マッキーファンクター

させて${\displaystyle G}$有限群である。マッキー関手${\displaystyle M}$のために${\displaystyle G}$構成：

• 各サブグループについて${\displaystyle H\leq G}$アーベル群${\displaystyle M(H)}$、
• 各サブグループのペアについて${\displaystyle H,K\leq G}$と${\displaystyle H\subseteq K}$:
  • 制限準同型${\displaystyle R_{H}^{K}:M(K)\to M(H)}$、
  • 転送準同型${\displaystyle I_{H}^{K}:M(H)\to M(K)}$。

これらの地図は、以下の公理を満たさなければならない。

機能性：入れ子になった部分群の場合${\displaystyle H\subseteq K\subseteq L}$、${\displaystyle R_{H}^{L}=R_{H}^{K}\circ R_{K}^{L}}$そして${\displaystyle I_{H}^{L}=I_{K}^{L}\circ I_{H}^{K}}$。

活用: 任意の${\displaystyle g\in G}$そして${\displaystyle H\leq G}$同型写像が存在する${\displaystyle c_{g}:M(H)\to M(gHg^{-1})}$制限および移転に対応しています。

二重剰余類公式：部分群の場合${\displaystyle H,K\leq G}$次のような恒等式が成り立つ。

${\displaystyle R_{H}^{G}I_{K}^{G}=\sum _{x\in [H\backslash G/K]}I_{H\cap xKx^{-1}}^{H}\circ c_{x}\circ R_{x^{-1}Hx\cap K}^{K}}$[ ^{1 ]​}

現代の圏論では、マッキー関手はスパンの言語を用いてより優雅に定義できる。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$選言的な準カテゴリーであり、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$加法準圏である。マッキー関手は積保存関手である。${\displaystyle M:{\text{Span}}({\mathcal {C}})\to {\mathcal {A}}}$どこ${\displaystyle {\text{Span}}({\mathcal {C}})}$は対応の準カテゴリーである${\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ ^{3 ]​}

マッキー関手は同変安定ホモトピー理論において重要な役割を果たす。${\displaystyle G}$-スペクトラム${\displaystyle E}$その同変ホモトピー群は、次式で与えられるマッキー関手を形成する。

${\displaystyle \pi _{n}(E):G/H\mapsto [G/H_{+}\wedge S^{n},X]^{G}}$

どこ${\displaystyle [-,-]^{G}}$同変安定ホモトピー圏における射を表す。 ^{[ 4 ]}

尖ったG-CW複合体の場合${\displaystyle X}$そしてマッキー関数${\displaystyle A}$係数を持つ同変コホモロジーを定義できる${\displaystyle A}$として：

${\displaystyle H_{G}^{n}(X,A):=H^{n}({\text{Hom}}(C_{\bullet }(X),A))}$

どこ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$は、商空間の安定同変ホモトピー群によって与えられるマッキー関数の鎖複体である。^{[ 5 ]}