線形多項式

数学において、線形化多項式（またはq多項式）は、構成するすべての単項式の指数がqの累乗であり、係数がq位の有限体の何らかの拡大体から得られる多項式です。

典型的な例は、 ある固定された正の整数に対して、 それぞれがである と書きます。 $${\displaystyle L(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{q^{i}},}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle F_{q^{m}}(=\operatorname {GF} (q^{m}))}$ ${\displaystyle m}$

この特殊な多項式のクラスは、理論的にも応用的にも重要です。^[1]多項式の根は高度に構造化されているため、簡単に決定できます。

• 写像x ↦ L ( x )はF _{q を}含む任意の体上の線型写像です。
• Lの根の集合はF _qベクトル空間であり、 qフロベニウス写像の下で閉じています。
• 逆に、U がF _{q を}含む有限体の任意のF q_線型部分空間である場合、 U上で正確に消滅する多項式は線型化多項式です。
• 与えられた体上の線形化多項式の集合は、多項式の加算と合成に対して閉じています。
• Lが 上の非零線型多項式で、そのすべての根がの拡大体に存在する場合、Lの各根は同じ重複度を持ち、それは 1 またはqの正の累乗のいずれかです。^[2]${\displaystyle F_{q^{n}}}$${\displaystyle F_{q^{s}}}$${\displaystyle F_{q^{n}}}$

一般に、2 つの線形化多項式の積は線形化多項式にはなりませんが、2 つの線形化多項式の合成は線形化多項式となるため、合成は乗算の代わりに使用できます。このため、この設定では合成はしばしば記号乗算と呼ばれます。表記上、L ₁ ( x ) とL ₂ ( x ) が線形化多項式である場合、この観点が採用されているときを定義します。 $${\displaystyle L_{1}(x)\otimes L_{2}(x)=L_{1}(L_{2}(x))}$$

多項式L ( x )と はq-同値です(注: L ( x )の指数「q ⁱ 」はl ( x )では「 i 」に置き換えられています)。具体的には、l ( x ) はL ( x )の従来の q-同値と呼ばれ、L ( x ) はl ( x )の線形化された q-同値と呼ばれます。 $${\displaystyle l(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$

F _qの係数を持つ線型多項式は、記号除算、記号可約性、記号因数分解を定義することを可能にする追加の特性を持つ。このタイプの線型多項式の2つの重要な例は、フロベニウスの自己同型とトレース関数である。${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$${\textstyle \operatorname {Tr} (x)=\sum _{i=0}^{n-1}x^{q^{i}}.}$

この特殊なケースでは、記号乗算は演算として、可換、結合的であり、通常の加算に対して分配的であることが示されます。 ^{[3]また、この特殊なケースでは、}記号除算の演算を定義できます。 L ( x ) とL ₁ ( x ) がF _q上の線型多項式である場合、次の条件を満たすF _q上の線型多項式L ₂ ( x ) が存在するとき、 L ₁ ( x ) がL ( x ) を記号的に割り切ると いいます。$${\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x)。}$$

L ₁ ( x ) とL ₂ ( x )がそれぞれ従来のq対応l ₁ ( x ) とl ₂ ( x ) を持つF _q上の線型多項式である場合、L ₁ ( x ) がL ₂ ( x )を記号的に割り切るのは、 l ₁ ( x ) がl ₂ ( x )を割り切る場合のみです。^[4]さらに、 この場合、 L ₁ ( x ) は通常の意味でL ₂ ( x )を割り切ります。^[5]

次数> 1のF _q上の線型化多項式L ( x )は、 L _i の F q 上の記号_分解が因子の 1 つが次数 1 であるものだけである場合、 F q 上で記号的に既約です。次数 > 1 の線型化多項式はすべて非自明な因子 x を持つため、記号的に既約な多項式は常に通常の意味で既約であることに注意してください。_F q上の線型化_多項式L ( x )が記号的に既約なのは、その従来のq対応l ( x ) がF _q上で既約な場合のみです。 $${\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x),}$$

次数 > 1 のF _q上のすべてのq多項式L ( x ) は、 F _q上の記号的に既約な多項式への記号因数分解を持ち、この因数分解は本質的に一意です (因数を並べ替えてF _qの非ゼロ要素を乗算しない限り)。

例えば、^[6]では、 F ₂上の2次元多項式L ( x ) = x ¹⁶ + x ⁸ + x ² + xと、その通常の2次元同値l ( x ) = x ⁴ + x ³ + x + 1を考える。l ( x ) = ( x ² + x + 1)( x + 1) ^2をF ₂ [ x ]で因数分解すると、次の記号因数分解が得られる。 $${\displaystyle L(x)=(x^{4}+x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x).}$$

L を上の線型多項式とします。 の形式の多項式は上のアフィン多項式です。 ${\displaystyle F_{q^{n}}}$${\displaystyle A(x)=L(x)-\alpha {\text{ }}\alpha \in F_{q^{n}},} に対して$${\displaystyle F_{q^{n}}}$

定理: Aが 上の非零アフィン多項式で、そのすべての根がの拡大体に存在する場合、Aの各根は同じ重複度を持ち、それは 1 またはqの正の累乗のいずれかです。^[7]${\displaystyle F_{q^{n}}}$${\displaystyle F_{q^{s}}}$${\displaystyle F_{q^{n}}}$

• リドル、ルドルフ、ニーダーライター、ハラルド(1997)。有限体。数学とその応用百科事典。第 20 巻 (第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-39231-4.ZBL0866.11069  .​
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013)、「有限体ハンドブック、離散数学とその応用」、ボカラトン：CRC Press、ISBN 978-1-4398-7378-6