ヤギの放牧問題

ヤギの放牧問題は、円形の領域で放牧する繋がれたヤギに関するレクリエーション数学の 2 つの関連した問題、すなわち内部放牧問題と外部放牧問題のいずれかです。前者は円形領域の内部を放牧するもので、後者は円形領域の外部を放牧するものです。外部問題の場合、ロープが円形領域に入ることができないという制約により、放牧領域はインボリュート を形成することが決定されます。代わりに、ヤギが (フェンスやサイロではなく) 邪魔にならない円形の舗装道路の端にある柱につながれている場合、内部問題と外部問題は単純な円形領域の補集合になります。

元々の問題は外部放牧問題であり、1748 年版の英国の年刊誌「The Ladies' Diary : or, the Woman's Almanack」に掲載され、Upnorensis (未知の歴史上の人物) に帰せられる Question  CCCIIIとして次のように述べられています。

紳士の公園で、一頭の馬が餌を食べるために繋がれているのを観察すると、ロープの一方の端が馬の前足に、もう一方の端が池を囲む円形の鉄柵の 1 つにつながれており、柵の円周はロープの長さと同じ 160 ヤードです。このとき、馬は最大でどのくらいの量の土地を餌として食べることができるでしょうか。

家畜を考慮に入れない円の内部の面積に関する関連問題は、1894 年に有名な雑誌American Mathematical Monthlyの初版に初めて掲載されました。Charles E. Myers によるもので、次のように述べられています。

1 エーカーの円が、その円の円周上に中心がある別の円によって切断され、両方の共通面積が 0.5 エーカーである場合、切断円の半径を求めます。

どちらの場合も、解は簡単ではありませんが、三角法、解析幾何学、積分法をそのまま適用すれば解けます。どちらの問題も本質的に超越的であり、ユークリッド平面に閉じた形の解析解はありません。数値的な答えは、反復近似手順によって得る必要があります。ヤギの問題は、新しい数学的洞察を何も生み出しません。むしろ、解決を容易にするために、問題を巧みに分解する方法を主に練習するものです。

明らかな長方​​形の納屋や畑を含む他の形状の3次元類似問題や平面境界/面積問題が提案され、解決されています。^[1]楕円のような滑らかな凸曲線、さらには閉じていない曲線に対する一般化された解が定式化されています。^[2]

円の外側の放牧可能エリアに関する問題を検討します。これは、動物がサイロにつながれている状況に関するものです。ここでの複雑さは、放牧エリアがサイロの周囲に重なっていることです (つまり、一般的に、つなぎ目はサイロの円周の半分よりも長い)。ヤギは草を 1 回しか食べることができず、2 回食べることはできません。提案されたこの問題の答えは、雑誌の 1749 年版で Heath 氏によって提示され、76,257.86 平方ヤードと述べられていました。これは、部分的に「試行と対数表」によって導き出されました。答えは、精度の桁数から推測されるほど正確ではありません。解析的な解決策は提供されていません。

テザーの長さをR  = 160 ヤード、サイロの半径をr  =  R /(2 π ) ヤードとします。第 4 象限のインボリュートはほぼ円弧です。同じ周囲 (弧の長さ) の円弧はほぼ同じ面積を囲むと考えられます。したがって、その円弧の半径、つまり面積は簡単に計算できます。インボリュートの弧の長さは で与えられるため、第 4 象限のインボリュートの弧の長さ |FG| は です。c を、 y 軸と、サイロに θ = 3 π /2 で接する垂直線との間のインボリュートの弧の長さとします。これは 、Φによって囲まれる弧です (弧は rよりわずかに長くなりますが、その差は無視できます)。したがって です。円弧の弧長は で、ここでθは第 4 象限のπ /2 ラジアンなので、円弧の半径rは で、円弧で囲まれた円弧の面積は です。インボリュートの面積には、第 4 象限にあるサイロの面積の半分 (1018.61) が含まれないため、おおよその面積は 18146 で、半径Rの半円( ) を含む可採面積の合計は です。これは、正しい面積 76256 よりも 249 平方ヤード大きく、誤差はわずか 0.33% です。この近似方法は、インボリュートの 角度 < 3 π /2の場合、それほど適切ではない可能性があります。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r\theta ^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r{\Big [}\theta ^{2}{\Big ]}_{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }}$${\displaystyle c\approx r}$${\displaystyle |FG|={\tfrac {1}{2}}\cdot 25.46\cdot (6.28^{2}-4.71^{2})+25.46=245.38}$${\displaystyle r\theta }$${\displaystyle r{\tfrac {\pi }{2}}=245.38}$${\displaystyle 156.21}$${\displaystyle {\tfrac {\pi r^{2}}{4}}=19165}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}}$${\displaystyle 2\cdot 18146+40212=76505}$

重要な場合、 を迅速かつ非常に正確に推定する建設的な方法があります。池の円周上の点から y 軸上の交点まで対角線を引きます。対角線の長さは 120 ヤードです。これはテザーの長さだからです。したがって、三角形のもう一方の辺、つまり描かれた斜辺はヤードです。つまり、3 桁に丸められたラジアンです。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\pi }$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$${\displaystyle {\sqrt {120^{2}-r^{2}}}=117.27}$${\displaystyle \varphi \approx \sin ^{-1}({\tfrac {r}{117.27}})=.219}$

重なり合う部分を除いた、 2 πから -2 πの角度にわたる円とそのインボリュートの間の面積を求めます。直交座標では、インボリュートの方程式は超越関数であるため、そこで線積分を行うことはほとんど不可能です。より適切な方法は、極座標 ( z、θ ) を使用することです。インボリュートの下の領域の「スイープ」は接線によって制限されるため (下の図と導出を参照)、接線は重なり合う領域間の境界 ( ) ではないため、問題を分解すると、計算可能な領域が 4 つ得られます。半径がテザーの長さである半円 ( A _{1 )、角度 2} πにわたってテザーによって「スイープ」される領域( A _{2 )、領域}A _2のうちθ = 0から 接線セグメントまでの領域( A ₃ )、およびくさび領域qFtq ( A ₄ ) です。したがって、目的の面積AはA ₁ + ( A ₂  −  A ₃  +  A ₄ ) · 2です。計算に必要な面積は 2 つの二次曲線の間にあり、必然的に積分または積分の差になります。 ${\displaystyle {\overline {qF}}}$${\displaystyle {\overline {tF}}}$

この問題の主なパラメータは、160 ヤードと定義されたテザーの長さ と、サイロの半径 です。との間には必ずしも関係はありませんが、ここでは円周 である円の半径 です。 テザーの点(上の図を参照) を原点として、池の円周を表す円をx軸の下に、テザーを時計回りおよび反時計回りに巻いたときの交点を表す円の下のy軸上に定義する場合、 での接線が と交差するような円上の点を とし、+ をテザーの長さとします。を、原点の下のy 軸 ( の反対) 上の池の円周の交点とします。次に、鋭角を とします。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r={\tfrac {160}{2\pi }}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$${\displaystyle |{\overset {\眉をひそめる }{vt}}|}$${\displaystyle |{\overline {tF}}|}$${\displaystyle q}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \angle tFq}$${\displaystyle \varphi}$

インボリュートの下の面積は、2次曲線上の積分であるため、 の関数です。面積には、パラメータ(サイロの円周) によって定義される固定境界があります。この場合、面積は に反比例します。つまり、 が大きいほど、積分の面積は小さくなり、円周は( )の線形関数です。したがって、インボリュートの下の面積を表す式を求めます。 ${\displaystyle R^{3}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2\pi r}$${\displaystyle E=f(R^{3}/r)}$

まず、面積A ₁は半径の半円なので、${\displaystyle R}$${\displaystyle A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}.}$

次に、以下の積分の極限で使用される角度を見つけます。 とします。は、直角が点 t にある三角形の反対角の補角であり、円の第 3 象限のその角度の補角でもあります。 は展開された円弧 なので、その円弧長は です。 したがって、 なので、 です。 最後に、次の式が得られます。これは、試行錯誤、多項式展開、またはニュートン-ラプソンのような反復手順でのみ解くことができる超越方程式です。。 ^[3]${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x=|{\overline {tF}}|}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle |{\overline {tF}}|}$${\displaystyle {\overset {\frown }{vqt}}}$${\displaystyle r\theta _{x}}$${\displaystyle \theta _{x}={\tfrac {x}{r}}}$${\displaystyle \theta _{x}={\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }$${\displaystyle \varphi ={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {x}{r}}}$${\displaystyle \tan(\varphi )={\tfrac {r}{x}}}$${\displaystyle r=x\cdot \tan {({\tfrac {3}{2}}\pi -{\tfrac {x}{r}})}}$${\displaystyle \varphi \approx 0.21900[+0,-0.00003]}$

次に、池の円周とインボリュートの間の面積を計算します。インボリュートの先細りの「尾」の部分、つまり重なり合った部分の面積を計算します (接線tFのため、この面積にはくさび形の断面、面積A _{4 が}含まれます。これは、最終的な合計時に加算する必要があります)。角度がラジアンの場合、扇形の面積は であることを思い出してください。 から までの無限に薄い扇形が、無限に小さい角度 で囲まれていると想像してください。 に接し、からまでのインボリュートの対応する無限に薄い扇形があり、同じ無限に小さい角度 で囲まれています。この扇形の面積は です。ここで はある角度 での半径で、これは で、これはこれまで角度 で「展開」された円の弧の長さです。インボリュートの下の面積は、ある角度 を通る無限に薄い扇形の合計です。この合計は ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta }$${\displaystyle o}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \デルタ \theta }$${\displaystyle o}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \デルタ \theta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}z^{2}\Delta \theta }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle r\theta _{i}}$${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}(r\theta _{i})^{2}\Delta \theta =\int _{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }{\frac {1}{2}}(r\theta )^{2}\ d\theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\left[{\frac {\theta ^{3}}{3}}\right]_{{\frac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }={\frac {4}{3}}r^{2}\pi ^{3}-{\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {({\frac {3\pi }{2}}-\varphi )^{3}}{3}}.}$

積分 の境界は、と第 4 象限のインボリュートの下の領域を表します。角度は、インボリュート上ではなく円上で測定されるため、 で指定された角度だけ小さくなります。は指定されていないため、間接的に決定する必要があります。残念ながら、は の有理分数ではないため、 eval 式の下限を表す後者の項を簡略化する方法はありません。したがって、これを一度に代入して評価することもできます (事前に因数分解する)。これは、説明上の理由から と書き直すことができます。 の因数を定数項にマージして、項の共通分母を取得するのが適切と思われます。したがって、 です。は積分からの線形項によって支配されるため、 と書くことができます。ここで、 はゼロでない正ですが無視できる量です。 ${\displaystyle {\overline {tF}}}$${\displaystyle {\overline {vG}}}$${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}r^{2}\pi ^{3}\cdot ({\tfrac {27}{8}}-K({\tfrac {\varphi }{\pi }}))}$${\displaystyle A_{2}-A_{3}={\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\tfrac {R^{3}}{48r}}\cdot ({\tfrac {27}{8}}-K({\tfrac {\varphi }{\pi }}))}$${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$${\displaystyle A_{2}-A_{3}={\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\tfrac {R^{3}}{6r}}\cdot ({\tfrac {27}{64}}-K({\tfrac {\varphi }{8\pi }}))}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K={\tfrac {27}{32\pi }}\varphi -Z}$${\displaystyle Z}$

₄は、特異なくさび形の面積です。この面積は、頂点 t を持つ直角三角形の面積から、 で囲まれた扇形の面積を引いたものです。ここで、x は |tF|、θ は直角三角形で Φ と反対の角度です。つまり、 です。 の場合、くさび形の面積は縮小によって求められます。 ${\displaystyle \lambda ^{tFqt}}$${\displaystyle {\overset {\frown }{tq}}}$${\displaystyle \lambda ={\tfrac {rx}{2}}-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta }$${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{2}}r(R-r({\tfrac {\pi }{2}}+\varphi ))-{\tfrac {1}{2}}r^{2}({\tfrac {\pi }{2}}-\varphi )={\tfrac {1}{2}}(rR-r^{2}\pi )}$${\displaystyle R=2\pi r}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}}$

最終的な合計A ₁  + ( A ₂  −  A ₃  +  A ₄ ) · 2 は です。計算の不正確さはすべて の不確実性と残差になります。これは、パラメータ間の関係を解明するのに役立ちます。は超越数なので、定義は再帰関係です。最初の推定値は の小さな分数です。数値の答えは、最も近い平方ヤードに切り上げられます。^{[4] は}、テザーの長さがサイロの円周の半分（または となる任意の長さ）の場合、または重複を考慮しない場合に与えられる答えであることは注目に値します。ヤギは、テザーの長さによって定義される大円の面積の 5% を除くすべてを食べることができ、食べられない面積の半分は、池/サイロの周囲の内側にあります。計算の唯一の不正確さは、提示された形状から の閉じた形式の表現を導出できないことです。しかし、のときの小さな不正確さは、最終結果に大きな影響を与えません。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}+({\tfrac {R^{3}}{6r}}-{\tfrac {R^{3}}{6r}}\cdot ({\tfrac {27}{64}}-({\tfrac {27}{32\pi }}\varphi -Z))+{\tfrac {1}{2}}(rR-r^{2}\pi ))\cdot 2}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \varphi \doteq ({\tfrac {R}{r}}-{\tfrac {\pi }{2}}-\varphi )^{-1}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle A=76256}$${\displaystyle \lim _{\varphi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}A={\tfrac {1}{2}}\pi \cdot R^{2}+{\tfrac {R^{3}}{6r}}}$${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}\leq \pi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi \ll 1}$

線の下の面積が境界間の線の長さに比例し、扇形の面積が扇形の弧の長さ ( )の比であるのと同様に、インボリュートとその境界円の間の面積もインボリュートの弧の長さに比例します。したがって、全体の面積は. . . . ${\displaystyle L=r\theta }$${\displaystyle A={\tfrac {r}{2}}\cdot L}$${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}r\theta ^{2}}$${\displaystyle A={\tfrac {r\theta }{3}}\cdot L={\tfrac {r^{2}\theta ^{3}}{6}}}$${\displaystyle 0<\theta <\theta _{i}}$${\displaystyle A=A_{1}+(A_{2}-A_{3}+A_{4})\cdot 2}$${\displaystyle A_{1}={\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}}$${\displaystyle A_{2}-A_{3}=\left[{\tfrac {r^{2}\theta ^{3}}{6}}\right]_{{\tfrac {3\pi }{2}}-\varphi }^{2\pi }}$${\displaystyle A_{4}={\tfrac {1}{2}}\pi r^{2}}$

を単位円の中心とします。ヤギ/雄牛/馬が円周上の点につながれています。動物が円の面積のちょうど半分 (図の白い部分、平面幾何学ではレンズと呼ばれる) を食むためには、ロープの長さはどれくらい必要ですか。${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle r}$

動物が到達できる領域は、2 つの円弧で区切られた非対称レンズの形をしています。

半径と中心間の距離が等しい 2つの円を持つレンズの面積は${\displaystyle A}$${\displaystyle R,r}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A={}&r^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}-r^{2}+R^{2}}{2dR}}\right)\\&{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {(d+r-R)(d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)}},\end{aligned}}}$

これは、円の面積の半分を次の ように簡略化します。${\displaystyle R=d=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =r^{2}\arccos \left({\frac {1}{2}}r\right)+\arccos \left(1-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)-{\frac {1}{2}}r{\sqrt {4-r^{2}}}.}$

この方程式は反復的に解くことしかできず、結果は（OEISのシーケンスA133731）になります。 ${\displaystyle r=1.1587\ldots }$

レンズ領域の右半分を 使用して統合することで${\displaystyle r<{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi =\int _{0}^{\sqrt {r^{2}-{\frac {r^{4}}{4}}}}\left({\sqrt {r^{2}-t^{2}}}+{\sqrt {1-t^{2}}}-1\right)\,dt}$

超越方程式

${\displaystyle r={\frac {\pi }{\pi r-{\sqrt {4-r^{2}}}+\left({\frac {4}{r}}-2r\right)\arcsin \left({\frac {1}{2}}r\right)}}}$

同じ解決策が続きます。

実際、および の恒等式を使用すると、レンズ面積から導かれる超越方程式を得ることができます。 ${\displaystyle \arccos \left(1-{\frac {r^{2}}{2}}\right)+2\arccos \left({\frac {|r|}{2}}\right)=\pi }$${\displaystyle \arcsin \left({\frac {r}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$

面積はセクター面積とセグメント面積の合計として表すことができます。^[5]

ひもが囲いの底に結ばれていると仮定して、ヤギが円周上にいるときにぴんと張ったひもが上向きに作る角度を と定義します。 を、大きな円の中心からではなく囲いの中心から同じ場所までの下向きの角度 と定義します。三角形の角度の合計は、結果として得られる二等辺三角形 ではとなり、となります。囲いの半径を 1 に設定し、 などの三角法を使用するととなります。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \alpha =\pi -2\theta }$${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$

放牧可能面積の半分が囲い地の面積の1/4であるとすると、次の式が得られます。円扇形と円弧面積の公式を使用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle A_{sector}+A_{segment}=\pi /4}$

${\displaystyle r^{2}\theta +\alpha -\sin(\alpha )={\frac {\pi }{2}}}$、

のみを前提としています。 ${\displaystyle 0<r<2}$

一つの方程式にまとめると

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=r{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}+(2-r^{2})\arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$。

を解いて両辺の余弦を取ると、明らかな制約を含めても追加の解が生成されることに注意してください。 ${\displaystyle \arccos \left({\frac {r}{2}}\right)}$${\displaystyle 1<r<{\sqrt {2}}}$

三角関数の恒等式を使用すると、これはレンズ面積と積分が提供するのと同じ超越方程式であることがわかります。

2020年にインゴ・ウリッシュは複素解析法を用いて、2つの等高線積分の比の余弦として閉形式の解を得た。^[6]

${\displaystyle r=2\cos \left({\frac {\displaystyle \oint _{C}{\frac {z}{2\sin z-2z\cos z-\pi }}\,dz}{\displaystyle \oint _{C}{\frac {2}{2\sin z-2z\cos z-\pi }}\,dz}}\right),}$

ここで、C は円です。 ${\displaystyle \left|z-{\frac {3\pi }{4}}\right|={\frac {\pi }{4}}}$

2 次元のヤギ問題に対する 3 次元の類似物は、球の内部につながれた鳥です。この鳥の飛行は、球の体積の半分に制限されるほど長い紐で結ばれています。3 次元の場合、点は単位球の表面上にあり、問題は、交差体の体積が単位球の体積のちょうど半分に等しくなるように、2 番目の球の半径を見つけることです。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle r}$

動物が到達できる単位球の体積は、異なる形状の側面を持つ 3 次元レンズの形をしており、 2 つの球面キャップによって定義されます。

半径と中心間の距離が等しい 2つの球面を持つレンズの体積は${\displaystyle V}$${\displaystyle R,r}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle V={\frac {\pi (R+r-d)^{2}\left(d^{2}+2dr-3r^{2}+2dR+6rR-3R^{2}\right)}{12d}},}$

これは、球の体積の半分 の場合に単純化され、${\displaystyle R=d=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi =-{\frac {1}{4}}\pi r^{4}+{\frac {2}{3}}\pi r^{3},}$

解決につながる${\displaystyle r=1.2285\ldots }$

次元が増加すると、到達可能な面積は臨界長さで球の半分に近づくことが実証されています。 の場合、カバーされる面積は球の面積のほとんどに近づきません。 の場合、カバーされる面積は球の全面積に近づきます。^{[7] [8]}${\displaystyle r={\sqrt {2}}}$${\displaystyle r<{\sqrt {2}}}$${\displaystyle r>{\sqrt {2}}}$

• ミニバー夫人の問題、円錐とレンズの面積を等しくするもう一つの問題

• レイモンド・クレア・アーチボルド(1921)。 「円のインボリュートと牧草地問題」。アメリカ数学月刊誌。28 (8–9): 328–329。doi :10.1080/00029890.1921.11986059。
• フレイザー、マーシャル (1982) 。 「2匹のヤギの物語」。数学雑誌。55 (4): 221–227。doi :10.1080/0025570X.1985.11976987。JSTOR  2690163。
• ジャン・ジャクラン (2003)。 「ハイパーシェーブルの問題」。直角位相(49): 6–12。ISSN  1142-2785。

• ワイスタイン、エリック・W.「ヤギの問題」。マスワールド。
• 「数学者が何世紀も前からのヤギの放牧問題を正確に解決」Quanta Magazine。
• ヤギ問題 -ヤギ問題に関するNumberphile のビデオ。