 月)。「FlexCore プロセッサ拡張機能用のダブル スループット乗算ユニット」。2009 IEEE 国際並列分散処理シンポジウム。pp. 1–7。doi :10.1109/IPDPS.2009.5161212。ISBN 978-1-4244-3751-1.S2CID 14535090 。
- ^ Kang, Jongsung; Kim, Taewhan (2020-03-01). 「PV-MAC: オンデバイス畳み込みニューラルネットワークの精度変動性を利用した乗算および累積ユニット構造」. Integration . 71 : 76–85. doi :10.1016/j.vlsi.2019.11.003. ISSN 0167-9260. S2CID 211264132.
- ^ “mad - ps”. 2019年11月20日. 2021年8月14日閲覧。
- ^ Whitehead, Nathan; Fit-Florea, Alex (2011). 「精度とパフォーマンス: NVIDIA GPU の浮動小数点と IEEE 754 準拠」(PDF) . nvidia . 2013-08-31に取得。
- ^ "fmadd instrs". IBM .
- ^ Kahan, William (1996-05-31). 「2進浮動小数点演算のためのIEEE標準754」。
- ^ Quinnell, Eric (2007 年 5 月). 浮動小数点融合乗算加算アーキテクチャ(PDF) (博士論文) . 2011 年 3 月 28 日閲覧。
- ^ Markstein, Peter (2004 年 11 月). Goldschmidt アルゴリズムを使用したソフトウェア除算と平方根(PDF) . 第 6 回実数とコンピュータに関する会議. CiteSeerX 10.1.1.85.9648 .
- ^ 「今週のVAX命令: POLY」。2020年2月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ 「バグ 20785 - Pragma STDC * (C99 FP) が実装されていません」。gcc.gnu.org 。2022 年 2 月 2 日閲覧。
- ^ 「最適化オプション（GNU コンパイラ コレクション（GCC）の使用）」。gcc.gnu.org 。2022 年 2 月 2 日閲覧。
- ^ Montoye, RK; Hokenek, E.; Runyon , SL (1990 年 1 月)。「IBM RISC System/6000 浮動小数点実行ユニットの設計」。IBM Journal of Research and Development。34 ( 1): 59–70。doi :10.1147/rd.341.0059。
- ^ 「Godson-3 が x86 をエミュレート: 新しい MIPS 互換の中国製プロセッサに x86 変換用の拡張機能が追加」。
- ^ Hollingsworth, Brent (2012 年 10 月)。「新しい「Bulldozer」および「Piledriver」命令」。AMD Developer Central。
- ^ 「Intel、CPU設計ロードマップに22nmオクトコア「Haswell」を追加」The Register。2012年2月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2008年8月19日閲覧。
- ^ 「STM32 Cortex-M33 MCUプログラミングマニュアル」(PDF) . ST . 2024年5月6日閲覧。