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長距離依存性( LRD ) は、長距離記憶または長距離持続とも呼ばれ、空間データまたは時系列データの分析で発生する可能性のある現象です。これは、2 つの点間の時間間隔または空間距離の増加に伴う、2 つの点の統計的依存性の減衰率に関連しています。通常、依存性が指数関数的減衰よりも遅く、典型的にはべき乗のような減衰である場合、その現象は長距離依存性を持つとみなされます。LRD は、自己相似プロセスまたはフィールドと関連付けられることがよくあります。LRD は、インターネット トラフィック モデリング、計量経済学、水文学、言語学、地球科学などのさまざまな分野で使用されています。さまざまな文脈と目的に応じて、LRD のさまざまな数学的定義が使用されます。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
長距離依存定常過程と短距離依存定常過程を特徴づける一つの方法は、自己共分散関数を用いることである。短距離依存過程の場合、異なる時点の値間の結合は、時間差が大きくなるにつれて急速に減少する。自己共分散は一定の時間遅延後にゼロになるか、最終的には指数関数的に減衰する。長距離依存過程（LRD）の場合、結合ははるかに強い。自己共分散関数の減衰はべき乗に似ており、指数関数的減衰よりも緩やかである。
長距離依存性と短距離依存性を特徴付けるもう 1 つの方法は、連続する値の部分和の分散によるものです。短距離依存性の場合、分散は通常、項の数に比例して増加します。LRD の場合、部分和の分散はより急速に増加し、多くの場合、指数が 1 より大きいべき関数になります。この挙動を調べる方法の 1 つは、再スケーリングされた範囲を使用することです。長距離依存性のこの側面は、水資源のための河川ダムの設計において重要であり、その場合、合計は長期間にわたるダムへの総流入量に対応します。[ 7 ]
上記の2つの方法は数学的に関連していますが、LRDを定義する唯一の方法ではありません。プロセスの自己共分散が存在しない場合（ヘビーテールの場合）、LRDの意味を定義する別の方法を見つける必要があり、これはしばしば自己相似プロセスを利用して行われます。
ハーストパラメータHは、時系列における長距離依存性の程度を測る尺度です (自己相似過程の文脈では別の意味を持ちます)。H は0 から 1 までの値をとります。0.5 の値は、長距離依存性がないことを示します。[ 8 ] Hが 1 に近いほど、持続性または長距離依存性の度合いが大きくなります。Hが0.5 未満の場合、反持続性に対応し、これは LRD の反対として強い負の相関を示し、プロセスが激しく変動します。
分散の緩やかな減衰、LRD、およびべき乗則に従うスペクトル密度は、定常過程の基礎となる共分散の特性の異なる現れである。したがって、ハーストパラメータの推定問題には、3つの異なる角度からアプローチすることが可能である。
定常LRDシーケンスが与えられた場合、適切なスケーリング後の項数でインデックス付けされたプロセスとして見た場合の部分和は、漸近的に定常増分を持つ自己相似プロセスであり、最も典型的なものは分数ブラウン運動です。逆に、ハースト指数H > 0.5の定常増分を持つ自己相似プロセスが与えられた場合、その増分（プロセスの連続差分）は定常LRDシーケンスです。
これは、シーケンスが短距離依存である場合にも当てはまりますが、この場合、部分和から生じる自己相似プロセスはブラウン運動（H = 0.5）のみになります。
長距離依存性に使用される確率モデルの中で、よく知られているものには、離散時間プロセス用に定義される自己回帰分数積分移動平均モデルがあり、連続時間モデルは分数ブラウン運動から始まる場合があります。