マイクロストリップ

マイクロストリップは、導体が「基板」と呼ばれる誘電体層によってグランドプレーンから分離されている任意の技術で製造できる電気伝送線路の一種です。マイクロストリップ線路は、マイクロ波周波数信号を伝送するために使用されます。

代表的な実現技術としては、プリント基板（PCB）、誘電体層でコーティングされたアルミナ、またはシリコン、あるいはその他の類似技術がある。アンテナ、カプラ、フィルタ、電力分配器などのマイクロ波部品は、基板上の金属化パターンとしてデバイス全体が存在するマイクロストリップから形成できる。したがって、マイクロストリップは従来の導波管技術よりもはるかに安価であり、はるかに軽量でコンパクトである。マイクロストリップは、ストリップラインの競合製品としてITT研究所によって開発された（1952年12月のIRE議事録でGriegとEngelmannによって初めて発表された）。^[1]

導波管と比較したマイクロストリップの欠点は、一般的に電力処理能力が低く、損失が大きいことです。また、導波管とは異なり、マイクロストリップは通常密閉されていないため、クロストークや意図しない放射の影響を受けやすくなります。

コストを最低限に抑えるには、マイクロストリップ デバイスを通常のFR-4 (標準 PCB) 基板上に構築します。ただし、FR4 の誘電損失はマイクロ波周波数で高すぎることや、誘電率が十分に厳密に制御されていないことがよくあります。これらの理由から、アルミナ基板が一般的に使用されます。モノリシック統合の観点からは、集積回路/モノリシック マイクロ波集積回路テクノロジを備えたマイクロストリップは実現可能かもしれませんが、そのパフォーマンスは、使用可能な誘電体層と導体の厚さによって制限される可能性があります。

マイクロストリップラインは、高速デジタル PCB 設計でも使用されます。この設計では、歪みを最小限に抑え、高いクロストークと放射を回避しながら、アセンブリのある部分から別の部分に信号をルーティングする必要があります。

マイクロストリップは平面伝送線路の多くの形式の 1 つであり、他にはストリップラインや共平面導波路があり、これらすべてを同じ基板上に統合することが可能です。

差動マイクロストリップ（マイクロストリップラインのバランス信号ペア）は、 DDR2 SDRAMクロック、USB Hi-Speedデータライン、PCI Expressデータライン、LVDSデータラインなどの高速信号によく使用され、多くの場合、すべて同じPCB上にあります。^{[2] [3] [4]ほとんどのPCB設計ツールは、このような}差動ペアをサポートしています。^{[5] [6]}

マイクロストリップラインによって運ばれる電磁波は、一部は誘電体基板内に、一部は基板上の空気中に存在します。一般に、基板の誘電率は空気の誘電率とは異なり (空気の誘電率よりも大きい)、そのため波は不均質な媒体を伝わります。その結果、伝搬速度は基板内の電波の速度と空気中の電波の速度の間になります。この動作は、通常、マイクロストリップの有効誘電率を述べることによって説明されます。これは、同等の均質な媒体 (つまり、同じ伝搬速度をもたらす媒体) の誘電率です。

不均質な媒体のさらなる影響としては、次のものが挙げられます。

• この線路は真のTEM波をサポートしません。ゼロ以外の周波数では、EフィールドとHフィールドの両方が縦方向の成分を持ちます（ハイブリッドモード）。^[7]ただし、縦方向の成分は小さいため、支配的なモードは準TEMと呼ばれます。^[8]
• この線路は分散性がある。周波数が増加すると、実効誘電率は基板の誘電率に向かって徐々に上昇し、位相速度は徐々に低下する。^{[7] [9]}これは非分散性の基板材料の場合でも当てはまる（基板の誘電率は通常、周波数の増加とともに低下する）。
• 線路の特性インピーダンスは周波数によってわずかに変化します（非分散性基板材料の場合でも同様です）。非TEMモードの特性インピーダンスは一意に定義されておらず、使用される正確な定義に応じて、マイクロストリップのインピーダンスは周波数の増加とともに上昇、下降、または下降してから上昇します。[ 10 ^]特性インピーダンスの低周波限界は準静的特性インピーダンスと呼ばれ、特性インピーダンスのすべての定義で同じです。
• 波動インピーダンスは線路の断面にわたって変化します。
• マイクロストリップラインは放射し、ストリップラインでは純粋なリアクタンスとなるスタブやポストなどの不連続要素は、それらからの放射により小さな抵抗成分を持ちます。^[11]

マイクロストリップ線路の準静的特性インピーダンスの閉形式の近似式は、 Wheelerによって開発された：^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle Z_{\textrm {マイクロストリップ}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{r})}}}}\mathrm {ln} \left(1+{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+1/\varepsilon _{\text{r}}}{2}}}}\right)\right),}$

ここで、w _{eff は}実効幅であり、ストリップの実際の幅に、金属化の非ゼロの厚さを考慮した補正を加えたものである。

${\displaystyle w_{\textrm {eff}}=w+t{\frac {1+1/\varepsilon _{r}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{w/t+11/10}}\right)^{2}}}}\right).}$

ここで、Z ₀は自由空間のインピーダンス、ε _rは基板の比誘電率、 wはストリップの幅、hは基板の厚さ（「高さ」）、tはストリップ金属化の厚さです。

この式は、次の 3 つの異なるケースで正確な解に漸近します。

1. w ≫ h、任意のε _r（平行板伝送線路）、
2. w ≪ h、 ε _r = 1（グランドプレーン上の配線）、および
3. w ≪ h , ε _r ≫ 1。

他のほとんどの場合、インピーダンスの誤差は1%未満で、常に2%未満であると主張されています。^[14]すべてのアスペクト比を1つの式でカバーすることにより、Wheeler 1977はWheeler 1965 ^{[13]を改良しました。Wheeler 1965 [13]は}w / h > 3.3に対して1つの式を提供し、 w / h ≤ 3.3に対して別の式を提供します（したがって、 w / h = 3.3で結果に不連続が生じます）。

ハロルド・ウィーラーは「マイクロストリップ」と「特性インピーダンス」という用語を嫌い、論文ではそれらを使用することを避けました。

特性インピーダンスの近似式は、他の著者によって数多く提案されています。ただし、そのほとんどは、限られた範囲のアスペクト比にのみ適用可能で、そうでなければ、範囲全体を部分的にカバーします。

^{特に、ホイーラー[12] [13]}を修正したハマースタッド^[15]が提案した一連の方程式は、おそらく最も頻繁に引用されている。

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}}$

ここでεeff_は有効誘電率であり、次のように近似される：^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\textrm {eff}}&={\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}-1}{2}}q\\q&={\frac {1}{\sqrt {1+12(h/w)}}}+q_{2}\\q_{2}&={\begin{cases}0.04{\bigg (}1-{\dfrac {w}{h}}{\bigg )}^{2},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\0,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\\\end{cases}}.\\\end{aligned}}}$

マイクロストリップ回路は、用途によっては金属製の筐体を必要とする場合があります。筐体の上部カバーがマイクロストリップに侵入すると、プレートとフリンジ容量の追加経路により、マイクロストリップの特性インピーダンスが低下する可能性があります。このような場合、マイクロストリップの空気中における特性インピーダンス ( ε _r = 1) を調整する式が開発されています。ここで、、および は空気中の覆われていないマイクロストリップのインピーダンスです。 の式は金属カバーを考慮して調整され、式 、を使用して誘電体を使用したZ _{o を}計算するために使用できます。ここで、 は金属カバーに合わせて調整されたです。有限ストリップ厚補正は、すべての空気計算とすべての誘電体計算を使用して、上記の と の両方の計算にを代入することで計算できます。以下の式で、c はカバーの高さ、つまり誘電体の上部から金属カバーまでの距離です。^[17]${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$${\displaystyle Z_{om}^{a}=Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}$${\displaystyle Z_{o\infty }^{a}}$${\displaystyle \varepsilon _{re}}$${\displaystyle Z_{om}=Z_{om}^{a}/{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$${\displaystyle \varepsilon _{re}}$${\displaystyle w_{\textrm {eff}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$${\displaystyle \varepsilon =1}$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}}$

の式は次のとおりです。 ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re_{m}}&={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}{\frac {q}{q_{C}}}\\q&{\text{ is defined above}}\\q_{C}&=tanh(1.043+.121{\frac {c}{h}}-1.164{\frac {h}{c}})\\\end{aligned}}}$。

の式は ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-tanh{\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-tanh^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}}$。

の式は ${\displaystyle Z_{om}}$

${\displaystyle Z_{om}={\frac {Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}}$。

以下の式は 1% 以内の精度であると主張されています。

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\leq \varepsilon _{r}\leq 30\\&0.05\leq w/h\leq 30.0\\&t/h\leq 0.1\\&c/h\geq 1.0\\\end{aligned}}}$。

誘電体層が空気層によって下部グランドプレーン上に吊り下げられている場合、その基板は吊り下げ基板と呼ばれ、これはページ右上のマイクロストリップの図の層 D がゼロでないことに類似しています。従来のマイクロストリップよりも吊り下げ基板を使用する利点は、分散効果の低減、設計周波数の増加、ストリップ形状の幅の拡大、構造的不正確さの低減、より正確な電気特性、およびより高い特性インピーダンスの実現です。欠点は、吊り下げ基板が従来のマイクロストリップ基板よりも大きく、製造がより難しいことです。導体が誘電体層の上ではなく下に配置されている場合、マイクロストリップは反転マイクロストリップと呼ばれます。^{[18] [19]}

プラマニックとバーティアは、サスペンション型と反転型のマイクロストリップの特性インピーダンス（Zo）と実効誘電率（Ere）を近似するために使用される一連の方程式を文書化しました。 ^[18] これらの方程式は参考文献から直接アクセスできるため、ここでは繰り返しません。

John Smith は、電荷分布のフーリエ級数展開を使用して、吊り下げられた基板内の結合マイクロストリップ線路のアレイの偶数モードと奇数モードのフリンジ容量の方程式を導き出し、その関数を実行する 1960 年代スタイルのFortranコードを提供しています。Smith の研究については、以下のセクションで詳しく説明します。単一のマイクロストリップ線路は、無限に広いギャップを持つ結合マイクロストリップのように動作します。したがって、Smith の方程式を使用して、方程式にギャップとして大きな数値を入力することで、単一のマイクロストリップ線路のフリンジ容量を計算できます。この数値は、通常、基板の高さの 7 倍以上の値です。反転したマイクロストリップは、カバーの高さと吊り下げられた高さの変数を入れ替えることで計算できます。金属エンクロージャのないマイクロストリップは、金属カバーの高さに大きな変数を入力することで計算できます。この数値は、金属カバーがマイクロストリップの電気特性に大きく影響しなくなる程度で、通常、基板上の導体の高さの 50 倍以上になります。反転マイクロストリップは、金属カバーの高さと吊り下げられた高さの変数を交換することによって計算できます。^{[20] [21]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+2C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_air}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_air}|_{G=\infty }\\C_{\_air}&=C_{plate\_air}+2C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

ここで、B、C、および D は、ページの右上に示されているマイクロストリップ ジオメトリによって定義されます。

吊り下げ型または反転型のマイクロストリップのZoとEreの値を計算するには、マイクロストリップ線路の各側のフリンジ容量にプレート容量を加算して、誘電体の場合（εr）と空気の場合（εra ）_{の両方の合計容量を計算し、その結果を}使用してZoとEreを計算します。^{[22] [21]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re}&={\frac {C_{\varepsilon _{r}}}{C_{air}}}\\Zo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air}C_{e_{r}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}.}$

マイクロストリップで完全な回路を構築するには、ストリップの経路を大きな角度で曲げる必要があることがよくあります。マイクロストリップを急激に 90 度曲げると、ストリップ上の信号の大部分がソースに向かって反射され、信号の一部のみが曲げの周りを伝わります。反射の少ない曲げを実現する方法の 1 つは、ストリップの経路をストリップ幅の少なくとも 3 倍の半径の円弧に曲げることです。^[23]ただし、はるかに一般的な手法で、基板の占有面積が小さい手法は、マイター曲げを使用することです。

第一近似として、急激な非マイター曲げは、グランドプレーンとストリップの曲げの間に配置されるシャント容量として動作します。曲げをマイターすると、メタライゼーション領域が縮小され、余分な容量が除去されます。パーセンテージ マイターは、非マイター曲げの内側の角と外側の角の間の対角線のカット アウェイ率です。

広範囲のマイクロストリップ形状に対する最適なマイターは、ドゥヴィルとジェームズによって実験的に決定されている。^[24]彼らは、最適なパーセンテージマイターの適合度は次のように与えられることを発見した 。

${\displaystyle M=100{\frac {x}{d}}\%=(52+65e^{-(27/20)(w/h)})\%}$

ただし、w / h ≥ 0.25で、基板の誘電率ε _r ≤ 25となります。この式はε _rとはまったく無関係です。Douville と James が証拠を示している実際のパラメータの範囲は、0.25 ≤ w / h ≤ 2.75および2.5 ≤ ε _r ≤ 25です。彼らは、式で与えられたものから 4% (元のdの) 以内のパーセンテージマイターに対して、 VSWRが 1.1 より良好 (つまり、リターンロスが -26 dB より良好) であると報告しています。w / hが最小の 0.25 の場合、パーセンテージマイターは 98.4% であり、ストリップはほぼ切断された状態になります。

曲線曲げと斜め曲げの両方において、電気長はストリップの物理的な経路長よりもいくらか短くなります。

マイクロストリップの不連続性には、曲がり（上記参照）のほかに、コーナーとも呼ばれる、開放端、ビアホール（グランドプレーンへの接続）、幅の段差、マイクロストリップ間のギャップ、T 接合、クロス接合などがあります。これらの接合のモデルを開発するための広範な作業が行われており、Quite ユニバーサル回路シミュレータ (QUCS) などの公開文献に記載されています。^[25]

マイクロストリップラインは、他のマイクロストリップラインに十分近い場所に敷設されることがあります。その場合、ライン間に電気的な結合相互作用が生じる可能性があります。これは、ラインを敷設する際に意図せず発生することもあれば、望ましい伝達関数を形成するために意図的に発生することもあります。また、分布フィルタを設計するために意図的に発生することもあります。2 つのラインの幅が同じである場合、それらは結合伝送ラインの偶モードおよび奇モード解析によって特徴付けられる場合があります。

偶数モードと奇数モードの特性インピーダンス（Zoe、Zoo）と有効誘電率（ εree、εreo ）の閉形式の表現式は、_規定の条件下で定義された精度で開発されています。これらは参考文献^{[26] [27] [28]から入手可能であり}_、ここでは繰り返しません。

ジョン・スミスは、電荷分布のフーリエ級数展開を用いて、金属カバー付き結合マイクロストリップライン（サスペンションマイクロストリップを含む）の偶数モードと奇数モードのフリンジ容量の方程式を導き出し、その関数を実行する 1960 年代スタイルのFortranコードを提供した。カバーなしのマイクロストリップは、一般にグランドプレーン上の導体高さの 50 倍以上のカバー高さを割り当てることでサポートされる。反転マイクロストリップは、カバー高さとサスペンション高さの変数を逆にすることでサポートされる。スミスの方程式は、導体幅、導体間隔、誘電率、カバー高さ、誘電体サスペンション高さのすべての値に対して理論的に有効であるという利点がある。^[20]

スミス方程式には、楕円積分比の逆関数を解かなければならないというボトルネック (429 ページの方程式 37) があります。ここで は第 1 種の完全楕円積分、は既知、 は解かなければならない変数です。スミスは、 の解に通常収束する精巧な探索アルゴリズムを提供しています。ただし、ニュートン法や補間表を使用すると、 に対してより迅速かつ包括的な解が得られる場合があります。 ${\displaystyle K(1,{\sqrt {1-k^{2}}})/K(1,k)=X}$${\displaystyle K(,)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

非結合マイクロストリップの偶数および奇数モードの Zo およびε _re値を計算するには、プレート容量をマイクロストリップ内部の偶数および奇数モードのフリンジ容量と外側の非結合フリンジ容量に追加します。非結合フリンジ容量は、導体間のギャップまたは分離値を無限大にすることで計算できます。これは、グランドプレーン上の導体の高さの 7 倍以上の値で近似できます。次に、誘電体の場合( ε _r ) と空気の場合 ( ε _{r =1) の偶数および奇数モードの Zo および}ε _{re を}、次に示すように、偶数および奇数モードの容量の関数として計算します。 ^{[22] [21]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ree}&={\frac {C_{\varepsilon _{re}}}{C_{air_{e}}}}\\\varepsilon _{reo}&={\frac {C_{\varepsilon _{ro}}}{C_{air_{o}}}}\\Zoe&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{e}}C_{e_{re}}}}}}\\Zoo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{o}}C_{e_{ro}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}}$。

スミスのフーリエ級数では、楕円積分比 の逆解k が必要です。ここで、K () は第 1 種の完全楕円積分です。スミスはk を見つけるための複雑な検索アルゴリズムを提供していますが、ニュートン法を使用するとより高速で正確な収束が達成されるか、補間テーブルが使用される場合があります。k が0 および 1 に近づくにつれて は極めて非線形になるため、関数 ではニュートン法の方が適しています。値k _lgを解くと、k はによって得られます。 ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$${\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\big )}/K{\big (}e^{k_{lg}}{\big )}}$${\displaystyle k=e^{k_{lg}}}$

標準的な微分規則を使用してk _lgを解くニュートン法の式は次のとおりです。楕円積分の微分については、楕円積分のページで確認できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg}<\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}}$

k _lgおよびk を見つけるための補間表を以下に示します。

の値については 、ニュートン法や補間で使用する、または、関数の線形性を最大化するために、表に示されている関係を適用すると便利です。たとえば、です。 ${\displaystyle F(x)<1}$${\displaystyle k_{lg}}$${\displaystyle ln(k)}$${\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.985\ 171\ 43}$

スミスの研究に基づいて、楕円積分とヤコビ楕円関数^[29]を使用して、偶数モードと奇数モードの合計容量の値を計算します。スミスは、楕円関数ページにある3番目の高速ヤコビ楕円関数推定アルゴリズムを使用します。 ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ substrate dielectric height}}\\D&={\text{ substrate suspended height}}\\B&={\text{ substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips)}}\\W_{lim}&={\text{ misrostrip conductor width}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\G_{lim}&={\text{ gap or speparation between the microstrips conductors}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ dielectric constant}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ vacuum permittivity }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ where }}K(){\text{ is the complete ellipic integral of the first kind}}\\{\text{determine }}&{\text{ the value of k, then proceed:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{for even mode}}\\2,&{\text{for odd mode}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (or greater)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ where sn() is a jacobi elliptic function}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{for odd mode}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{for even mode}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{for even mode}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{for odd mode}}\\\end{cases}}\\&{\text{break the summation when }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}}<10^{-6}{\text{ or less}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ farads per unit length }}\\\end{aligned}}}$

総静電容量を求めるには：^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{e\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fe\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\C_{o\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fo\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }\\C_{e\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\C_{o\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

ここで、はグランドプレーン上の導体の高さの 1 倍以上 で近似できます。${\displaystyle (G=\infty )}$${\displaystyle (G=7)}$

スミスは、フーリエ級数静電容量解の精度を当時公表された表と比較しています。ただし、より現代的なアプローチは、偶数モードと奇数モードのインピーダンスと有効誘電率の結果を、ソネットなどの電磁気シミュレーションから得られる結果と比較することです。以下の例は、次の条件下で実行されています。B = 2.5 mm、C = 0.4 mm、D = 0.6 mm、W = 1.5 mm、G = 0.5 mm、Er = 12。ここで、B、C、および D は、ページの右上に示されているマイクロストリップの形状によって定義されます。例では、log( k ) の値を計算してからk を計算し、 k、ε _r 、基板の形状、および導体の形状を使用して静電容量を計算し、続いて偶数モードと奇数モードのインピーダンスと有効誘電率 ( Z _oe、Z _oo、ε _re 、およびε _ro ) を計算します。

Sonnet シミュレーションは、 4096 × 4096の高解像度グリッド解像度、各側 7 mm の参照面で実行され、10 mm の長さに沿って結合線路をシミュレートします。Y パラメータの結果は、結合伝送線路の Y パラメータ方程式を代数的に反転することにより、偶数モードと奇数モードのZ o とε _rに変換されます。

2本のマイクロストリップラインが結合が起こるほど近接しているが、幅が対称でない場合、偶数モードと奇数モードの解析はラインの特性評価に直接適用できません。この場合、ラインは一般に自己および相互インダクタンスと静電容量によって特性評価されます。定義手法と表現式は参考文献から入手できます。^{[30] [31] [32] [33]}

場合によっては、複数のマイクロストリップラインが結合されることがあります。この場合、各マイクロストリップラインは自己容量と、隣接していないマイクロストリップを含む他のすべてのラインとのギャップ容量を持ちます。解析は上記の非対称結合の場合と同様ですが、容量とインダクタンスのマトリックスのサイズは NXN になります。ここで、N は結合されたマイクロストリップの数です。隣接していないマイクロストリップの容量は、有限要素法(FEM) を使用して正確に計算できます。^{[34] [35] [33]}

マイクロストリップをシミュレートするときは、一般に導体と誘電体からの損失による減衰が考慮されます。総損失はマイクロストリップの長さの関数であるため、減衰は通常、単位長さあたりの減衰の単位で計算されます。つまり、総損失は減衰 × 長さで計算され、減衰の単位はネーパーですが、アプリケーションによってはdB単位の減衰が使用されることもあります。マイクロストリップの特性インピーダンス (Zo)、有効誘電率 (Ere)、および総損失 ( ) がすべてわかっている場合は、マイクロストリップを標準伝送線路としてモデル化できます。 ${\displaystyle \alpha l}$

導体損失は導体材料の「比抵抗」または「抵抗率」によって定義され、文献では一般的に次のように表現されます。^[36] 各導体材料には、通常、それに関連する公表された抵抗率があります。たとえば、一般的な導体材料である銅の公表された抵抗率は${\displaystyle \rho }$1.68 × 10 ⁻⁸  Ω⋅m。^[37] E. HammerstadとØ. Jensenは導体損失による減衰について次の式を提案した。^{[38] [39]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ dB per unit length}}\\{\text{Where :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}}$ そして

${\displaystyle R^{s}}$=導体のシート抵抗

${\displaystyle K_{i}}$= 電流分布係数

${\displaystyle K_{r}}$=表面粗さによる補正項

${\displaystyle u_{o}}$=真空透過率( )${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}H/m}$

${\displaystyle \rho }$=導体の比抵抗、または抵抗率

${\displaystyle \Delta }$=基板の実効表面粗さ（rms）

${\displaystyle \delta }$=皮膜深さ

${\displaystyle n_{o}}$=真空中の波動インピーダンス（376.730 313 412 (59) Ω ‍ [ ^40] )

表面粗さを無視すると、式から が消えますが、実際にそうなることが多いことに注意してください。 ${\displaystyle K_{\text{r}}}$

一部の著者は、シート抵抗Rs^を計算するために、表皮深さの代わりに導体の厚さを使用しています。^[41] この場合、

${\displaystyle R^{s}={\frac {\rho }{t}}}$

ここでtは導体の厚さです。

誘電損失は誘電体の「誘電正接」によって定義され、文献では一般的に次のように表現されます。各誘電体には、通常、それに関連する誘電正接が公表されています。たとえば、一般的な誘電体であるアルミナの誘電正接は次のように公表されています。${\displaystyle tan\delta _{d}}$周波数に応じて0.0002～0.0003である。 ^[42] ウェルチとプラット、シュナイダーは誘電損失による減衰について次の式を提案した。^{[43] [44] [38]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{d}&={\frac {tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{d}&={\frac {27.3{\text{ }}tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$。

一般に、誘電損失は導体損失よりもはるかに小さいため、一部のアプリケーションでは無視されることがよくあります。

結合マイクロストリップの損失は、特性インピーダンス、誘電率、および単線マイクロストリップの有効誘電率に使用されるのと同じ偶数モードと奇数モードの解析を使用して推定できます。結合線路の偶数モードと奇数モードはそれぞれ、対応する単線ZoとEreから計算された導体損失と誘電損失の値が独立して計算されます。^{[45] [46]}

ウィーラーは導体間の距離を考慮した導体損失解法を提案した^[45]： ここで ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c(e/o)}&={\frac {R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o)}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c(e/o)}&={\frac {8.688R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$

h = グランドプレーン上の導体の高さ

S = 導体間の距離

W = 導体の幅

t = 導体の厚さ。

導体の間隔、厚さ、幅に関する偏微分はデジタルで計算でき ます。

• 分散要素フィルタ
• スローウェーブカプラ
• Spurline、マイクロストリップノッチフィルタ