モール円

モール円は、コーシー応力テンソルの変換則を 2 次元でグラフィカルに表現したものです 。

モール円は、機械工学における材料の強度、地盤工学における土壌の強度、構造工学における建築物の強度に関する計算でよく使用されます。また、多くの平面における応力を垂直成分と水平成分に減らして計算するためにも使用されます。これらは主応力が計算される主平面と呼ばれます。モール円は、主平面と主応力をグラフィカルに表現するためにも使用でき、そのための最も簡単な方法の1つです。^[1]

連続体とみなされる物質体の応力解析を実行すると、座標系に対する特定の物質点におけるコーシー応力テンソルの成分がわかります。次に、モール円を使用して、回転した座標系、つまりその点を通過する異なる方向の平面に作用する応力成分をグラフィカルに決定します。

円上の各点の横座標と縦座標 ( 、) は、回転座標系に作用する法線応力とせん断応力の成分の大きさです。言い換えると、円は、各平面上のあらゆる方向における応力の状態を表す点の軌跡であり、軸は応力要素の主軸を表します。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

19世紀のドイツ人エンジニア、カール・クルマンは、曲げ加工中の水平梁の縦応力と垂直応力を考慮した応力のグラフィカルな表現を初めて考案しました。彼の研究は、同じドイツのエンジニアであるクリスチャン・オットー・モール（応力円の由来）に影響を与え、モールはそれを2次元と3次元の両方の応力に拡張し、応力円に基づいた破壊基準を開発しました。 ^[2]

ある点における応力状態を表す別のグラフィカル手法としては、ラメの応力楕円体やコーシーの応力二次曲線などがあります。

モール円は、ひずみテンソルや慣性モーメントテンソルを含む、任意の対称2x2テンソル行列に適用できます。

内部力は、連続体と仮定される変形可能な物体の粒子間に、加えられた外力、すなわち表面力または体積力に対する反応として生じます。この反応は、連続体に対するオイラーの運動法則に従います。これは、粒子に対するニュートンの運動法則と同等です。これらの内部力の強さの尺度は、応力と呼ばれます。物体は連続体と仮定されるため、これらの内部力は物体の体積内で連続的に分布します。

構造工学、機械工学、地質工学などの工学では、物体内の応力分布、たとえばトンネル周辺の岩盤、飛行機の翼、建物の柱などの応力は、応力解析によって判定されます。応力分布を計算するということは、物体内のすべての点（物質粒子）における応力の判定を意味します。コーシーによれば、物体内の任意の点（図 2）の応力は、連続体と仮定すると、コーシー応力テンソルと呼ばれるタイプ (2,0)の2 次テンソルの9 つの応力成分によって完全に定義されます 。${\displaystyle \sigma_{ij}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}& \sigma _{z}\\\end{行列}}\right]}$

物体内の応力分布が座標系 に関して決定された後、回転した座標系 に関して特定の物質点における応力テンソルの成分、すなわち、その注目点を通過し座標系と角度を形成する異なる方向の平面に作用する応力を計算することが必要となる場合があります(図 3)。たとえば、最大垂直応力と最大せん断応力、およびそれらが作用する平面の方向を見つけることが目的です。これを実現するには、座標系を回転させながらテンソル変換を行う必要があります。テンソルの定義から、コーシー応力テンソルはテンソル変換法則に従います。コーシー応力テンソルのこの変換法則をグラフィカルに表現したものが、応力のモール円です。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (x',y')}$${\displaystyle (x,y)}$

2 次元では、任意の 2 つの垂直方向に対する特定の物質点の応力テンソルは、3 つの応力成分のみで完全に定義されます。特定の座標系では、これらの応力成分は、法線応力と、せん断応力です。角運動量のバランスから、コーシー応力テンソルの対称性が実証されます。この対称性は、 を意味します。したがって、コーシー応力テンソルは次のように記述できます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \sigma_{x}}$${\displaystyle \sigma_{y}}$${\displaystyle \tau_{xy}}$${\displaystyle \tau_{xy}=\tau_{yx}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]}$

目的は、モール円を使用して、回転座標系、つまり、 -平面を通り、平面に垂直な異なる方向の平面 上の応力成分とを見つけることです(図 4)。回転座標系は、元の座標系 と角度を成します。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle (x',y')}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x',y')}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle (x,y)}$

平面応力と平面ひずみの2次元の場合のモール円の方程式を導くには、まず、平面に平行な方向、つまりページまたは画面に垂直な 方向に単位面積を持つ、質点の周りの2次元微小材料要素（図4）を考えます。${\displaystyle P}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

微小要素上の力の平衡から、法線応力とせん断応力の大きさは次のように表されます。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$

両方の方程式は、既知のコーシー応力テンソルにテンソル変換則を適用することによっても得られます。これは、およびの方向の力の静的平衡を実行することと同等です。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

これら 2 つの方程式は、モール円のパラメトリック方程式です。これらの方程式では、はパラメータであり、と は座標です。つまり、横軸と縦軸 を持つ座標系を選択し、パラメータ に値を与えると、得られた点が円上に配置されること になります。${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \theta }$

これらのパラメトリック方程式からパラメータを消去すると、モール円の非パラメトリック方程式が得られます。これは、およびの方程式を並べ替えることで実現できます。まず、最初の方程式の最初の項を転置し、各方程式の両辺を2乗してから加算します。したがって、次の式が得られます。 ${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

これは、次の形の円（モール円） の方程式である。

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$

座標系内の座標を持つ点を中心と する半径。 ${\displaystyle r=R}$${\displaystyle (a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)}$${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$

モール円を使用する際に考慮する必要がある 2 つの異なる符号規則があります。1 つは「物理空間」の応力成分に対する符号規則で、もう 1 つは「モール円空間」の応力成分に対する符号規則です。さらに、2 つの符号規則のそれぞれにおいて、工学力学(構造工学および機械工学) の文献は地質力学の文献とは異なる符号規則に従います。標準的な符号規則はなく、特定の符号規則の選択は、特定の問題に対する計算と解釈の利便性によって左右されます。これらの符号規則の詳細な説明は、以下で示します。

図 4 を使用したモール円の式の導出は、工学力学の符号規則に従っています。この記事でも工学力学の符号規則を使用します。

コーシー応力テンソルの慣例（図 3 および図 4）から、応力成分の最初の下付き文字は応力成分が作用する面を示し、2 番目の下付き文字は応力成分の方向を示します。したがって、せん断応力は、-軸の正の方向に法線ベクトルを持つ面に作用し、-軸の正の方向に作用します。 ${\displaystyle \tau _{xy}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

物理空間の符号規則では、正の法線応力は作用面（引張）に対して外側に向かい、負の法線応力は作用面（圧縮）に対して内側に向かいます（図 5）。

物理空間の符号規則では、正のせん断応力は、軸の正の方向にある材料要素の正の面に作用します。また、正のせん断応力は、軸の負の方向にある材料要素の負の面に作用します。正の面は軸の正の方向に法線ベクトルを持ち、負の面は軸の負の方向に法線ベクトルを持ちます。たとえば、せん断応力と は正の面に作用するため正であり、それぞれ- 軸と- 軸の正の方向にも作用します(図 3)。同様に、負の面に作用するそれぞれの反対のせん断応力と は、それぞれ- 軸と- 軸の負の方向に作用するため、負の符号を持ちます。 ${\displaystyle \tau _{xy}}$${\displaystyle \tau _{yx}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau _{xy}}$${\displaystyle \tau _{yx}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

モール円空間符号規則では、法線応力は物理空間符号規則の法線応力と同じ符号を持ちます。つまり、正の法線応力は作用面の外側に作用し、負の法線応力は作用面の内側に作用します。

ただし、モール円空間におけるせん断応力の慣習は、物理空間における慣習とは異なります。モール円空間の符号慣習では、正のせん断応力は材料要素を反時計回りに回転させ、負のせん断応力は材料を時計回りに回転させます。このように、モール円空間ではせん断応力成分は正であり、モール円空間ではせん断応力成分は負です。 ${\displaystyle \tau _{xy}}$${\displaystyle \tau _{yx}}$

モール円空間を描画するには、数学的に正しいモール円を生成する 2 つのオプションがあります。

1. 正のせん断応力は上向きにプロットされます（図5、符号規則#1）
2. 正のせん断応力は下向きにプロットされ、つまり- 軸が反転されます (図 5、符号規則 #2)。${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

正のせん断応力を上向きにプロットすると、モール円上の角度は時計回りに正に回転しますが、これは物理空間の慣例とは逆です。そのため、一部の著者^[3]は、せん断応力の物理空間の慣例と同様に、モール円上の角度が反時計回りに正に回転するように、正のせん断応力を下向きにプロットすることを好みます。 ${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle 2\theta }$

モール円空間でせん断応力軸が下向きになるという「問題」を克服するために、正のせん断応力は材料要素を時計回りに回転させ、負のせん断応力は材料要素を反時計回りに回転させるという別の符号規則があります (図 5、オプション 3)。この方法では、正のせん断応力はモール円空間で上向きにプロットされ、角度はモール円空間で反時計回りに正に回転します。この別の符号規則では、正のせん断応力は反時計回りのせん断応力でもあり、両方とも下向きにプロットされるため、図 5 の符号規則 #2 と同じ円が生成されます。また、負のせん断応力は時計回りのせん断応力であり、両方とも上向きにプロットされます。 ${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

この記事は、物理空間については工学力学の符号規則に従い、モール円空間については代替の符号規則に従います（図5の符号規則#3）。

図 4 に示すように、研究対象の物体内の点における応力成分、、 がわかっていると仮定すると、 における応力の状態に対するモール円を作成する手順は次のようになります。 ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \tau _{xy}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

1. 水平軸と垂直 軸を持つ直交座標系を描きます。${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$
2. 選択した符号規則に従って、両方の垂直な平面と上の既知の応力成分に対応する空間に、それぞれ2つの点とをプロットします（図4と6）。${\displaystyle A(\sigma _{y},\tau _{xy})}$${\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})}$${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
3. 点と点を直線で結んで円の直径を描きます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$
4. モール円を描きます。円の中心は直径線の中点であり、この線と軸の交点に相当します。${\displaystyle O}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

主応力の大きさは、円が - 軸と交差する点と(図 6) の横座標です。主主応力の大きさは、常にこれら 2 点の横座標の絶対値のうち最大のものになります。同様に、副主応力の大きさは、常にこれら 2 点の横座標の絶対値のうち最小のものになります。予想どおり、これら 2 点の縦座標は 0 で、主平面のせん断応力成分の大きさに対応します。あるいは、主応力の値は次のように求めることもできます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\max }=\sigma _{\text{avg}}+R}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\min }=\sigma _{\text{avg}}-R}$

ここで、平均法線応力 の大きさは中心の横座標であり、次のように表される。 ${\displaystyle \sigma _{\text{avg}}}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle \sigma _{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})}$

円の半径 の長さ（2点を通る円の方程式に基づく）は次のように表される。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

最大せん断応力と最小せん断応力は、それぞれ円の最高点と最低点の座標に対応します。これらの点は、円の中心を通る垂直線と円の交点にあります。したがって、最大せん断応力と最小せん断応力の大きさは、円の半径の値に等しくなります。${\displaystyle O}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R}$

前述のように、2 次元応力解析を実行すると、物質点 における応力成分、、がわかります。これらの応力成分は、図 5 と 6 に示すように、2 つの垂直な平面 と に作用します。モール円は、平面 と角度を成してを通過する他の平面に作用する応力成分と、つまり円上の任意の点の座標を見つけるために使用されます。これには、2 倍角と、平面の極または原点という 2 つのアプローチを使用できます。 ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \tau _{xy}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle B}$

図 6 に示すように、応力が作用する平面に対して反時計回りの角度で平面に作用する応力成分を決定するには、既知の応力点から点まで円の周りを同じ反時計回り方向に角度 移動します。つまり、モール円内の 線と線の間の角度 です。${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})}$${\displaystyle D(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle {\overline {OB}}}$${\displaystyle {\overline {OD}}}$

2 倍角アプローチは、通過する任意の 2 つの物理平面に対する法線ベクトル間の角度(図 4) が、モール円上の対応する応力点と円の中心を結ぶ 2 本の線間の角度の半分であるという事実に基づいています。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle P}$${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$

この 2 倍の角度の関係は、モール円の媒介変数方程式が の関数であるという事実から生じます。また、図 5 の周りの材料要素の平面と平面は角度 で分離されており、モール円では角度 (角度の 2 倍) で表されていることもわかります。${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$${\displaystyle 180^{\circ }}$

2 番目のアプローチでは、モール円上の点、つまり極または平面の原点を決定します。極から引いた直線はどれも、その直線と同じ方向 (平行) に傾斜した平面上の応力状態を表す点でモール円と交差します。したがって、任意の特定の平面上の応力成分とがわかっていれば、特定の座標とモール円を通るその平面に平行な線を引き、その線とモール円の交点として極を見つけることができます。例として、図 7 に示すように、応力成分、、 を持つ応力状態があるとします。まず、点 から の作用面に平行な線を引くか、または別の方法を選択した場合は、点 から の作用面に平行な線を引くことができます。これら 2 本の線のいずれかとモール円の交点が極です。極が決定したら、垂直と角度をなす平面、つまり法線ベクトルが水平面と角度をなす平面上の応力状態を調べるために、極からその平面に平行な線を引くことができます (図 7 を参照)。その平面上の法線応力とせん断応力は、線とモール円の交点の座標になります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$${\displaystyle \sigma _{x},\!}$${\displaystyle \sigma _{y},\!}$${\displaystyle \tau _{xy},\!}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$

最大主応力と最小主応力が作用する平面（主平面とも呼ばれる）の方向は、モール円でそれぞれ角度 ∠BOC と ∠BOE を測定し、それらの各角度の半分を取ることによって決定できます。したがって、と 間の角度 ∠BOC は、主主平面が平面となす角度の 2 倍です。 ${\displaystyle {\overline {OB}}}$${\displaystyle {\overline {OC}}}$${\displaystyle \theta _{p}}$${\displaystyle B}$

角度とは次の式からも求めることができます。 ${\displaystyle \theta _{p1}}$${\displaystyle \theta _{p2}}$

${\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{y}-\sigma _{x}}}}$

この方程式は、離れている の2 つの値を定義します(図)。この方程式は、円の幾何学から直接導き出すことも、円の のパラメトリック方程式を0 に等しくすることによって導き出すこともできます (主平面のせん断応力は常に 0 です)。 ${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }}$${\displaystyle 90^{\circ }}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

図 8 および図 9 に示すように、応力状態にある材料要素の 1 つの側面が水平面に対して 10° の方向を向いていると仮定します。モール円を使用して、次の値を求めます。

• 行動面の方向。
• 最大せん断応力とそれらの作用面の方向。
• 水平面上の応力成分。

応力変換式または応力変換法則を使用して答えを確認します。

解決策: 物理空間の工学力学の符号規則 (図 5) に従うと、この例の材料要素の応力成分は次のようになります。

${\displaystyle \sigma _{x'}=-10{\textrm {MPa}}}$

${\displaystyle \sigma _{y'}=50{\textrm {MPa}}}$

${\displaystyle \tau _{x'y'}=40{\textrm {MPa}}}$。

この特定の応力状態のモール円を描く手順に従って、まず、 -軸を上に向けた直交座標系を描きます。 ${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

次に、図 8 と図 9 の両方に示すように、平面 A と平面 B での応力の状態を表す 2 つの点 A(50,40) と B(-10,-40) をプロットします。これらの点は、モール円空間 (図 5) の工学力学の符号規則に従っています。この規則では、材料要素から外側に向かう正の法線応力と、材料要素を時計回りに回転させる各平面での正のせん断応力を想定しています。このように、平面 B に作用するせん断応力は負で、平面 A に作用するせん断応力は正です。円の直径は、点 A と点 B を結ぶ線です。円の中心は、この線と- 軸の交点です。中心の位置と直径の長さがわかっているので、この特定の応力状態のモール円をプロットできます。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

軸と交差する点 E と点 C (図 8 と図 9) の横座標は、それぞれ最小および最大の法線応力の大きさです。点 E と点 C の縦座標は、それぞれ副主平面と主主平面の両方に作用するせん断応力の大きさで、主平面の場合はゼロです。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

モール円を使用する目的は、円上の異なる点の座標を実際に測定して、異なる応力成分をグラフィカルに見つけることですが、結果を解析的に確認する方が便利です。したがって、円の中心の半径と横座標は、

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(-10-50)\right]^{2}+40^{2}}}\\&=50{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {avg} }&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\\&={\tfrac {1}{2}}(-10+50)\\&=20{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

そして主応力は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{\mathrm {avg} }+R\\&=70{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{\mathrm {avg} }-R\\&=-30{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}}$

点Hと点G（図8と図9）の座標は、それぞれ最小せん断応力と最大せん断応力の大きさです。点Hと点Gの横軸は、それぞれ最小せん断応力と最大せん断応力が作用する同じ平面に作用する法線応力の大きさです。最小せん断応力と最大せん断応力の大きさは、次のように解析的に求めることができます。

${\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R=\pm 50{\textrm {MPa}}}$

最小せん断応力と最大せん断応力が作用する同じ平面に作用する法線応力は、${\displaystyle \sigma _{\mathrm {avg} }}$

主法線応力と主せん断応力の方向を見つけるには、二重角度アプローチ (図 8) または極アプローチ (図 9) のいずれかを選択できます。

2倍角アプローチを使用して、モール円（図8）の∠BOCと∠BOEの角度を測定し、物理空間で主応力と副主応力が平面Bとなす角度の2倍を見つけます。これらの角度のより正確な値を取得するには、手動で角度を測定する代わりに、解析式を使用できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}2\theta _{\mathrm {p} }=\arctan {\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}=\arctan {\frac {2*40}{(-10-50)}}=-\arctan {\frac {4}{3}}\end{aligned}}}$

一つの解は次のようになります。図8を見ると、この値は∠BOEの角度に対応しています。したがって、小主角は ${\displaystyle 2\theta _{p}=-53.13^{\circ }}$

${\displaystyle \theta _{p2}=-26.565^{\circ }}$

そして、主角は

${\displaystyle {\begin{aligned}2\theta _{p1}&=180-53.13^{\circ }=126.87^{\circ }\\\theta _{p1}&=63.435^{\circ }\\\end{aligned}}}$

この特定の例では、 と は(-軸に向いている)の作用面に対する角度であり、 (-軸に向いている) の作用面に対する角度ではないことに注意してください。${\displaystyle \theta _{p1}}$${\displaystyle \theta _{p2}}$${\displaystyle \sigma _{x'}}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle x}$

極アプローチを使用して、まず極または平面の原点を特定します。そのためには、モール円上の点 A を通り、水平に対して 10° 傾いた線、つまり、作用する平面 A に平行な線を引きます。極は、この線がモール円と交差する点です (図 9)。極の位置を確認するには、作用する平面 B に平行なモール円上の点 B を通り、線を引きます。この線は、極でもモール円と交差します (図 9)。 ${\displaystyle \sigma _{y'}}$${\displaystyle \sigma _{x'}}$

極からモール円上のさまざまな点まで線を引きます。これらの線がモール円と交差する点の座標は、線と同じ傾きを持つ物理空間の平面に作用する応力成分を示します。たとえば、極から円内の点 C までの線は、が作用する物理空間の平面と同じ傾きを持ちます。この平面は、モール円空間でも物理空間でも、平面 B と 63.435° の角度をなします。同様に、極から点 E、D、F、G、H まで線をたどり、同じ向きの平面上の応力成分を見つけます。 ${\displaystyle \sigma _{1}}$

一般的な 3 次元の点における応力のモール円を構築するには、まず主応力 の値とその主方向を評価する必要があります。 ${\displaystyle \left(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$

一般的な座標系、座標系の代わりに主軸を座標系として考え、 と仮定すると、単位ベクトル を持つ与えられた平面に対する応力ベクトル の法線成分とせん断成分は、次の式を満たします。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}}$${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(T^{(n)}\right)^{2}&=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}\\\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}.}$

がわかっているので、ガウスの消去法を使って、、、を解くことができ、次の式が得られます。 ${\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$${\displaystyle n_{1}^{2}}$${\displaystyle n_{2}^{2}}$${\displaystyle n_{3}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})}{(\sigma _{1}-\sigma _{2})(\sigma _{1}-\sigma _{3})}}\geq 0\\n_{2}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})}{(\sigma _{2}-\sigma _{3})(\sigma _{2}-\sigma _{1})}}\geq 0\\n_{3}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})}{(\sigma _{3}-\sigma _{1})(\sigma _{3}-\sigma _{2})}}\geq 0.\end{aligned}}}$

、およびは非負な ので、これらの式の分子は次式を満たす。${\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}}$${\displaystyle (n_{i})^{2}}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})\geq 0}$分母として${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}>0}$${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}>0}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})\leq 0}$分母として${\displaystyle \sigma _{2}-\sigma _{3}>0}$${\displaystyle \sigma _{2}-\sigma _{1}<0}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})\geq 0}$分母として${\displaystyle \sigma _{3}-\sigma _{1}<0}$${\displaystyle \sigma _{3}-\sigma _{2}<0.}$

これらの式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3})\right]^{2}\leq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

これらは、応力、 、に対する 3 つのモール円の方程式で、半径はそれぞれ、、 、、中心の座標はそれぞれ、、 です。 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle R_{1}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})}$${\displaystyle R_{2}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})}$${\displaystyle R_{3}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3}),0\right]}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3}),0\right]}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}),0\right]}$

モール円に関するこれらの方程式は、すべての許容応力点がこれらの円上または円で囲まれた陰影付きの領域内にあることを示しています (図 10 を参照)。円に関する方程式を満たす応力点は、円上または円の外側にあります。円に関する方程式を満たす応力点は、円上または円の内側にあります。そして最後に、円に関する方程式を満たす応力点は、円上または円の外側にあります。 ${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })}$${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle C_{3}}$

• 臨界面解析

• ビール、フェルディナンド・ピエール、エルウッド・ラッセル・ジョンストン、ジョン・T・デウルフ（1992）。『材料力学』。McGraw -Hill Professional。ISBN 0-07-112939-1。
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• ホルツ、ロバート D.、コバックス、ウィリアム D. (1981)。土質工学入門。プレンティス ホール土木工学および工学力学シリーズ。プレンティス ホール。ISBN 0-13-484394-0。
• イェーガー、ジョン・コンラッド、クック、NGW、ジマーマン、RW (2007)。岩石力学の基礎（第4版）。ワイリー・ブラックウェル。pp.9–41。ISBN 978-0-632-05759-7。
• ジュミキス、アルフレッド・R. (1969)。理論土質力学：土質力学と基礎工学への実際的応用。Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0-442-04199-3。
• パリー、リチャード・ホーリー・グレイ（2004年）。モール円、応力経路、地盤工学（第2版）。テイラー＆フランシス。pp. 1–30。ISBN 0-415-27297-1。
• ティモシェンコ、スティーブン P.、ジェームズ・ノーマン・グーディアー(1970)。弾性理論(第 3 版)。マグロウヒル インターナショナル エディション。ISBN 0-07-085805-5。
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• レベッカ・ブランノンによるモールの円とその他の円
• DoITPoMS 教育学習パッケージ - 「応力解析とモール円」