ラメの応力楕円体

ラメの応力楕円体は、ある点における応力状態をグラフィカルに表現するためのモール円の代替手段です。楕円体の表面は、連続体内の特定の点を通過するすべての平面に作用するすべての応力ベクトルの端点の軌跡を表します。言い換えれば、連続体内の特定の点におけるすべての応力ベクトルの端点は応力楕円体の表面上にあります。つまり、対象となる材料点に位置する楕円体の中心から楕円体の表面上の点までの半径ベクトルは、その点を通過する平面上の応力ベクトルに等しくなります。2 次元では、表面は楕円で表されます。

楕円体の方程式が分かれば、その点を通る任意の平面における応力ベクトルの大きさを求めることができる。

応力楕円体の方程式を決定するために、座標軸を考慮します。${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,\!}$主軸の方向、すなわち主応力空間で測定される。したがって、応力ベクトルの座標は次のようになる。${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$法線単位ベクトルを持つ平面上${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$特定の地点を通過する${\displaystyle P\,\!}$は

${\displaystyle T_{1}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{3}n_{3}\,}$

そしてそれを知って${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$は単位ベクトルです。

${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}={\frac {T_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}+{\frac {T_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {T_{3}^{2}}{\sigma _{3}^{2}}}=1\,}$

これは座標系の原点を中心とする楕円体の方程式であり、楕円体の半軸の長さは主応力の大きさに等しく、つまり楕円体と主軸との交点は${\displaystyle \pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}\,\!}$。

• 最初の応力不変量${\displaystyle I_{1}\,\!}$は、楕円体の主半径の合計に正比例する。
• 第二の応力不変量${\displaystyle I_{2}\,\!}$は、楕円体の3つの主面積の合計に正比例する。3つの主面積とは、各主平面上の楕円のことである。
• 3番目のストレス不変量${\displaystyle I_{3}\,\!}$楕円体の体積に正比例する。
• 3 つの主応力のうち 2 つが数値的に等しい場合、応力楕円体は回転楕円体になります。^{[ 1 ]}したがって、2 つの主領域は楕円で、3 つ目は円になります。
• すべての主応力が等しく、符号も同じであれば、応力楕円体は球となり、互いに直交する任意の３方向を主軸とすることができる。^{[ 1 ]}

しかし、応力楕円体だけでは、与えられた牽引ベクトルが作用する平面を示すことはできません。主応力は平面に垂直に作用するため、応力ベクトルが主方向のいずれかに沿っている場合にのみ、平面の方向を知ることができます。他の平面の向きを見つけるために、応力方向曲面^{[ 1 ]}または応力方向二次曲面^{[ 1 ]}を用いました。これは次の式で表されます。

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}}}+{\frac {x_{3}^{2}}{\sigma _{3}}}=1}$

応力楕円体の半径ベクトルで表される応力は、半径ベクトルとの交点における応力方向面の接平面に平行な平面に作用する。^{[ 1 ]}

• ティモシェンコ、スティーブン・P.、ジェームズ・ノーマン・グッディエ（1970）。弾性理論（第3 版）。マグロウヒル・インターナショナル・エディションズ。ISBN 0-07-085805-5。
• ティモシェンコ、スティーブン・P. (1983).材料力学の歴史：弾性理論と構造理論の歴史に関する簡単な解説付き. ドーバー物理学シリーズ. ドーバー出版. ISBN 0-486-61187-6。