ミニバー夫人の問題

ミニバー夫人の問題は、円の面積に関する幾何学の問題である。与えられた半径を持つ2つの円とを、その2つの内部が交差してできるレンズの面積が、と（一方の円に含まれる面積で両方の円には含まれない面積）の対称差に等しくなるように配置する方法を問う問題である。 ^[1]この問題は、架空の人物であるミニバー夫人が「あらゆる関係を一対の交差する円とみなした」と述べた幾何学と社会力学の類似性にちなんで名付けられた。その解法には超越方程式が含まれる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

この問題は、ジャン・ストラザーが 1937 年から 1939 年にかけてロンドンのタイムズ紙に掲載した、ミニバー夫人を主人公とした新聞記事の 1 つ「カントリー ハウス訪問」に由来しています。記事によると、

彼女はあらゆる関係を、交差する一対の円として捉えていた。一見すると、重なり合うほど関係は良くなるように見えるが、そうではない。ある一定の点を超えると、収穫逓減の法則が働き、共有する生活を豊かにするだけの私的資源がどちらの側にも残らなくなる。おそらく、外側の 2 つの三日月形の面積を足し合わせた値が、真ん中の葉っぱ形の部分の面積とちょうど等しくなったときに、完璧さが達成される。理論上は、この値に達するためのきちんとした数式があるはずだが、現実にはそんなものはない。^[2]

ルイス・A・グラハムとクリフトン・ファディマンはこの問題の数学を形式化し、趣味で数学に取り組む人々の間で普及させた。^{[1] [3]}

この問題は、円の2つの交差点を結ぶ線分に沿って三日月を2つの円セグメント に切断し、円セグメントの面積の公式を使用して交差点間の距離と、問題で三日月が持つ必要のある総面積を関連付けることで解決できます。これにより、交差点間の距離の超越方程式が得られますが、数値的に解くことができます。^{[1] [4]}中心間の距離を簡単に解くことができる境界条件が2つあります。中心が最も離れる場合、円の半径が等しい場合、中心が最も近くなる場合、つまり、半径の比が のときに、1つの円が他の円に完全に含まれる場合です。半径の比がこれらの限界ケースを超えると、円は問題の面積制約を満たすことができません。^[4]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

大きさが等しい2つの円の場合、これらの方程式は多少簡略化できます。2つの円の中心と2つの交差点で形成される菱形は、辺の長さが半径に等しく、円の中心でラジアンの角度を持ちます。これは、中心間の距離と半径の比がであることがわかる方程式を解くことで求められます。^[4]${\displaystyle \theta \approx 2.605}$$${\displaystyle \theta -\sin \theta ={\frac {2\pi }{3}},}$$${\displaystyle 2\cos {\tfrac {\theta }{2}}\approx 0.529864}$

• ヤギ問題#内部放牧問題、円形の三角錐とレンズの面積を均等にする別の問題