対数平均温度差

熱工学では、対数平均温度差( LMTD ) は、流体システム、特に熱交換器における熱伝達の温度駆動力を決定するために使用されます。LMTD は、二重管式熱交換器の両端の高温供給部と低温供給部の温度差の対数平均です。面積と熱伝達係数が一定の熱交換器の場合、LMTD が大きいほど、伝達される熱量が多くなります。LMTD の使用は、流量と流体の熱特性が一定の熱交換器の解析から直接生じます。

意味

一般的な熱交換器には、両側に熱い流れと冷たい流れが出入りする 2 つの端 (「A」と「B」と呼びます) があると仮定します。この場合、LMTD は次のように対数平均によって定義されます。

\mathrm {LMTD} ={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}

ここで、 $Δ T A$ $は端A$ における 2 つの流れの温度差、 $Δ T B は$ $端B$ における 2 つの流れの温度差です。 2 つの温度差が等しい場合、この式は直接解決されないため、LMTD は通常、その限界値に等しいと見なされ、この場合は 2 つの差に等しくなります。

この定義により、LMTD を使用して熱交換器で交換される熱を見つけることができます。

Q=U\times A\times \mathrm {LMTD}

ここで（SI単位系）：

熱伝達係数の推定は非常に複雑になる可能性があることに注意してください。

これは、流れが同じ端から流入する並流と、異なる端から流入する向流の両方に当てはまります。

クロスフローでは、1 つのシステム (通常はヒートシンク) の熱伝達面のすべてのポイントで同じ公称温度が維持されるため、交換熱と LMTD の間には同様の関係が成立しますが、補正係数が適用されます。バッフル付きのシェルアンドチューブ熱交換器など、より複雑な形状の場合も補正係数が必要です。

熱交換器内の一般座標 $Aから$ $B$ への軸 $zに沿って、$ $2$ つの流体 $1$ と $2の間で熱伝達$ ^{[2]が発生していると仮定します。流体の} $z$ に沿った温度 $は$ $T1$ $($ $z$ $)$ と $T2$ $($ $z$ $)$ です。

$z$ における局所的な交換熱流束は温度差に比例します。

q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))=U\;\デルタ T(z)

流体から放出される熱は、フーリエの法則に従って温度勾配を引き起こします。

{\begin{aligned}{\frac {d\,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)\\[4pt]{\frac {d\,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)\end{aligned}}

ここで、 $k a 、k b は$ $それぞれ点A$ と点 $B$ における介在物質の熱伝導率である。これらを合計すると、

ここで $K = k a + k b$ です。

交換されるエネルギーの合計は、 $A$ から $B$ への局所的な熱伝達 $qを$ 積分することによって求められます。

Q=D\int _{A}^{B}q(z)dz=UD\int _{A}^{B}\Delta T(z)dz=UD\int _{A}^{B}\Delta T\,dz,

$B - A は$ 明らかにパイプの長さ、つまり $z$ に沿った距離であり、 $D は$ 円周であることに注意してください。これらを掛け合わせると、パイプの熱交換面積 $Arが得られます。この事実を使用します。$

Q={\frac {UAr}{BA}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\displaystyle \int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\displaystyle \int _{A}^{B}\,dz}}

$両方の積分において、変数をzから$ $Δ T$ に変更します。

Q={\frac {UAr\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}}

$ΔT$ （式1）の関係から、これは次のようになる $。$

Q={\frac {UAr\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}

この時点での積分は簡単で、最終的には次のようになります。

Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln \left({\frac {\Delta T(B)}{\Delta T(A)}}\right)}}

、

そこから LMTD の定義が導かれます。

両方の流体の温度変化率は温度差に比例すると仮定されています。この仮定は、比熱が一定の流体に有効であり、比較的狭い範囲で温度が変化する流体を適切に説明します。ただし、比熱が変化すると、LMTD アプローチは正確ではなくなります。
LMTD の特別なケースは、相変化に関連する潜熱が仮説の特別なケースである凝縮器と再沸器です。凝縮器の場合、高温流体の入口温度は高温流体の出口温度に等しくなります。
また、熱伝達係数（ U ）は一定であり、温度の関数ではないと仮定されている。そうでない場合、LMTDアプローチは再び有効性が低下する。
LMTD は定常状態の概念であり、動的解析には使用できません。特に、LMTD を、短時間、交換器の両側の温度差の符号が異なる過渡状態に適用すると、対数関数の引数が負になり、これは許容されません。
熱伝達中に相変化がない
運動エネルギーと位置エネルギーの変化は無視される

関連する量である対数平均圧力差（LMPD ）は、希薄溶質を含む停滞した溶媒の質量移動において、バルクフローの問題を単純化するためによく使用されます。