二項過程

二項過程は確率論における特殊な点過程です。

が確率分布、が固定された自然数であるとします。が分布 を持つiidランダム変数であるとすると、すべての に対してとなります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X_{i}\sim P}$${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$

そして、 nとPに基づく二項過程はランダムな尺度である。

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

どこ${\displaystyle \delta _{X_{i}(A)}={\begin{cases}1,&{\text{if }}X_{i}\in A,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

二項過程という名前は、すべての測定可能な集合に対して、ランダム変数がパラメータとを持つ二項分布に従うという事実に由来しています。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \xi (A)}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \xi (A)\sim \operatorname {Bin} (n,P(A)).}$

二項過程のラプラス変換は次のように表さ れる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{n}}$

すべての正の測定可能な関数に対して。 ${\displaystyle f}$

二項過程の強度の尺度は 次のように与えられる。 ${\displaystyle \operatorname {E} \xi }$${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle \operatorname {E} \xi =nP.}$

二項過程の一般化は混合二項過程です。これらの点過程では、点の数は二項過程のように決定論的ではなく、ランダム変数によって決定されます。したがって、 を条件とする混合二項過程は、 およびに基づく二項過程です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K=n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$

• カレンベルグ、オラフ（2017）。ランダム測定、理論と応用。スイス：シュプリンガー。doi ： 10.1007 / 978-3-319-41598-7。ISBN 978-3-319-41596-3。