相対論的方程式の一覧

以下は特殊相対性理論 で頻繁に登場する方程式の一覧です。

特殊相対論の方程式を導くには、他の2つの

1. 物理法則は、慣性系間の変換に対して不変です。言い換えれば、物理法則は、「静止」している系でテストする場合でも、「静止」している系に対して一定の速度で動いている系でテストする場合でも同じです。
2. 完全な古典的真空中の光の速度（）は、慣性系内のすべての観測者によって同じであると測定され、さらに有限ではあるがゼロではない。この速度は、宇宙における局所的な情報伝達速度の上限として働く。${\displaystyle c_{0}}$

この文脈では、「光速」は実際には、古典的な真空中のような局所的な情報伝達または通常の（負でない質量の）物質の運動の最高速度を指します。したがって、より正確な説明は、光速そのものよりも を指すでしょう。しかし、光やその他の質量のない粒子は、理論的には真空条件下で で移動し、実験によってこの概念はかなり高い精度で反証されています。光自体が で移動するかどうかに関係なく、 はそのような最高速度として機能します。これは相対性理論にとって重要な仮定です。 ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$

これら 2 つの公理から、特殊相対性理論のすべてが導かれます。

以下では、 2つの慣性系間の相対速度 v は、直交座標系のx方向に完全に制限されます。

特殊相対論では以下の表記法が頻繁に使用されます。

ローレンツ因子

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

ここで、v は2 つの慣性系間の相対速度です。 ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$

静止している 2 つのフレームの場合、γ = 1 であり、2 つの慣性フレーム間の相対速度とともに増加します。相対速度が光速に近づくと、γ → ∞ になります。

時間の遅れ（同じ慣性系内の同じ位置xにおける異なる時間tとt' ）

${\displaystyle t'=\gamma t}$

この例では、車両のフレームで測定された時間tは、固有時間と呼ばれます。車両で光が放射されるイベントと車両で光が受信されるイベントなどの 2 つのイベント間の固有時間は、イベントが同じ場所で発生するフレーム内の 2 つのイベント間の時間です。したがって、上記では、光の放射と受信の両方が車両のフレームで発生したため、車両のフレーム内の観測者が測定する時間が固有時間になります。

長さの収縮（同じ慣性系における同じ瞬間tでの異なる位置xとx' ）

${\displaystyle \ell '={\frac {\ell }{\gamma }}}$

これは長さの収縮の式です。時間の遅れに固有の時間が存在するのと同様に、長さの収縮にも固有の長さが存在し、この場合はℓです。物体の固有の長さは、物体が静止しているフレームにおける物体の長さです。また、この収縮は、物体と観測者の間の相対速度に平行な物体の寸法にのみ影響します。したがって、運動の方向に垂直な長さは、長さの収縮の影響を受けません。

ローレンツ変換

${\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}$

速度加算

${\displaystyle V'_{x}={\frac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle V'_{y}={\frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$

${\displaystyle V'_{z}={\frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}}$

以下では、 4 ベクトルには太字のサンセリフが使用され、通常の 3 ベクトルには通常の太字のローマンが使用されます。

内積（つまり長さの概念）

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {b}}}=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})}$

ここで、は計量テンソルとして知られています。特殊相対論では、計量テンソルはミンコフスキー計量です。 ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

時空間間隔

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}={\begin{pmatrix}cdt&dx&dy&dz\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}cdt\\dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}}$

上記において、ds ^{2 は}時空間隔として知られています。この内積はローレンツ変換に対して不変です。つまり、

${\displaystyle \eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}}',{\boldsymbol {\mathsf {b}}}')=\eta \left(\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}},\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {b}}}\right)=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})}$

メトリックの符号と、ct、ct'、cdt、およびcdt′時間ベースの項の配置は、作成者の選択に応じて変わる可能性があります。たとえば、多くの場合、時間ベースの項は 4 つのベクトルの最初に配置され、空間項はその後に配置されます。また、ηが − ηに置き換えられ、空間項がドット積または時空間隔に負の寄与を生成し、時間項が正の寄与を生成することもあります。これらの違いは、実行される計算全体を通じて標準の選択に完全に従う限り、任意の組み合わせで使用できます。

上記の座標変換は行列で表現できます。簡単にするために、t、t′、dt、dt′ を、距離の次元を持つct、ct'、cdt、cdt′に置き換えるのが最適です。つまり、

${\displaystyle x'=\gamma x-\gamma \beta ct\,}$

${\displaystyle y'=y\,}$

${\displaystyle z'=z\,}$

${\displaystyle ct'=\gamma ct-\gamma \beta x\,}$

行列形式では次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

上記の変換方程式のベクトルは 4 ベクトルと呼ばれ、この場合は特に位置 4 ベクトルです。一般に、特殊相対性理論では、4 ベクトルは次のように 1 つの参照フレームから別の参照フレームに変換できます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'=\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}}}$

上記で、と はそれぞれ 4 元ベクトルと変換された 4 元ベクトルであり、 Λ は変換行列です。これは、特定の変換に対して、変換する可能性のあるすべての 4 元ベクトルに対して同じです。したがって、 は位置、速度、または運動量を表す 4 元ベクトルであり、同じ Λ を同じ 2 つのフレーム間で変換するときに使用できます。最も一般的なローレンツ変換にはブーストと回転が含まれます。コンポーネントは複雑であり、変換にはスピノルが必要です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {a}}}'}$

物理量の不変性と統一性は、どちらも4次元ベクトルから生じます。^[1] 4次元ベクトルとそれ自身の内積はスカラーに等しく（内積の定義により）、4次元ベクトルは物理量であるため、その大きさも物理量に対応します。

一般的なドップラーシフト:

${\displaystyle \nu '=\gamma \nu \left(1-\beta \cos \theta \right)}$

発信者と観測者が互いに右に近づく（またはまっすぐに離れる）場合のドップラーシフト:

${\displaystyle \nu '=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}$

発信器と観測器がそれらを結ぶ線に対して垂直な方向に移動する場合のドップラーシフト:

${\displaystyle \nu '=\gamma \nu }$

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• ダイナミクスと相対性、JR フォーショウ、AG スミス、Wiley、2009 年、ISBN 978-0-470-01460-8 
• 相対性理論の謎を解く、D.マクマホン、マクグローヒル（米国）、2006年、ISBN 0-07-145545-0 
• 『ケンブリッジ物理学公式ハンドブック』、G. ウォーン、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-57507-2。 
• 力学入門、D. クレップナー、RJ コレンコウ、ケンブリッジ大学出版局、2010 年、ISBN 978-0-521-19821-9