メルセンヌの法則

メルセンヌの法則は、張られた弦やモノコードの振動周波数を記述する法則であり、^{[ 1 ]}音楽の調律や楽器の製作に役立ちます。

この方程式は、フランスの数学者で音楽理論家のマラン・メルセンヌが1636年の著書『普遍の調和』で初めて提唱した。^{[ 2 ]}メルセンヌの法則は、ピアノやハープなどの弦楽器の構造と動作を規定しており、弦を適切なピッチに保つために必要な総張力に対応しなければならない。低音弦は太く、単位長さあたりの質量が大きい。通常、張力は低い。ギターは、演奏性を考慮して弦の張力が似ているため、低音弦のピッチは主に単位長さあたりの質量の増加によって実現されるという、よく知られた例外である。^{[注1 ]}高音弦は通常、細く、張力が高く、短い場合がある。「この結果はガリレオの結果と大きく異ならないが、メルセンヌの法則として正しく知られている」のは、メルセンヌが実験によってその真実性を物理的に証明したからである（ガリレオは証明不可能だと考えていた）。^{[ 3 ]}「メルセンヌは実験によってこれらの関係を調査し、洗練させたが、自らこれらの関係を提唱したわけではない」。^{[ 4 ]}彼の理論は正しいものの、彼の測定はあまり正確ではなく、彼の計算は音響ビートとメトロノームの使用によりジョゼフ・ソヴール（1653-1716）によって大幅に改善された。^{[ 5 ]}

固有振動数は次のとおりです。

• a)弦の長さに反比例する（ピタゴラスの法則^{[ 1 ]}）、
• b)伸張力の平方根に比例し、
• c) 単位長さあたりの質量の平方根に反比例する。

${\displaystyle f_{0}\propto {\tfrac {1}{L}}.}$（式26）

${\displaystyle f_{0}\propto {\sqrt {F}}.}$（式27）

${\displaystyle f_{0}\propto {\frac {1}{\sqrt {\mu }}}.}$（式28）

したがって、例えば弦の他のすべての特性が同じである場合、音を1オクターブ高くするには（2/1）、弦の長さを半分に短くするか（1/2）、張力を2乗に増やすか（4）、または長さあたりの質量を2乗に減らすか（1/4）のいずれかを行う必要がある。

これらの法則はメルセンヌの式22から導き出されます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle f_{0}={\frac {\nu }{\lambda }}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}.}$

基本周波数の計算式は次のとおりです。

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F}{\mu }}},}$

ここで、 fは周波数、Lは長さ、Fは力、μは単位長さあたりの質量である。

メルセンヌの法則は管楽器の音高が「打撃」ではなく縦波に依存するという概念よりも前に開発されたため、パイプや管楽器に対して同様の法則が同時に開発されたわけではない。 ^{[ 3 ]}

• サイクロイド
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